Területi egyenlőtlenségi mutatók, földrajzi összefüggés-elemzések

Az előadások a következő témára: "Területi egyenlőtlenségi mutatók, földrajzi összefüggés-elemzések"— Előadás másolata:

1 Területi egyenlőtlenségi mutatók, földrajzi összefüggés-elemzések
dr. Jeney László egyetemi docens Területi és térinformatikai kvantitatív elemzési módszerek I. Regionális és környezeti gazdaságtan mesterszak, levelező 2018/2019, I. félév BCE Geo Intézet

2 Területi fejlettségi különbségek mérése
2

3 Területi egyenlőtlenségi vizsgálatok jelentősége
Területi elemzések alapkérdése: egyenlőtlenségek vizsgálata Mekkorák az egyenlőtlenségek? Nagy vagy kicsi? Hogyan alakul? Nő vagy csökken? Mi az oka ezen folyamatoknak? A népesség és a gazdaság térben egyenlőtlenül helyezkedik el, okai: Eltérő természetföldrajzi adottságok Erőforrások szórtsága Eltérő történelmi fejlődésmenet 3

4 Területi különbség és területi egyenlőtlenség
Nem azonosság: Területi különbség, differenciáltság („differentiation”): pusztán térben különböző előfordulás (pl. természetföldrajzi eltérések, területi specializáció) Területi egyenlőtlenség („inequality”): különbségek mentén társadalmi értéktartalom is megjelenik (pl. jövedelmi, egészségügyi eltérések) Differenciáltsághoz is kötődhet értéktartalom  diverzitás, mint egyenlőtlenségi kategória Ökológia: faji sokszínűség Közgazdaságtan: gazdasági tevékenységek sokszínűsége Társadalomkutatás: multikulturalitás (XX. sz.: a „diverzitás százada”) 4

5 Kiegyenlítettség ≠ kiegyenlítődés
Állapotjellemzők (statikus szemlélet): mekkora az egyenlőtlenség (nagy vagy kicsi)? Differenciáltság–kiegyenlítettség Változás iránya (dinamikus szemlélet): hogyan változik az egyenlőtlenség (növekszik vagy csökken)? Differenciálódás vagy kiegyenlítődés (utóbbit soha nem éri el teljesen, helyette inkább közeledés, különbségek csökkenése) Divergencia vagy konvergencia Polarizáció, tagolódás vagy nivelláció 5

6 Területi elemzések legvitatottabb kérdésköre
Vizsgálati különbségek  területi egyenlőtlenségek eltérő megítélése Tárgy Település, járás, megye, régió, nagyrégió Városok: székhelyek, városok, városias karakterű települések, nagy népességű települések Mérték, mutatószám Pl. képzettség esetében: írni-olvasni tudók, diplomások, átlagosan elvégzett osztályszám Térségi szint, aggregáltság Település, városkörzet, megye Egyenlőtlenségi mutató Range-típusú mutatószámok vagy relatív szórás Időtáv Rövidebb vagy hosszabb 6

7 Különböző területi egyenlőtlenségi mutatók  egyenlőtlenségek eltérő alakulása
A népsűrűség területi egyenlőtlenségének hosszú távú alakulása különböző területi egyenlőtlenségi mutatókal Mexikóban ( ) 7

8 Különböző területi szintek  egyenlőtlenségek eltérő alakulása
Az adóköteles jövedelmek területi egyenlőtlenségeinek változása különböző területi szinteken, Robin Hood index, 1998–2002 8

9 Megoldások a területi egyenlőtlenségi vizsgálatok eltérő eredményeire
Egyidejűleg van jelen a kiegyenlítődés és a differenciálódás Egyes szférák, térségi szintek polarizálódnak, mások homogenizálódnak Összetett közelítés, többfajta tesztelés Többfajta jelzőszám Többfajta egyenlőtlenségi index Többfajta térségi szint Választott közelítés egyértelmű, pontos meghatározása Milyen egyenlőtlenségi mutatót választunk? Milyen térségi szintre vonatkozik a mérés? Mi a vizsgált jelenség? Mi a vizsgálat időtávja? Nem minden közelítés azonos súlyú, fontosságú 9

