Függvények.

Az előadások a következő témára: "Függvények."— Előadás másolata:

1 Függvények

2 A Függvény olyan bináris reláció, melynél,
minden x є A-hoz, létezik y є B, hogy (x,y) є f, (ha ezt a kritériumot elhagyjuk, ún. parciális függvényt kapunk) ha (x,y) és (x,z) eleme a relációnak , akkor y=z. Leképezés: Tárgyelem Képelem egy több kölcsönösen egyértelmű egy-többértelmű több-egyértelmű több-többértelmű egyértelmű többértelmű Függvény minden olyan binér reláció, amely „A” halmaz elemeinek „B” halmaz egyetlen elemét felelteti meg.

3 f: A→B, f(x)=y Értelmezési tartomány: A leképzett elemek halmaza (A).
Értékkészlet: Képelemek halmaza (B). Csak akkor adott egy függvény, ha pontosan meghatározzuk az értelmezési tartományát, értékkészletét, és a leképezést. Szürjektív a függvény, ha „B” minden eleme képe „A” halmaz egy elemének, tehát a függvény „A” halmazt „B” halmazra képezi le. (nem szürjektív, ha „A” halmazt a „B” halmazba képezi le) Injektívnek nevezzük a függvényt, ha f kölcsönösen egyértelmű leképzés. Bijektivitás, ha f egyszerre szürjektív, és injektív.

4 Függvények ábrázolása
(Értelmezési tartomány {x,y}, értékkészlet {a,b} Táblázat Sorok: értelmezési tartomány Oszlopok: értékkészlet. Descartes-féle diagram Descartes-féle koordináta-rendszerben Venn-diagram Két halmaz elemeit nyilakkal kötjük össze. a b x + y

5 Összetett függvény Az f és g leképezések g◦f szorzatán, összetételén értjük az f és g leképezése egymás utáni elvégzését ebben a sorrendben. (Az f függvény értékkészletét tartalmaznia kell a g függvény értelmezési tartományának.)

6 Inverz függvény Ha f: A→B kölcsönösen egyértelmű hozzárendelést létesít A és B elemei közt, és g(y) (g: B→A) egyértelműen meghatározza x є A-t, amire igaz f(x)=y, akkor g, f inverz függvénye. Az inverz függvény, az y = x egyenesre nézve az eredeti függvény tükörképe.

7 Függvénytani alapfogalmak
Az f függvény felülről korlátos, ha van olyan K szám, amire igaz, hogy minden x є A-ra f(x)≤K; alulról korlátos, ha f(x)≥K. Egy f függvénynek xo-ban lokális maximuma (minimuma) van, ha megadható xo-nak olyan környezete, hogy az ebbe eső x є A pontokra: f(x)≤f(xo), f(x)≥f(xo). Egy f függvényt tágabb értelemben növekvőnek (csökkenőnek) nevezünk, ha az értelmezési tartomány bármeny két olyan pontjára, amelyekre x1<x2, az f(x1)≤f(x2) (f(x1)≥f(x2)) reláció teljesül; szigorú értelemben növekvő (csökkenő) f, ha x1<x2 esetén, f(x1)<f(x2) (f(x1)>f(x2))

8 Függvénytani alapfogalmak
Az [a,b] intervallumon értelmezett f függvényt konvexnek nevezzük, ha minden a≤x1<x<x2≤b esetén: és konkávnak, ha minden a≤x1<x<x2≤b esetén: Egy görbét konvexnek (konkávnak) nevezünk, ha bármely ívének minden pontja az ív végpontjait összekötő húr alatt (felett) vagy magán a húron van. Szigorúan konvex (konkáv), ha minden pontja a végpontok kivételével a húr alatt (felett) van.

9 Függvénytani alapfogalmak
Egy f függvénynek xo-ban inflexiós pontja van, ha xo-nak van olyan jobb és bal oldali környezete, hogy az egyikben a függvény szigorúan konvex, a másikban szigorúan konkáv, vagy fordítva. Az f függvényt, amelynek értelmezési tartománya szimmetrikus az origóra, páros függvénynek nevezzük, ha bármely x є A helyre f(-x)=f(x), és páratlan függvény, ha f(-x)=-f(x). Az f függvény periodikus, ha létezik olyan p pozitív valós szám, amelyre teljesül, hogy minden x є A-ból következik, hogy (x+p) є A, és minden x є A-ra f(x+p)=f(x). Ekkor p a függvény periódusa.