EGYENES ARÁNYOSSÁGGAL

Az előadások a következő témára: "EGYENES ARÁNYOSSÁGGAL"— Előadás másolata:

1 EGYENES ARÁNYOSSÁGGAL
AZ EGYENES ARÁNYOSSÁG EGYENES ARÁNYOSSÁGGAL MEGOLDHATÓ FELADATOK

2 ISMÉTLÉS Ha az x és y változó mennyiségek összefüggése
kifejezhető y=kx (k0) feltétellel, akkor az x és y egyenesen arányos mennyiségek. A k szám az egyenes arányosság tényezője.

3 x 1 2 3 4 6 8 10 y 12 16 20 Vegyük a következő példát: y=2x

4 Ha (x1,y1) és (x2,y2) olyan számpárok, amelyeket az x és y egyenes arányos mennyiségek összetartó értékpárjai alkotnak (miközben y=kx és k0) akkor y1 : y2 = x1 : x2

5 y1 : y2 = x1 : x2 Az egyirányú nyilakkal jelöljük,
hogy mindkét mennyiség mérőszámai egyidejűleg növekszenek vagy csökkenek.

6 PÉLDAFELADAT 5 csoki a boltban 600 forintba kerül.
Mennyibe kerül 8 csoki? Második osztálytól kezdve ezt a következőképpen számoltuk: 5 csoki 600 forintba kerül, tehát 1 csoki 600 : 5 = 120 forintba. 8 csoki ára tehát: 120  8 = 960 forint.

7 Az előző feladat megoldása aránypár
segítségével: 5 csoki a boltban 600 forintba kerül. Mennyibe kerül 8 csoki? Első mennyiség: csoki száma Második mennyiség: fizetendő összeg

8 Válasz: IGEN! Feltesszük a kérdést:
Ha több tábla csokit veszek, többet kell fizetnem? Válasz: IGEN! Az egyik mennyiség növekedésével, növekszik a másik mennyiség is (egyenes arányosság).

9 Az egyenes arányos mennyiségeknél a nyilaknak azonos az irányításuk.
Ábrázoljuk az előző összefüggést! 5 csoki forint 8 csoki x forint Az egyenes arányos mennyiségeknél a nyilaknak azonos az irányításuk.

10 5 : 8 = 600 : x Az aránypárra érvényes:
Írjuk fel az aránypárt! 5 tábla csoki forint 8 tábla csoki x forint 5 : 8 = 600 : x Az aránypárra érvényes: külső tagok szorzata = belső tagok szorzatával.

11 5 : 8 = 600 : x 5  x = 8  600 120 1 8  600 x = 5 x = 960 forint

12 5 csoki 600 forintba kerül. Mennyibe kerül 8 csoki? Válasz: 8 csoki 960 forintba kerül. Elemzés: Igaz-e, hogy több csokiért többet kell fizetnünk? IGEN

13 KÜLÖNBÖZŐ MÉRTÉKEGYSÉGBEN
EGY MENNYISÉG KÜLÖNBÖZŐ MÉRTÉKEGYSÉGBEN AZ ARÁNYPÁRBAN Fontos: CSAK AZONOS MÉRTÉKEGYSÉGŰ MENNYISÉGEKET TUDUNK ARÁNYÍTANI Különböző mértékegységeket azonosokká kell alakítanunk!

14 PÉLDAFELADAT A gyalogos a 2 km utat 20 perc alatt teszi meg.
Mekkora utat tesz meg 2 óra alatt? Kérdés: ha több ideig utazunk, több utat teszünk meg? Válasz: IGEN! Az egyik mennyiség növekedésével, növekszik a másik mennyiség is (egyenes arányosság).

15 2 : x = 20 : 120 2 km út 20 perc x km út 2 óra =120 perc
A gyalogos 2 km utat 20 perc alatt tesz meg. Mekkora utat tesz meg 2 óra alatt? 2 km út perc x km út óra =120 perc 2 : x = 20 : 120 Az aránypárra érvényes: külső tagok szorzata = belső tagok szorzatával.

16 2 : x = 20 : 120 20  x = 2  120 6 1 2  120 x = 20 x = 12 km

17 A gyalogos 2 km utat 20 perc alatt tesz meg.
Mekkora utat tesz meg 2 óra alatt? Válasz: 2 óra (120 perc) alatt a gyalogos 12 km utat tesz meg. Elemzés: Igaz-e, több idő alatt több utat tettünk meg? IGEN

18 SZÁZALÉK ÉS AZ ARÁNYPÁR
A százalék a racionális számok (általában arányok) felírásának olyan alakja, amely a szám értékét századokban adja meg. 1% - egy szám 1 százada Teljes szám – 100% (1 egész)

19 A százalékok sok helyen felbukkannak
A százalékok sok helyen felbukkannak. Az árak, a bérek megváltozását, az adókat, a kamatokat, és a kedvezményeket százalékokban szokás kifejezni. Nagyobb százalék nagyobb értéket eredményez (egyenesen arányos mennyiségek).