10 Területi egyenlőtlenségi indexek
Sokféle egyenlőtlenségi index, mutatószám létezik P. B. Coulter (1989): 50 különböző egyenlőtlenségi index Jellemzőik Monotonitás: nagyobb egyenlőtlenség  nagyobb indexérték Nem-negativitás: csak pozitív számok lehetnek Folytonosság: egy intervallumba esnek az értékek Szimmetria: „A” annyira különbözik „B”-től, mint „B” „A”-tól Nem kötődik közvetlenül a térbeliséghez Területi egyenlőtlenségi indexek többsége nem csak a területi egyenlőtlenségek mérésére használható (pl. társadalmi csoportok, ágazatok közötti egyenlőtlenségekre is) Csak az eloszlás határozza meg az indexértéket (egyenlőtlenségi mutató azonos akár ellentétes térbeli konfigurációnál is) 10

11 Területi egyenlőtlenségek mérésére szolgáló statisztikai eszközök
A területi polarizáltság mérőszámai Relatív terjedelem/Relatív range (Q) Duál mutató/Éltető–Frigyes index (D) Szórás-típusú területi egyenlőtlenségi indexek Súlyozott relatív szórás (V) Területi eloszlást mérő egyenlőtlenségi indexek Hirschman–Herfindahl index (K) Hoover-index/Krugman-index (H) Területi egyenlőtlenségek összetettebb mérési módszerei Gini együttható (G) Távolságfüggvények Korrelációs mérőszámok 11

12 Melyik területi egyenlőtlenségi indexet használjuk?
Meghatározó: Vizsgálati kérdés Rendelkezésre álló adatbázis Kutató habitusa Jobb: Korlátos (normalizált) index: véges értékkészlet (zárt intervallum: szélsőértékekhez viszonyíthatjuk)  szórás típusú mutatók hátránya Sok esetben több index kiszámítása szükséges (egy számítás nem számítás) Földrajzi (területi) összehasonlítás Időbeli összehasonlítás Jelzőszámok közötti öszehasonlítás 12

13 A területi polarizáltság mérése: Duál mutató
13

14 Duál mutató A területi polarizáltság mérőszámai:
Relatív range, range arány Duál mutató Az adatsor 2 részcsoportja átlagainak hányadosa Egyszerű, világos tartalom  igen elterjedt Adatsor elemeinek részcsoportokra bontása Adott adatsor értékei alapján: átlag alatti és feletti értékek (leggyakrabban) Adott adatsor értékei alapján: csak a meghatározott számú a legnagyobb és a legkisebb értékek (maximum és minimum esetén  range arány) Más adatsor értékei alapján (pl. nyugat–kelet, népességszám) Jövedelmi egyenlőtlenségekre (átlag feletti és alatti csoport között): Éltető–Frigyes index Éltető Ödön és Frigyes Ervin magyar statisztikusok írták le, 1968.

15 Duál mutató Jele: D Képlete: Kiszámítása:
Nem fajlagos mutatók esetén Fajlagos mutatók esetén Kiszámítása: Adatsort valamilyen ismérv alapján 2 csoportra kell bontani Mindkét csoport esetében ki kell számítani az átlagot (fajlagos mutatók esetében a súlyozott átlagokat) A mutató e 2 csoportátlag hányadosa, ahol a nagyobb érték szerepel a számlálóban Értékkészlete: 1 < D < ∞

