Előadást letölteni
Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon
1
Az aranymetszés ©KEA
2
Az aranymetszés matematikája
©KEA
3
Definíció Aranymetszésről beszélünk, amikor egy mennyiséget, illetve egy adott szakaszt úgy osztunk két részre, hogy a kisebbik rész úgy aránylik a nagyobbikhoz, mint a nagyobbik rész az egészhez ©KEA
4
©KEA
5
Képlet: a=M+m M:m=a:M M:m=(M+m):M
További vizsgálódásaink alapjául a következő számítás szolgál: a=M+m M:m=a:M M:m=(M+m):M Legyen x=(M+m)/M ©KEA
6
Matematikai meghatározás/ számítás
x= (M+m)/M= M/M+m/M (törtek összeadásának szabálya) x=M/M+m/M=1+m/M x=1+m/M Mivel M:m=(M+m):M felírhatjuk a következőt: M/m=x1/x= m/M (1/x=1/(M/m)=(1/1)/(M/m)=m/M) Tehát x=1+m/M és 1/x =m/M ©KEA
7
Így a következő egyenletet kapjuk
x=1+ (1/x) /*x x2=x+1 /-x /-1 x2-x-1=0 (Egyértelműen kiszámítható a másodfokú egyenlet megoldó képletével) Levezetés a táblán x1= (1+√5)/2≈1, X2=(1-√5)/2≈-0, ( nem lehet megoldás esetünkben) Az (1+√5)/2 számot φ-vel jelöljük ©KEA
8
φ- szerkesztése Alexandriai Héron módszerével
Héron (Kr.u ) Görög matematikus,filozófus Megalkotta az első gőzgépet Művei: Metrika Geometrika (előadásai alapján) Dioptrika ©KEA
9
Adott egy AB-szakasz, melyet az aranymetszés arányainak megfelelően kell két részre osztanunk
©KEA
10
φ-tulajdonságai: φ0 = 1 = 1 φ1 = φ = φ φ2 = φ1 +φ0 = φ+1
φ0 = 1 = 1 φ1 = φ = φ φ2 = φ1 +φ0 = φ+1 φ3 = φ2 + φ1 = 2 φ+1 φ4 = φ3 + φ2 = 3 φ+2 φ5 = φ4 + φ3 = 5 φ+3 φ6 = φ5 + φ4 = 8 φ+5 ©KEA
11
φ-tulajdonságai: ©KEA
12
Két egymást követő Fibonacci szám hányadosa φ felé konvergál
Fibonacci számok: Leonardo Pisano/Leonardo di Pisa/Fibonacci Képzési szabály: an=an-1+an-2 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 ©KEA
13
©KEA
14
Az arany spirális Ha Fibonacci-számokat úgy kezeljük, mint négyzetek oldalainak hosszát, és azokat az ábrán megfelelő módon egymáshoz illesztjük az arany spirálist kapjuk. ©KEA
15
A szabályos ötszög Belső szögeinek nagysága 108°
Minden átlója egyforma hosszúságú Minden nem egy szögben összefutó átló az aranymetszésnek megfelelően metszi a másikat Az oldal átló arány=φ ©KEA
16
Pentagramma ©KEA
17
Aranymetszés a hétköznapokban
©KEA
18
Vannak-e szabályai a szépségnek?
Miért látjuk szépnek a természetet? Miért látunk szépnek egy arányos testet? ©KEA
19
Az emberi faj Arc elrendezése szimmetrikus MIÉRT? Evolúció
mozgásszervek ©KEA
20
Hasonló,de nem tükörképe
©KEA
21
Testünk arányai Altestünk magassága úgy aránylik a felsőtestünk magasságához , mint az altestünk magassága a testmagasságunkhoz φ ©KEA
22
©KEA
23
©KEA
24
Aránytalan test Nem „szép” ©KEA
25
Maszájok Modellek ©KEA
26
Összefüggés egészség és „szépség között”
Belső fejlődési folyamatok Ferde növények, nem „szimmetrikus” állatok Átlagosnál sokkal „aránytalanabb „emberek ©KEA
27
φ a természetben- miért látjuk szépnek?
Gustav Fechner Kísérlet ©KEA
28
©KEA
29
φ az építészetben és a műveszetben
Jelentőségének oka: Hit φ isten(ek) műve ©KEA
30
Diadalív Róma ©KEA
31
Kheopsz piramis ©KEA
32
Városháza Lipcse ©KEA
33
Firenzei Dóm ©KEA
34
©KEA
35
Da Vinci: Hermelines hölgy(1486)
©KEA
36
Mona Lisa (1503) ©KEA
37
Rafaello Santi:Szixtuszi Madonna
©KEA
38
Dürer: Önarckép ©KEA
40
Fibonacci számok a természetben
©KEA
41
Kaktuszok ©KEA
42
©KEA
43
©KEA
44
©KEA
45
©KEA
46
©KEA
47
Virágok ©KEA
48
©KEA
49
©KEA
50
Miért a Fibonacci számok a leggyakoribbak a természetben?
©KEA
51
Gyümölcsök, növény „testek” felülete
©KEA
52
©KEA
53
HONNAN ERED AZ ARANYMETSZÉS UNIVERZÁLIS SZIMBOLIKÁJA?
©KEA
54
Ötszög= „élet alapelvének manifesztálódása”
Regenerativitás ©KEA
55
©KEA
56
©KEA
57
©KEA
58
Vírusok formája: Pentagondodekaéder
©KEA
59
DNS felépítése: ©KEA
60
Felhasznált irodalom:
Bundschuh :Zahlentheorie Markus Fulmek,Christian Krattenhaler: Diskrete Mathematik Wim Kleijne, Ton Konings: Der goldene Schnitt Dirk Stegmann: Der Goldene Schnitt Johannes Becker:Fibonacci und der goldene Schnitt Dr. Ruben Stelzner: Das Mysterium der Schönheit Albrecht Beutelspacher, Bernhard Petri: Der Goldene Schnitt Priya Hemenway: Divine Proportion Keszeg Attila : Molekulargenetik Mario Livio: The golden ratio
61
Köszönöm a figyelmet! ©KEA
Hasonló előadás
