Paraméteres próbák Adatelemzés.

Az előadások a következő témára: "Paraméteres próbák Adatelemzés."— Előadás másolata:

1 Paraméteres próbák Adatelemzés

2 Paraméteres próbák A próbákban az a közös, hogy az elemzett minta eloszlása normálist követ. A nullhipotézist éppen a normális eloszlás paramétereivel kapcsolatosan fogalmazzuk meg. Várható érték a paraméter A szórás a paraméter egymintás u-próba kétmintás u-próba egymintás t-próba kétmintás t- próba független mintás összetartozó mintás Welch-próba egyszerű csoportosítás (one-way ANOVA) F-próba Bartlett-teszt

3 Egymintás u-próba DÖNTÉS: Feltétel:
a normális eloszlású mintának ismerjük a szórását. DÖNTÉS:

4 Egymintás u-próba Az elsőfajú hiba valószínűsége:
Az elsőfajú hibavalószínűség éppen az e szignifikancia-szint!

5 Egymintás u-próba A másodfajú hibavalószínűség: Ugyanis most:

6 Egymintás u-próba Az u-próba erőfüggvénye:
Az u-próba tulajdonságai: a próba torzítatlan és konzisztens! Ráadásul egyenletesen legjobb próba is!

7 Egymintás u-próba Bizonyítás: A konzisztencia bizonyítása.

8 Egymintás u-próba A torzítatlanság bizonyítása.

9 Egymintás u-próba A torzítatlanság bizonyítása.

10 Egymintás u-próba Megjegyzés: A gyakorlatban akkor is alkalmazzák az u-próbát, amikor a minta nem normális eloszlású, de a mintaelemszám „nagy”. Az alkalmazás jogosságát a centrális határeloszlás-tétellel lehet indokolni. Ugyanis a próbastatisztika normális eloszlású lesz aszimptotikusan, mivel a CHT szerint a mintaátlag már közel normális eloszlású!

11 A kétmintás u-próba Adottak az és az egymástól független statisztikai minták. A minták független normális eloszlásúak, a szórásaik ismertek.

12 A kétmintás u-próba DÖNTÉS:
Ha feltesszük, hogy a null-hipotézis igaz, akkor  DÖNTÉS:  -t elfogadjuk

13 Egymintás t-próba DÖNTÉS:

14 Kétmintás t-próba (független minták)
A minták szórásai egyenlőeknek tekintendők. Különben nem alkalmazható a próba. Ennek ellenőrzése F-próbával. DÖNTÉS:

15 Kétmintás t-próba (összetartozó minták)
DÖNTÉS:

16 A Welch-próba I. Ha az F-próbát el kell vetnünk, nem alkalmazható a két független mintás t-próba a két minta várható értékei egyezésének ellenőrzésére. Erre az esetre dolgozta ki Welch a most ismertetendő robusztus próbát: X1,X2,…,Xn N(X,X ) és Y1,Y2,…Ym N(Y,Y) egymástól független normális eloszlású statisztikai minták, X és Y nem ismert .

17 A Welch-próba II. Megmutatható, hogy a nullhipotézis fennállása esetén a próbastatisztika közelítőleg Student-eloszlású [f] (egészrész f) szabadságfokkal, ahol

18 F-próba X1,X2,…,Xn N(X,X ) és Y1,Y2,…Ym N(Y,Y) egymástól független normális eloszlású statisztikai minták, X és Y nem ismert . Ha feltesszük, hogy a null-hipotézis igaz, akkor igaz lesz, hogy

19 Bartlett-próba Adott p normális eloszlású minta, amik függetlenek egymástól. Az a nulhipotézisünk, hogy a minták szórásai nem különböznek egymástól: A próbastatisztika most: ahol Megmutatható, hogy ha H0 fennáll, akkor B eloszlása p-1 szabadságfokú 2- eloszlást (Chi-négyzet) követ.

20 Egyszeres osztályozás (One-way ANOVA)
Az egyes csoportok várható értékei különbségére konfidencia intervallum szerkeszthető. A különbség valódi értéke a beállított valószínűséggel ebbe az intervallumba esik. H0 : A változók várható értékei azonosak A mintarealizációt egy tördelő változó értékei szerint kettőnél több csoportra osztjuk. A módszer a független mintás t-próba kiterjesztése kettőnél nagyobb esetre. H1 : Van két olyan változó, melyek várható értékei különböznek Fisher-féle F-próba A próbastatisztika eloszlása a nullhipotézis fennállása esetén F-eloszlású. H0 : A változók varianciái egyenlőek Bartlett-Box-próba A próbastatisztika eloszlása a nullhipotézis fennállása esetén F-eloszlású. Az F-próba kiterjesztése. H0 : A kettőnél több változó varianciái egyenlőek Levene-próba Ez nem paraméteres próba! Nincs előzetes feltevés a változók normalitására vonatkozóan! H0 : A kettőnél több változó varianciái egyenlőek

21 Egyszeres osztályozás
Csoportátlagok: Négyzetösszegek:

22 Egyszeres osztályozás
 F-eloszlású (2, n-3)  Student (n-3)

23 1. feladat

24 Megoldás

25 2. feladat

26 Megoldás

27 3. feladat

28 Megoldás

29 4. feladat

30 Megoldás

31 Megoldás

32 5. feladat

33 Megoldás

34 6. feladat

35 Megoldás

36 7. feladat

37 Megoldás

38 8. feladat

39 Megoldás Az alkalmazandó módszer a független kétmintás t-próba
A t-próba elvégezhetőségéhez alkalmaznunk kell az F-próbát, hogy a minták szórásainak egyezését ellenőrizhessük.

40 Megoldás

41 Megoldás Végrehajtható tehát a t-próba!

42 Megoldás