16 Súlyozatlan duál mutató kiszámításának lépései (nem fajlagos mutatóknál)
Vizsgálni kívánt adatsor egy új oszlopba másolása Érdemes a területi egységek neveit is átmásolni Adatsor kijelölése Ha mellette szerepel más adatsor is (pl. a területi egységek nevei) akkor az egészet együtt kell kijelölni Adatsor sorba rendezése a vizsgált mutató alapján Adatsor (sima) átlagának kiszámítása (függvényvarázsló: átlag) Érdemes színezéssel elkülöníteni az adatsor átlag feletti és alatti értékeit Ki kell számítani az adatsor átlag feletti értékeinek (sima) átlagát (függvényvarázsló: átlag) Ki kell számítani az adatsor átlag alatti értékeinek (sima) átlagát (függvényvarázsló: átlag) Átlag feletti értékek átlagának az átlag alatti értékek átlagával elosztása

17 Súlyozatlan duál mutató kiszámítása Excelben (+minimális érték esete)
1 xa xb 2 1. régió 24 10 3 2. régió 4 12 3. régió 5 4. régió 6 átlag =ÁTLAG(C2:C5) =ÁTLAG(E2:E5) 7 átlag feletti értékek átlaga 18 =ÁTLAG(C2:C3) értelmezhetetlen 8 átlag alatti értékek átlaga =ÁTLAG(C4:C5) 9 duál =C7/C8

18 Súlyozott duál mutató kiszámításának lépései (fajlagos mutatóknál)
Vizsgálni kívánt adatsor és a hozzá tartozó súly új oszlopokba másolása Érdemes a területi egységek neveit is átmásolni Átmásolt adatsorok kijelölése Ha mellette szerepel más adatsor is (pl. a területi egységek nevei) akkor az egészet együtt kell kijelölni Adatsor sorba rendezése a vizsgált mutató alapján Adatsor súlyozott átlagának kiszámítása Érdemes színezéssel elkülöníteni az adatsor átlag feletti és alatti értékeit Ki kell számítani az adatsor súlyozott átlag feletti értékeinek súlyozott átlagát Ki kell számítani az adatsor súlyozott átlag alatti értékeinek súlyozott átlagát Súlyozott átlag feletti értékek súlyozott átlagának a súlyozott átlag alatti értékek súlyozott átlagával elosztása

19 Súlyozott duál mutató kiszámítása Excelben (+ minimális érték esete)
F G H I 1 ya fa xa yb fb Xb 2 1. régió 24 10 3 2. régió 4 12 3,5 35 3. régió 14 4,5 45 5 4. régió 6 összeg/átlag =E6/D6 =SZUM(D2:D5) 50 =SZUM(E2:E5) 100 7 átlag feletti értékek 18 =E7/D7 36 értelmezhetetlen 8 átlag alatti értékek 1,75 =E8/D8 9 duál 10,29 =C7/C8

20 A területi koncentráció mérése: Hirschman–Herfindahl index
20

21 Területi egyenlőtlenségek mérésére szolgáló statisztikai eszközök
Területi egyenlőtlenségi indexek, leggyakrabban használtak: A területi polarizáltság mérőszámai Relatív terjedelem/Relatív range (Q) Duál mutató/Éltető–Frigyes index (D) Szórás-típusú területi egyenlőtlenségi indexek Súlyozott relatív szórás (V) Területi eloszlást mérő egyenlőtlenségi indexek Hirschman–Herfindahl index (K) Hoover-index/Krugman-index (H) Területi egyenlőtlenségek összetettebb mérési módszerei Gini együttható (G) Távolságfüggvények Korrelációs mérőszámok 21

22 Hirschman–Herfindahl index
Egy jelenség földrajzi koncentrációjának mérésére használt mutatószám Csak összegezhető (nem fajlagos) mutatóra számítható Képlete Xi = nem fajlagos mutató i régióban Σxi = nem fajlagos mutató a teljes régióban Értékkészlete: 1/n ≤ K ≤ 1 Minél nagyobb az értéke, annál nagyobb az egyenlőtlenség Előfordulhat, hogy alacsonyabb területi szinten csökken az értéke Mértékegysége: nincs 22