20 Sikeresen befejezték az évet – 95%
PÉLDAFELADAT Egy iskolában a 400 tanuló közül 95% sikeresen befejezte az iskolaévet, ebből 15% kitűnő tanulmányi eredménnyel. Hány kitűnő tanuló van ebben az iskolában? Kitűnő tanulók – 15% ISKOLA – 100% Sikeresen befejezték az évet – 95%

21 Egy iskolában a 400 tanuló közül 95% sikeresen befejezte az iskolaévet, ebből 15% kitűnő tanulmányi eredménnyel. Hány kitűnő tanuló van ebben az iskolában? 1. lépés: Egy iskolában a 400 tanuló (100%) közül 95% sikeresen befejezte az iskolaévet. Hány tanuló fejezte be az iskolaévet? Nagyobb (kisebb) százalék nagyobb (kisebb) értéket eredményez (egyenesen arányos mennyiségek).

22 95% : 100% = x : 400 Ábrázoljuk az előző összefüggést! 400 tanuló 100%
x tanuló % 95% : 100% = x : 400

23 95% : 100% = x : 400 100 x = 95  400 95  400 x = 100 x = 380 tanuló

24 Kérdés: Egy iskolában a 400 tanuló (100%) közül 95% sikeresen befejezte az iskolaévet. Hány tanuló fejezte be az iskolaévet? Válasz: Az iskolaévet 380 tanuló fejezte be.

25 Egy iskolában a 400 tanuló közül 95% sikeresen befejezte az iskolaévet, ebből 15% kitűnő tanulmányi eredménnyel. Hány kitűnő tanuló van ebben az iskolában? 2. lépés: A 380 tanuló 15%-a kitűnő. Hány kitűnő tanuló van ebben az iskolában? Nagyobb (kisebb) százalék nagyobb (kisebb) értéket eredményez (egyenesen arányos mennyiségek).

26 15% : 100% = x : 380 Ábrázoljuk az előző összefüggést! 380 tanuló 100%
x tanuló % 15% : 100% = x : 380

27 15% : 100% = x : 380 100 x = 15  380 15  380 x = 100 x = 57 tanuló
19 1 2 3 15  380 x = 100 x = 57 tanuló

28 A 380 tanuló 15%-a kitűnő. Hány kitűnő tanuló van ebben az iskolában? Válasz: Az iskolában 57 kitűnő tanuló van.

29 Nézzük az előző feladatot egy másik módszerrel!
Egy iskolában a 400 tanuló közül 95% sikeresen befejezte az iskolaévet, ebből 15% kitűnő tanumányi eredménnyel. Hány kitűnő tanuló van ebben az iskolában? Ha többször változik egy mennyiség, akkor ezek a mennyiségek összeszorzódnak,  mivel az újabb változás már az előző változással kapott összegre vonatkozik.

30 95% 15% -át a következő képpen kapjuk meg:
100 95%  15% =  = 15 1425 10000 14,25 = = 14,25%

31 14,25% : 100% = x : 400 Ábrázoljuk az előző összefüggést!
400 tanuló % x tanuló ,25% 14,25% : 100% = x : 400

32 14,25% : 100% = x : 400 100 x = 14,25  400 4 1 14,25  400 x = 100 x = 57 tanuló

33 Egy iskolában a 400 tanuló közül 95% sikeresen befejezte az iskolaévet, ebből 15% kitűnő tanulmányi eredménnyel. Hány kitűnő tanuló van ebben az iskolában? Válasz: Az iskolában 57 kitűnő tanuló van.

34 ÁRENGEDMÉNY ÉS ÁRDRÁGULÁS

35 a) Egy ing ára 20000 forint. Mennyibe kerül 10%-os drágulás után?
b) Egy ing ára 20%-os árengedménnyel forint. Mennyi volt az eredeti ára? +10% = 100% + 10% = 110% -20% = 100% - 20% = 80%

36 100% : 110% = 20000 : x +10% = 100% + 10% = 110% 20000 forint 100%
a) Egy ing ára forint. Mennyibe kerül 10%-os drágulás után? +10% = 100% + 10% = 110% 20000 forint % x forint % 100% : 110% = : x

37 100% : 110% = : x 100 x = 110  20000 110  20000 x = 100 x = forint

38 a) Egy ing ára 20000 forint. Mennyibe kerül 10%-os drágulás után?
Válasz: Az ing ára 10%-os drágulás után forintba kerül. Elemzés: Drágulás után több pénzbe kerül az ing? IGEN

39 80% : 100% = 20000 : x -20% = 100% - 20% = 80% 20000 forint 80%
b) Egy ing ára 20%-os árengedménnyel forint. Mennyi volt az eredeti ára? -20% = 100% - 20% = 80% 20000 forint % x forint % 80% : 100% = : x

40 80% : 100% = : x 80 x = 100  20000 1 250 100  20000 x = 80 x = forint

41 b) Egy ing ára 20%-os árengedménnyel 20000 forint
b) Egy ing ára 20%-os árengedménnyel forint. Mennyi volt az eredeti ára? Válasz: Az ing ára 20%-os árengemény nélkül forintba kerül. Elemzés: árengedmény után kevesebb pénzbe kerül az ing? IGEN

42 EGYENES ARÁNYOSSÁGGAL
MEGOLDHATÓ FELADATOK 5 csoki forint 8 csoki x forint

43 95 100 95%  15% =  = 15 1425 10000 14,25 = = 14,25%

44 +10% = 100% + 10% = 110% -20% = 100% - 20% = 80% ÁRENGEDMÉNY ÉS
ÁRDRÁGULÁS +10% = 100% + 10% = 110% -20% = 100% - 20% = 80%

45 KÖSZÖNÖM A MEGTISZTELŐ
FIGYELMET!