Síkmértani szerkesztések

Az előadások a következő témára: "Síkmértani szerkesztések"— Előadás másolata:

1 Síkmértani szerkesztések

2 Szögek szerkesztése (ismétlés)
60 fokos szög szerkesztése 90°-os (derékszög) szerkesztése 30°-os szög szerkesztése 45°-os szög szerkesztése 120°-os szög szerkesztése 240°-os szög szerkesztése

3 Szakaszfelező merőleges
Adott AB szakasz. R sugárral A-ból is és B-ből is köríveket rajzolunk a szakasz alá és fölé is . Kapunk két pontot: 1 és 2 Az 1 és 2 pontot összekötjük, ez merőleges az AB szakaszra.

4 Külső pontból merőleges szerkesztése
Adott a egyenes, P pont. P pontból körívet húzunk, ami kimetszi A és B pontokat az a egyenesen. R sugárral A és B pontból körívet húzunk. A körívek metszéspontja a 32 pont. A P pontot összekötjük a 32 metszésponttal.

5 Szögfelező szerkesztése
Adott α szöget bezáró két egyenes szakasz. R sugárral O pontból körívet rajzolunk. Megkapjuk A és B pontokat. Majd A-ból és B-ből is R sugárral kimetsszük C pontot. Az OC egyenes felezi α szöget.

6 Egyenlő oldalú háromszög szerk.
Körből indulva: Adott R sugarú kör. A körön jelölünk egy A pontot. A pontból R sugárral körívet húzunk, jelöljük C és D pontokat. C és D pontot összekötjük (ez a háromszög egyik oldala). C pontból és D pontból is ívet rajzolunk CD távolsággal, jelöljük B pontot. C, D, B pontokat összekötve megkapjuk a szabályos háromszöget. Körből indulva: Adott R sugarú kör. A körön jelölünk egy A pontot. A pontból R sugárral körívet húzunk, jelöljük C és D pontokat. C és D pontot összekötjük (ez a háromszög egyik oldala). C pontból és D pontból is ívet rajzolunk CD távolsággal, jelöljük B pontot. C, D, B pontokat összekötve megkapjuk a szabályos háromszöget. b. Alapból indulva: Adott a szakasz A B pontokkal jelölve. Az a szakaszt körzőnyílásba véve A és B pontokból is körívet rajzolunk, jelöljük C pontot. A, B, C pontokat összekötve megkapjuk a szabályos háromszöget.

7 Egyenlő oldalú háromszög szerk
b. Alapból indulva: Adott a szakasz A B pontokkal jelölve. Az a szakaszt körzőnyílásba véve A és B pontokból is körívet rajzolunk, jelöljük C pontot. A, B, C pontokat összekötve megkapjuk a szabályos háromszöget.

8 Négyzet szerkesztése a)
Adott R=a szakasz (a négyzet alapja). R sugárral A pontból körívet rajzolva megszerkesztjük az A pontra merőleges egyenest. A pontból R sugarat felmérve jelöljük D pontot. D pontból és B pontból is R sugárral körívet rajzolva, jelöljük C pontot. A,B,C,D pontokat összekötve megkapjuk a szabályos a oldalú négyzetet. b) Adott AC szakasz. AC szakaszra felezőmerőlegest állítunk, jelöljük 0 pontot. 0 pontból R=0C sugárral kört rajzolunk. A függőleges tengelyen jelöljük D ill. B pontokat. A,B,C,D pontokat összekötve megkapjuk a szabályos négyzetet.

9 Négyzet szerkesztése b)
Adott AC szakasz. AC szakaszra felezőmerőlegest állítunk, jelöljük 0 pontot. 0 pontból R=0C sugárral kört rajzolunk. A függőleges tengelyen jelöljük D ill. B pontokat. A,B,C,D pontokat összekötve megkapjuk a szabályos négyzetet.