23 Hirschman–Herfindahl index kiszámításának lépései
Összegezzük a vizsgált adatsort Minden térség esetében elosztom az adott térség értékét az előbb kiszámított összeggel (Excel  $) Minden térség esetében a kapott hányadosokat négyzetre emelem (Excel  jobb oldali Alt+3 együtt, majd 2 = ^2) 2–3. lépések egy oszlopban is megoldhatók Az így kapott értékeket összegzem 23

24 Hirschman–Herfindahl index kiszámítása Excelben
1 xi hányados négyzet 2 1. régió 8 0,4 =B2/B$6 0,16 =C2^2 3 2. régió 4 0,2 0,04 3. régió 6 0,3 0,09 5 4. régió 0,1 0,01 összesen 20 =SZUM(B2:B5) 7 Hirshman–Herfindahl i. 0,3 =SZUM(D2:D5) 24

25 Hirschman–Herfindahl index elméleti maximuma
B C D 1 xi hányados négyzet 2 1. régió 0 =B2/B$6 0 =C2^2 3 2. régió 4 3. régió 20 5 4. régió 6 összesen 20 =SZUM(B2:B5) 7 Hirshman–Herfindahl i. 1 =SZUM(D2:D5) 25

26 Hirschman–Herfindahl index elméleti minimuma (4 elem esetén)
B C D 1 xi hányados négyzet 2 1. régió 5 0,25 =B2/B$6 0,0625 =C2^2 3 2. régió 0,25 0,0625 4 3. régió 4. régió 6 összesen 20 =SZUM(B2:B5) 7 Hirshman–Herfindahl i. 0,25 =SZUM(D2:D5) 26

27 Területi eloszlások összevetése: Hoover index
27

28 Hoover index Egyik legelterjedtebb, legáltalánosabban használt területi egyenlőtlenségi index Két mennyiségi ismérv területi megoszlásának eltérését méri Az egyik ismérv, társadalmi-gazdasági jelenség mennyiségének hány százalékát kell a területi egységek között átcsoportosítani ahhoz, hogy területi megoszlása a másik jellemzőével azonos legyen Területi kutatásokban leggyakrabban a népesség területi eloszlásával vetjük össze más társadalmi-gazdasági ismérvével 1941: E. M. Hoover, amerikai agrárközgazdász Használja a földrajz, szociológia, közgazdaságtan, ökológia is 28

29 Hoover index Két nem fajlagos mutató területi megoszlása közötti eltérést mérhetjük vele Egy fajlagos mutató számlálója és nevezője között is lehet Képlete: xi = i régió részesedése x nem fajlagos mutatóból yi = i régió részesedése y nem fajlagos mutatóból xi és yi: két megoszlási viszonyszám, melyekre fennállnak az alábbi összefüggések Σxi = 100 Σyi = 100 A mutató szimmetrikus, a két összevetett megoszlás (xi és yi) szerepe, sorrendje felcserélhető Értékkészlete: 0 ≤ H ≤ 100 Minél nagyobb az értéke, annál nagyobb az egyenlőtlenség Mértékegysége: % 29

30 Hoover index kiszámításának lépései
Mindkét nem fajlagos mutató adatsorának értékeit összegezzük Minden térség esetében kiszámítjuk az adott térség százalékos részesedését az összes mennyiségből (mindkét mutató esetében) Minden térség esetében kivonjuk az egyik mutató szerinti százalékos részesedésből a másik mutató szerinti százalékos részesedést Minden térség esetében az így kapott különbségek abszolút értékét vesszük (ABS) 2–4. lépések egy oszlopban is megoldhatók Az abszolút értékeket összegzem A kapott összeg értékét megfelezem 30

