(A kozmikus sebességek)

Az előadások a következő témára: "(A kozmikus sebességek)"— Előadás másolata:

1 (A kozmikus sebességek)
Sebesebben a nyílnál (A kozmikus sebességek) Dr. Szakács Tamás Óbudai Egyetem, BGK, MEI

2 A kozmikus sebességek fizikai háttere
A sebességről általában Egyenes vonalú egyenletes mozgás A változó mozgás A szabadesés. Az egyenletes körmozgás Az első, második, és harmadik kozmikus sebességek Pályamódosítások

3 Egyenes vonalú egyenletes mozgás
A tehetetlenség törvényét Isaac Newton( ) fogalmazta meg művében a Philosophiæ Naturalis Principia Mathematicaban és Newton első törvényeként ismerjük. A törvény kimondja: Minden test megtartja nyugalmi állapotát vagy egyenes vonalú egyenletes mozgását mindaddig, míg egy másik test vagy mező által kifejtett hatás nem kényszeríti mozgásállapotának megváltoztatására. v m a=0, g=0, 𝐹=0  v=állandó

4 Egyenes vonalú egyenletes mozgás
vx m ax=0, gy=0, 𝐹 =0  vx=állandó, vy=0 ax vx sx Gyorsulás Sebesség vx=vx0 Út sx=vx.t Idő t Idő t Idő t

5 A változó mozgások 1 Szabadesés
𝐹=𝛾 𝑀𝑚 𝑟 2

6 A változó mozgások 1 Szabadesés
sy ax = 0, gy = g, vy0 = 0 m Út sy= 1 2 𝑔 𝑦 ∙ 𝑡 2 G vy vy Idő t Sebesség vy=gy.t 𝐹 ≠0  vx=0, vy=f(t) Idő t Fy=G=m.g gy Gyorsulás Idő t

7 A változó mozgások 2 Vízszintes hajítás
vx m G ax = 0, gy = g, vx0 ≠ 0 vy0 = 0 vy 𝐹 ≠0  vx=vx0 , vy=f(t) F=G=m.g

8 A változó mozgások 2 Vízszintes hajítás
vx sx m sx=vx.t G Út vy sy Idő t vx Út sy = 𝑔 𝑦 ∙ 𝑡 2 Sebesség vx=vx0 Idő t vy Idő t vy = gy. t ax Sebesség Gyorsulás Idő t gy Idő t gy=9,81 Gyorsulás Idő t

9 A változó mozgások 3 Egyenletes körmozgás

10 A változó mozgások 3 Egyenletes körmozgás
vk(t) m

11 A változó mozgások 3 Egyenletes körmozgás
vk(t+Δt) ∆vk ∆t = 𝑎 𝑐𝑝 vk(t) m vk(t+Δt) vk(t) 𝑎 𝑐𝑝 Fcp Fcf m

12 A változó mozgások 3 Egyenletes körmozgás
vk=R.ω Fcp = Fcf m.acp m . 𝑹. ω2 vk 𝜔 𝑅 m. 𝒗 𝒌 𝟐 𝑹 Fcp Fcf m m.acp=m. 𝒗 𝒌 𝟐 𝑹 acp = 𝒗 𝒌 𝟐 𝑹 =𝑹ω𝟐

13 A változó mozgások 3 Egyenletes körmozgás
vk=R.ω Fcp=Fcf Fcp=m.acp vk 𝜔 𝑅 Fcf=m . 𝑹. ω2 Fcp Fcf Fcf=m. 𝒗 𝒌 𝟐 𝑹 m m.acp=m. 𝒗 𝒌 𝟐 𝑹 acp= 𝒗 𝒌 𝟐 𝑹 =𝑹ω𝟐

14 Az első kozmikus sebesség

15 Az első kozmikus sebesség

16 Az első kozmikus sebesség

17 Az első kozmikus sebesség
Fcf vI 𝐹=𝛾 𝑀𝑚 𝑟 2 m F 𝐹=𝛾 𝑀𝑚 𝐻+𝑅 2 𝐻 𝑟 𝐹𝑐𝑓=𝑚 𝑣 𝐼 2 𝑟 𝑅 F M 𝐹𝑐𝑓 = 𝐹 𝑚 𝑣 𝐼 2 𝑟 =𝛾 𝑀𝑚 𝑟 2 =K 𝑣𝐼= 𝐾 𝑟

18 Az első kozmikus sebesség
𝑣𝐼= 𝐾 𝑟 𝛾 (gamma), gravitációs állandó, 𝛾=6,67∙ 10 −11 𝑚 3 𝑠 2 vI m A Föld tömege: M=5,976∙ 𝑘𝑔 𝐾=𝛾𝑀 𝐻 𝐾=𝛾𝑀= 6,67∙ 10 −11 ∙5,976∙ = 𝑘𝑔𝑚 3 𝑠 2 𝑟 𝑅 A Föld sugara:R=6371 𝑘𝑚 Az első kozmikus sebesség a Föld felszínén:𝑣𝐼= 𝐾 𝑅 = =7,909 𝑘𝑚 𝑠 Az első kozmikus sebesség 200 km magasságban:𝑣𝐼= 𝐾 𝑅+𝐻 = =7,788 𝑘𝑚 𝑠

19 A második kozmikus sebesség
Gravitációs potenciál: Az a munka, ami az egységnyi m-tömegű testet a végtelenből az M-tömegű tömegközépponttól x-távolságba juttatja. Értéke negatív! Mértékegysége J/kg. 𝑉= 1 𝑚 ∞ 𝑥 𝐹∙𝑑𝑥 = 1 𝑚 ∞ 𝑥 𝛾 𝑚𝑀 𝑥 2 ∙𝑑𝑥 =𝛾 𝑀 𝑥 A második kozmikus sebesség az a sebesség, ami az objektumot az M tömegközépponttól olyan távolságra juttatja, hogy annak vonzása a mozgásállapotát már nem befolyásolja.