10 Ötszög szerkesztése Adott R sugarú zöld kör.
Rajzoljuk meg a függőleges és vízszintes tengelyvonalakat! Felezzük meg OB távolságot, jelöljük C pontot. CA sugárral C pontból rajzoljunk kört (piros kör), jelöljük D pontot. AD távolságot A pontból indulva ötször felmérve a kör kerületére megkapjuk a szabályos ötszög csúcsait. A szabályos ötszög megszerkeszthető egyetlen vonalzó és körző segítségével akár a köréírható kör sugara, akár egy oldala ismeretében. Ezt a szerkesztést Euklidész i. e. 300 körül leírta Elemek című könyvében. Ötszög szerkesztése Az ötszög szerkesztésének egyik módszere a következő: Rajzoljuk meg az ötszög köré írható kört, középpontja legyen O. (Az ábrán ez a zöld színnel jelölt kör.) Jelöljünk meg egy A pontot a kör kerületén, ez lesz az ötszög egyik csúcsa. Húzzunk egy egyenest O és A ponton keresztül. Szerkesszünk egy, az O ponton átmenő és az OA szakaszra merőleges egyenest. Ennek az egyenesnek a körrel való egyik metszéspontja legyen B. Szerkesszük meg az OB szakasz C felezőpontját. Rajzoljunk kört C középponttal az A ponton keresztül. (Piros kör) Az OB egyenessel való metszéspontja (az első körön belül) legyen D. Az ötszög oldalának hossza az AD szakasz hosszával egyenlő. Körzőnyílásba véve az AD távolságot és az első körre A pontból rendre felmérve az AD hosszakat, megkapjuk a szabályos ötszög többi csúcsát: az E, F, G és H pontokat. Így az A-val együtt öt pontot kaptunk az eredeti körön. A szomszédosokat egyenes szakasszal összekötve a szerkesztést befejeztük. Az ötszög átlói ötágú csillagot alkotnak, középen egy kisebb, szabályos ötszöggel.

11 Hatszög szerkesztése Adott R sugarú kör.
Jelöljünk ki egy pontot a körön (1). 1 pontból indulva hatszor mérjük fel az R sugarat a kör kerületén. A pontokat összekötve megkapjuk a szabályos hatszöget.

12 Hétszög szerkesztése Adott R sugarú kör. Vegyük fel a függőleges és vízszintes középvonalait! D pontból rajzoljunk R sugárral körívet! Jelöljük E és G pontokat. EG húr fele (FG szakasz) a hétszög oldala. C csúcsból hétszer felmérve FG távolságot megkapjuk a szabályos hétszög csúcsait.

13 Nyolcszög szerkesztése
Adott R sugarú kör. Rajzoljuk meg a függőleges és vízszintes tengelyvonalakat! Szerkesszük meg a tengelyvonalak szögfelezőit. A tengelyvonalak, a szögfelezők és a kör metszéspontjai lesznek a szabályos nyolcszög csúcsai.

14 Tizenkétszög szerkesztése
Adott R sugarú kör. A, B, C, és D pontokból R sugárral rajzoljunk köríveket! A körívek és a kör metszéspontjai lesznek a szabályos tizenkétszög csúcsai.

15 Sokszög szerkesztése Adott R sugarú kör és az oldalszám n (n=11). A kör CD átmérőjét egy segédegyenes segítségével pontosan n részre osztjuk. CD sugárral C és D pontból is körívet rajzolunk, jelöljük E és G pontokat. E és G pontból is az átmérő minden második osztásán keresztül egyenest húzunk, melyek a körön kimetszik a sokszög egy-egy csúcsát. A csúcspontokat kössük össze! Adott R sugarú kör és az oldalszám n (n=11). A kör CD átmérőjét egy segédegyenes segítségével pontosan n részre osztjuk. CD sugárral C és D pontból is körívet rajzolunk, jelöljük E és G pontokat. E és G pontból is az átmérő minden második osztásán keresztül egyenest húzunk, melyek a körön kimetszik a sokszög egy-egy csúcsát. A csúcspontokat kössük össze!