31 Hoover index kiszámítása Excelben
F G 1 xi yi xi% yi% xi%–yi% absz 2 1. régió 8 4 40% =B2/B$6*100 40% =C2/C$6*100 0% =D2-E2 0% =ABS(F2) 3 2. régió 20% 10% 3. régió 6 30% 0% 5 4. régió –10% összesen 20 =SZUM(B2:B5) 10 =SZUM(C2:C5) 100% 20% =SZUM(G2:G5) 7 Hoover index 10% =G6/2 31

32 Hoover index elméleti maximuma
B C D E F G 1 xi yi xi% yi% xi%–yi% absz 2 1. régió 12 60% =B2/B$6*100 0% =C2/C$6*100 60% =D2-E2 60% =ABS(F2) 3 2. régió 8 40% 0% 4 3. régió 5 4. régió 10 100% –100% 6 összesen 20 =SZUM(B2:B5) 10 =SZUM(C2:C5) 200% =SZUM(G2:G5) 7 Hoover index 100% =G6/2 32

33 Hoover index elméleti minimuma
B C D E F G 1 xi yi xi% yi% xi%–yi% absz 2 1. régió 8 4 40% =B2/B$6*100 40% =C2/C$6*100 0% =D2-E2 0% =ABS(F2) 3 2. régió 20% 0% 3. régió 6 30% 5 4. régió 10% összesen 20 =SZUM(B2:B5) 10 =SZUM(C2:C5) 100% 0% =SZUM(G2:G5) 7 Hoover index 0% =G6/2 33

34 „Pszeudo-egymutatós” egyenlőtlenségi index
Két nem fajlagos mutató területi eloszlása közötti eltérés mérése Pl. nép-jöv, kisebbség-egész társadalom stb. Egy fajlagos mutató területi egyenlőtlenségének mérése Pl. Jöv/fő, kisebbségek aránya 34

35 Hoover index használhatósága
Egyik legjobban interpretálható eredményt adja a területi egyenlőtlenségi indexek közül Értékei 0–100 között mozognak: a 100 magas, a 0 alacsony érték (szórás-típusú területi egyenlőtlenségi mutatóknak nincs maximuma) H = 33%  az egyik mutató 33 %-át kell a régiók között átcsoportosítani ahhoz, hogy a területi megoszlása megegyezzen a másikéval 35

36 Hoover index más neveken
Robin Hood index („Rózsa Sándor” index) Népesség és jövedelem között Dinamikus értelmezés (itt lehet az egy évre jutó változást is mérni, ha 2 helyett 2t-vel osztunk) Korábbi és későbbi állapotok között (Településszociológiában Duncan&Duncan házaspár) Disszimilaritási index: rész–rész viszonylatban Szegregációs index: rész–egész viszonylatban, vagy rész–többi rész viszonylatban Egyes változatoknál nem százalékban fejezzük ki, ekkor értékkészlete: 0 ≤ H ≤ 1 Krugman index (Földrajz és kereskedelem c. könyv, 1993.) Ha nem osztjuk el 2-vel (nehezebben értelmezhető) 0 ≤ H ≤ 200 (vagy 0 ≤ H ≤ 2) 36

37 Hoover index vizsgálati lehetőségei
Magyarország 2005 jöv-nép megyei szint Egy számítás önmagában általában kevés  összehasonlítás kell: Területek között: pl. Szlovákiára is Időbeni állapotok között: pl re is Mutatók között: pl. személygépkocsi és a népesség között is Területi szinteken (Hoover-index specialitása): pl. települési szinten is 37

38 Különböző területi szintek  egyenlőtlenségek eltérő alakulása
Az adóköteles jövedelmek területi egyenlőtlenségeinek változása különböző területi szinteken, Robin Hood index, 1998–2002 38

39 Földrajzi összefüggések elemzése: sztochasztikus módszerek
39

40 Társadalmi jelenségek együttmozgása
Földrajzi összefüggések elemzése: sztochasztikus módszerek Tagoltság vizsgálata: szinte sohasem szűkül le egy-egy jelenség (mutatószám) térbeli eloszlásának elemzésére Már a fajlagos adatok egyenlőtlenségeinek mérésekor is 2 jelenséget kapcsolunk össze Térbeli együttmozgások elemzése: kifejezetten területi kölcsönhatások (néha ok-okozati kapcsolatok) is megjelennek Összefüggések mérése: korreláció- és regressziószámítás Erősség: milyen erős az összefüggés Irány: egyenes (+) vagy fordított (–) arányosság 40