20 A második kozmikus sebesség
Legyen egy k kezdeti, és v végállapot. A kezdeti állapotban az m- tömegű objektumnak Em mozgási, és Ep gravitációs potenciális energiája van. Az energiamegmaradás törvénye miatt az összenergia a kezdeti és a végállapotban megegyezik. Tehát: 𝐸 𝑚 + 𝐸 𝑝 𝑘 = 𝐸 𝑚 + 𝐸 𝑝 𝑣 A végállapotban a potenciális energia, és a kinetikus energia is nulla, tehát: 𝐸 𝑚 + 𝐸 𝑝 𝑘 = 𝑣 Behelyettesítve: 1 2 𝑚 𝑣 𝐼𝐼 2 =𝛾 𝑀𝑚 𝑅 , ebből 𝑣 𝐼𝐼 = 2𝛾 𝑀 𝑟 , 𝑎𝑚𝑖 𝐾= 𝛾𝑀 helyettesítéssel 𝑣 𝐼𝐼 = 2𝐾 𝑟

21 A második kozmikus sebesség
𝑣 𝐼𝐼 = 2 ∙ 𝑣 𝐼

22 A második kozmikus sebesség
A második kozmikus sebesség meghatározását első alkalommal a 19. század végén Ciolkovszkij végezte el. „Tételezzük fel, a nehézségi gyorsulási érték a magasság növekedésével nem változik. Tételezzük fel továbbá, hogy az adott testet a bolygó sugarának megfelelő magasságra emeljük. Ekkor az elvégzett munka annyi, amennyi elegendő a Föld (égitest) vonzerejének végleges legyőzéséhez.” Ha e mondatokat képlet formájába jelenítjük meg: 𝒎 𝒗 𝟐 𝟐 = 𝒎𝒈𝟎𝑹𝟎 ; 𝒗 = 𝟐𝒈𝟎𝑹𝟎 ; E képlet pedig a parabola-, vagyis a második kozmikus sebesség értékét adja. E képlet alapján levonhatjuk a következtetést, amely minden égitestre vonatkozik: az első kozmikus sebesség négyzetgyök két-szerese a második kozmikus sebesség értékét adja.

23 A második kozmikus sebesség
A második kozmikus sebesség a Föld felszínén:𝑣𝐼𝐼= 2 𝐾 𝑅 = =11,180 𝑘𝑚 𝑠 𝐻 vII 𝑟 R m A második kozmikus sebesség 200 km magasságban:𝑣𝐼𝐼= 2 𝐾 𝑅+𝐻 = =11,015 𝑘𝑚 𝑠 𝑣𝐼𝐼= 2 𝐾 𝑟

24 A harmadik kozmikus sebesség
A harmadik kozmikus sebesség a naprendszerre vonatkoztatott második kozmikus sebesség a föld pályamagasságában. Ezzel a sebességgel indítva az űrobjektumot, az elhagyja a naprendszert.

25 A harmadik kozmikus sebesség
A Napra vonatkoztatott második kozmikus sebesség a Fölt közepes pályasebessége vF=29,8km/s 𝑣𝐼𝐼𝐼= 2 ∙ 𝑣 𝐹 =42,1 km/s. A Földtől való távolodás sebessége, tehát vt=42,1−29,8=12,3 𝑘𝑚 𝑠 Nap vII A Földről történő indítás esetén a harmadik kozmikus sebesség: 𝑣 𝐼𝐼𝐼 𝑣 𝐼𝐼 2 + 𝑣 𝑡á𝑣 2 = 11, ,3 2 =12,635 𝑘𝑚 𝑠 𝑅 Föld

26 A harmadik kozmikus sebesség
A harmadik kozmikus sebesség a jelenlegi eszközeinkkel elérhető legnagyobb sebességérték. Ez biztosítja, hogy az ilyen sebességre felgyorsított űrobjektum 42,1 km/s sebességgel induljon el a Nap-rendszer hatásszférájának a határa felé. Annak érdekében, hogy a nagyobb távolodási sebességet is biztosítsák, az amerikaiak felhasználták a nagy bolygók lendítő erejét is, hogy a Voyager–1-et és 2-t a legközelebbi csillagok irányába elindíthassák. Ezek az eszközök kb év múlva érnek a Nap hatásszférájának a határára. (~9 billió km)

27 A negyedik kozmikus sebesség
Negyedik kozmikus sebességnek – értelemszerűen –, azt a sebességértéket nevezik, amely a Tejútrendszer hatásszférájának a határára viszi ki az elindított űrobjektumot. Ennek értéke a 250 km/s pályasebesség 2 -szerese, vagyis 353 km/s lenne. Ezt úgy lehetne létrehozni, hogy a Nap hatás-szférájának a határán el kellene érni a = 103 km/s távolodási sebességet. E sebességérték elérésének lehetősége ma még a fantázia birodalmába tartozik, hiszen a Voyagerek távolodási sebessége maximum 15–20 km/s sebességet érheti majd el.

28 Pályaváltások A Hohmann transfer

29 Pályaváltások A bi-elliptikus transzfer

30 Pályaváltások Általános kétimpulzusos elliptikus transzfer egyik körpályáról egy másikra.

31 Pályaváltások Az általános kétimpulzuzos manőver egy alacsonyabb körpályáról egy magasabbra.

32 Pályaváltások Műholdak optimális pályaváltása szuperszinkron pályáról geoszinkron pályára.