16 Két kör közös érintőjének szerkesztése
Adott: R és r sugarú kör 1. R-r sugárral O1 pontból kört rajzolunk. 2. O1-O2 szakaszra felezőmerőlegest állítunk, jelöljük az F pontot. 3. F pontból O1F sugárral kört rajzolunk, jelöljük az A és B pontot. 6. O2-A iránnyal párhuzamosan megrajzoljuk az e1 külső érintőt, jelöljük E1 és E3 pontokat. 7. O2-B iránnyal párhuzamosan megrajzoljuk az e2 külső érintőt, jelöljük E2 és E4 pontokat. Adott: R és r sugarú kör R-r sugárral O1 pontból kört rajzolunk. O1-O2 szakaszra felezőmerőlegest állítunk, jelöljük az F pontot. F pontból O1F sugárral kört rajzolunk, jelöljük az A és B pontot. O2-A iránnyal párhuzamosan megrajzoljuk az e1 külső érintőt, jelöljük E1 és E3 pontokat. O2-B iránnyal párhuzamosan megrajzoljuk az e2 külső érintőt, jelöljük E2 és E4 pontokat.

17

18

19

20

21

22

23

24 Két kör belső érintőinek szerkesztése
Adott R és r sugarú kör O1 és O2 középpontokkal. O1 pontból R+r sugárral kört rajzolunk. O1-O2 szakaszra felezőmerőlegest állítunk, jelöljük F pontot. F pontból O1F sugárral kört rajzolunk, jelöljük az R+r sugarú körön A és B pontokat. O2A és O2B szakaszokkal párhuzamost húzva megrajzoljuk e1 és e2 érintőket. E1, E2, E3, E4 pontokban érintik az egyenesek a köröket.

25

26

27

28

29

30

31

32 Külső P pontból a körhöz húzott érintő érintési pontjának meghatározása
Adott R sugarú kör és E pont. E pontból R=E0 sugárral ívet rajzolunk, jelöljük az A pontot. 0 és A ponton keresztül egyenest húzunk. A-tól R távolságra jelöljük P pontot. Az E és P ponton keresztül meghúzzuk az érintőt.

33 Külső P pontból érintő szerkesztése
Adott: R sugarú kör és P pont 1. Az OP szakaszra felezőmerőlegest állítunk, jelöljük az F pontot. 2. F pontból OF sugárral körívet rajzolunk, jelöljük az E pontot. 3. Az E és P ponton keresztüli egyenes az érintő.

34 Derékszög lekerekítése adott sugárral
Adott a és b egymásra merőleges egyenes, R lekerekítési sugár. Az a és b egyenestől is R távolságra párhu-zamost húzunk, jelöljük 0 pontot. 0 pontból R sugárral berajzolható E1 és E2 pontok közötti körív.

35 Tompaszög lekerekítése adott sugárral
Adott a és b egymásra merőleges egyenes, R lekerekítési sugár. Az a és b egyenestől is R távolságra párhu-zamost húzunk, jelöljük 0 pontot. 0 pontból R sugárral berajzolható E1 és E2 pontok közötti körív.

36 Hegyesszög lekerekítése adott sugárral
Adott: a és b egyenes, R lekerekítési sugár. Az a és b egyenestől R távolságra lévő egyenesek O metszéspontjából az a és b egyenesre húzott merőlegesek kijelölik az érintési pontokat (E1, E2). Az érintési pontok között berajzoljuk az R sugarú ívet.

37 Érintő körök szerkesztése
Adott R sugarú kör és R1 érintő kör sugara. 0 pontból R+R1 sugár-ral körívet rajzolunk. Jelöljük 01 pontot távolságot megfelezzük, a felezőpontból kört rajzolva megkapjuk P pontot P pontból R1 sugárral körívet rajzolunk, jelöljük 02 pontot. 01 és 02 pontból is kört rajzolunk. A három kör érinti egymást (E1,E2, és P az érintési pontok).

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49 Egyenes és ív lekerekítése

50 Köröket érintő kör szerkesztése
Adott: O1 és O2 középponttal r1 és r2 sugarú kör, és az érintőkör R sugara. 1. O1 pontból R-r1 sugárral ívet rajzolunk. 2. O2 pontból R-r2 sugárral ívet rajzolunk, jelöljük az O pontot. O pontból R sugárral megrajzolható az érintőkör

51 Körök külső érintő köreinek szerkesztése
Adott: O1 és O2 középponttal r1 és r2 sugarú kör és az érintőkörök R sugara. 1. A O1 középpontból r1+R sugárral ívet rajzolunk. 2. O2 középpontból r2+R sugárral ívet rajzolunk, jelöljük az O pontot. O pontból R sugárral megrajzolható az érintőkör.