41 Szignifikancia Megbízható (szignifikáns) összefüggés: ha viszonylag nagy elemszámú mintából, hosszú adatsorból számítjuk Erős szignifikancia: megfigyelési egységek körét véletlenszerűen újabbakkal bővítve, nagy valószínűséggel nem változik az összefüggés iránya és szorossága Meghatározza: Elemszám (1000 vagy 10 területi egységre mérünk) Kapcsolat szorossági szintje (korreláció absz. 0,9 vagy 0) Szignifikancia-tesztek: pl. SPSS 41

42 Korreláció 42

43 Korreláció Jelzőszámok közötti kapcsolat szorosságának meghatározására szolgáló eljárás (egyfajta sajátos egyenlőtlenségi mutató Egy mutatószámmal (r): korrelációs együttható Korreláció típusai területi elemzésekben Lineáris korreláció azonos megfigyelési egységekre vonatkozó két adatsor között Autokorreláció Keresztkorreláció Ugyanígy lehet autoregresszió és keresztregresszió is Értékkészlete: –1 ≤ r ≤ 1 Mértékegysége nincs Súlyozás problémája a korrelációszámításban 43

44 A korrelációs-együtthatók értékeinek értelmezése
r értéke kapcsolat jellege r = 1 Lineáris függvénykapcsolat, egyenes arányosság van a két jellemző között 0,7 ≤ r < 1 Szoros kapcsolat, egyirányú együttmozgás 0,3 ≤ r < 0,7 Közepes erősségű kapcsolat, egyirányú együttmozgás 0 < r < 0,3 Gyenge kapcsolat, egyirányú együttmozgás r = 0 Nincs lineáris kapcsolat, a két jellemző korrelálatlan –0,3 < r < 0 Gyenge kapcsolat, ellentétes irányú együttmozgás –0,7 < r ≤ –0,3 Közepes erősségű kapcsolat, ellentétes irányú együttmozgás –1 < r ≤ –0,7 Szoros kapcsolat, ellentétes irányú együttmozgás r = –1 Lineáris függvénykapcsolat, fordított arányosság van a két jellemző között 44

45 Lineáris korreláció Lineáris korreláció azonos megfigyelési egységekre vonatkozó két adatsor között r = corr (xi; yi) Egyfajta sajátos egyenlőtlenségi mutató Legismertebb: Pearson-féle lineáris korrelációs együttható Excel  fx= KORREL() Angol nyelvű Excel  fx= CORREL() Spearman-féle rangkorreláció Ordinális (sorrendi) adatskála esetén di: összetartozó rangszámok különbségei 45

46 Korrelációs mátrix hagyományos útja
f(x) függvényvarázsló segítségével számítható A mátrixban szereplő adatsorok egymás mellé rendezése úgy, hogy üres oszlop és egyéb adat ne legyen benne Mátrix keretének elkészítése: a fejléc átmásolása vízszintesen és függőlegesen, a bal fölső cella üres) Minden sorból egy korrelációs együttható kiszámítása, a sorban állandó jelzőszám tömbjének betűjeli lerögzítendők ($) (További egyszerűsítés is végezhető, de teljesen automatikusan nem lehet kitölteni minden cellát!) Ellenőrzés: átlóban 1-esek szerepelnek, a mátrix az átlóra szimmetrikus 46

47 Korrelációs mátrix automatikus útja
File menüpont / Beállítások / Bővítmények / Analysis ToolPack kiválasztása (előtte legyen pipa) / OK Adatok menüpont / Adatelemzés / Korrelációanalízis / OK Korrelációanalízis ablak  Bemeneti tartomány: oszlopok kijelölése (kivéve régiónevek) / Feliratok az első sorban kiválasztása (előtte legyen pipa) / Kimeneti beállítások: Új munkalapra kiválasztása (előtte legyen kijelölve) 47

48 Regresszió-elemzés 48

49 Regressziószámítás a regionális elemzésekben
Változókapcsolatokat valószínűségi (sztochasztikus) függvénykapcsolatként értelmezi Függő és független (vagy magyarázó) változók Független: x tengely, fajlagos mutató nevezője, bal oszlop Függő: y tengely, fajlagos mutató számlálója, jobb oszlop Típusai: Lineáris vagy nem lineáris Két- vagy többváltozós Alkalmas becslésre, előrejelzésre 49

50 Regressziós diagram: pontdiagram speciális típusa
2 dimenziós összehasonlítás Ha van a pontoknak irányultsága (vonalban vannak: van összefüggés a két adatsor között)  regresszió: alkalmas az összefüggés elemzésére Fehér háttér Legyen tengelyfelirat Jelmagyarázat csak több adatsornál 50 Forrás: KSH T-Star

51 Kétváltozós lineáris regresszió
Determinációs együttható (R2) itt a Pearson-féle lineáris korrelációs együttható négyzete y = a + bx x: magyarázó (független) változó b: regressziós együttható (regressziós koefficiens): az egyenes meredekségét vagy dőlését jelöli (az x értékének egységnyi növekedése y értékének mekkora mértékű és milyen irányú változását vonja maga után a: regressziós állandó (konstans): értéke megegyezik az egyenes y tengelyen tapasztalt metszéspontjával (a értéke egyenlő y értékével x = 0 helyen) y: a függő változó regressziós egyenlet alapján becsült értéke 51

52 Kétváltozós lineáris regresszó számítása Excelben
A két adatsor egymás mellé rendezése úgy, hogy a bal oldalon az x tengelyre kerülő változó legyen. Szórásdiagram készítése (pontdiagram) Formázási műveletek Jobb klikk valamely pontra: trendvonal felvétele Egyenlet és R2 látszik Számítás 52

53 Kétváltozós lineáris regressziós összefüggések
53

54 Nem lineáris összefüggések
Nem lineáris regressziós egyenletek alaptípusai Logaritmikus: y = a + (b * lnx) Polinomiális: y = a + (b1 * x) + (b2 * x2) + … + (bn * xn) Exponenciális y = a * bx Hiperbolikus y = a + b / x Hatványkitevős y = a * xb Determináció együttható (R2)dönti el, melyik írja le legjobban az adott összefüggést Azt a trendvonaltípust érdemes választani, amelynél magasabb az R2 értéke Elemzésük és értelmezésük nehézkesebb, mint a lineáris egyenleteké Idősorok elemzésénél, trendszámításban gyakrabban használják mint a területi adatok keresztmetszeti vizsgálatában 54

55 Keresztkorreláció, keresztregresszió
Két adatsor különböző (időben eltolt vagy térben szomszédos) megfigyelési egységekre vonatkozó értékei közötti kapcsolat Időbeli keresztkorreláció r = corr (xi yi–k) Területi keresztkorreláció r = corr (xi ys(i)) 55

56 Autokorreláció, autóregresszió
Egyazon adatsor különböző (időben eltolt vagy térben szomszédos) megfigyelési egységekre vonatkozó értékei közötti kapcsolat Időbeni autokorreláció: minden i-edik időponthoz tartozó xi értékhez ugyanezen x változónak egy k évvel eltolt (k évvel korábbi) adatát rendelve számítjuk  adatsor hossza k évvel csökken r = corr (xi xi–k) Területi autokorreláció: i-edik megfigyelési területegység xi adatához a vele szomszédos területegységek értékeit (átlagát) számítjuk r = corr (xi xs(i)) 56