Szerkezetek Dinamikája

Az előadások a következő témára: "Szerkezetek Dinamikája"— Előadás másolata:

1 Szerkezetek Dinamikája
6. hét: Rezgésszámítás frekvenciatérben. Talaj dinamikus rugómerevsége. Szóródó csillapítás.

2 Irodalom BSc: Györgyi József Dinamika, Műegyetemi kiadó 2007.
MSc: Györgyi József Szerkezetek dinamikája, Műegyetemi kiadó 2006.

3 Egyszabadságfokú rendszerek számítása harmonikus gerjesztésre
A csillapítatlan rezgés differenciálegyenlete harmonikus erővel való gerjesztésnél: Keressük az állandósult rezgést, mint a folyamatosan ható gerjesztő erőre adott válaszfüggvényt: 𝑚 𝑥 +𝑘𝑥=𝑞𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡) 𝑥 𝑔 𝑡 = 𝑥 𝑔0 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 𝜓= 𝜔 𝜔 0 𝑘− 𝜔 2 𝑚 𝑥 𝑔0 =𝑞 𝑥 𝑔0 = 𝑞 𝑘− 𝜔 2 𝑚 =𝑞 1 𝑘 1− 𝜔 2 𝜔 =𝑞 1 𝑘 1− 𝜓 2 =𝑞𝐻 𝜔

4 Egyszabadságfokú rendszerek számítása harmonikus gerjesztésre
Az állandósult rezgésrész: 𝑥 𝑔 𝑡 =𝑞𝐻 𝜔 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 frekvencia válaszfüggvény

5 Csillapított rezgés A csillapított rezgés esetén a gerjesztő erőt komplex alakban írjuk fel: Keressük ennek megfelelően az állandósult rezgést, mint a komplex válaszfüggvény valós vagy képzetes részét: 𝑞 𝑡 =q 𝑒 𝑖𝜔𝑡 =𝑞 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 +𝑖 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 𝑚 𝑥 +𝑐 𝑥 +𝑘 𝑥 =𝑞 𝑒 𝑖𝜔𝑡 𝑥 𝑔 𝑡 = 𝑥 𝑔0 𝑒 𝑖𝜔𝑡 𝜓= 𝜔 𝜔 0 𝑘− 𝜔 2 𝑚+𝑖𝜔𝑐 𝑥 𝑔0 =𝑞 𝜁= 𝑐 2 𝑘𝑚 𝑥 𝑔0 =𝑞 1 𝑘 1− 𝜔 2 𝜔 𝑖 𝜔 𝜔 0 𝑐 𝑘𝑚 =𝑞 1 𝑘 1− 𝜓 2 +𝑖2𝜁𝜓 =𝑞 𝐻 𝜔

6 Csillapított rezgés A 𝐻 𝜔 kifejezésében a nevezőt és a számlálót is megszorozva a nevező konjugáltjával, felírható a komplex függvény valós és képzetes része: Egy 𝑧=𝑥+𝑖𝑦 komplex szám felírható 𝑧=𝑟 𝑒 𝑖𝜙 alakban, ahol r a komplex szám abszolút értéke: 𝑟= 𝑥 2 + 𝑦 2 , míg 𝜑=𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑦 𝑥 . 𝐻 𝜔 = 1 𝑘 1− 𝜓 2 −𝑖2𝜁𝜓 1− 𝜓 𝜁𝜓 2 = 1 𝑘 1− 𝜓 − 𝜓 𝜁𝜓 2 +𝑖 2𝜁𝜓 1− 𝜓 𝜁𝜓 2 𝜑=𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 −2𝜁𝜓 1− 𝜓 2 =−𝛼 𝜔

7 Csillapított rezgés Komplex frekvencia válaszfüggvény
𝐻 𝜔 = 1 𝑘 − 𝜓 𝜁𝜓 − 𝜓 𝜁𝜓 = 1 𝑘 − 𝜓 𝜁𝜓 2 𝑥 𝑔0 =𝑞 𝐻 𝜔 =𝑞 𝐻 𝜔 𝑒 −𝑖𝛼 𝜔 Komplex frekvencia válaszfüggvény

8 Csillapított rezgés A elmozdulásfüggvény:
Attól függően, hogy a harmonikus gerjesztő erő a komplex erő valós vagy képzetes része volt, a komplex válasz valós vagy képzetes része lesz az elmozdulás. 𝑥 𝑔 𝑡 = 𝑥 𝑔0 𝑒 𝑖𝜔𝑡 =𝑞 𝐻 𝜔 𝑒 −𝛼 𝜔 𝑒 𝑖𝜔𝑡 =𝑞 𝐻 𝜔 𝑒 𝑖 𝜔𝑡−𝛼 = 𝑞 𝐻 𝜔 cos 𝜔𝑡−𝛼 +𝑖 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡−𝛼)

9 Periodikus erővel való gerjesztés Valós Fourier sor alkalmazása
𝑞 𝑡 =𝑞 𝑡+ 𝑇 1 Ω 1 = 2𝜋 𝑇 1 alapfrekvencia A periodikus gerjesztés felírható a valós Fourier sor segítségével: 𝑞 𝑡 = 𝑎 0 + 𝑛=1 ∞ 𝑎 𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝑛 Ω 1 𝑡 + 𝑛=1 ∞ 𝑏 𝑛 𝑠𝑖𝑛 𝑛 Ω 1 𝑡

10 Periodikus erővel való gerjesztés Valós Fourier sor alkalmazása
𝑎 0 a 𝑞 𝑡 átlagértéke. 𝑎 0 = 1 𝑇 1 𝜏 𝜏+ 𝑇 1 𝑞 𝑡 𝑑𝑡 𝑎 𝑛 = 2 𝑇 1 𝜏 𝜏+ 𝑇 1 𝑞 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑛 Ω 1 𝑡 𝑑𝑡 𝑏 𝑛 = 2 𝑇 1 𝜏 𝜏+ 𝑇 1 𝑞 𝑡 𝑠𝑖𝑛 𝑛 Ω 1 𝑡 𝑑𝑡 𝑚 𝑥 +𝑘𝑥= 𝑎 0 + 𝑛=1 ∞ 𝑎 𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝑛 Ω 1 𝑡 + 𝑛=1 ∞ 𝑏 𝑛 𝑠𝑖𝑛 𝑛 Ω 1 𝑡

11 Periodikus erővel való gerjesztés Valós Fourier sor alkalmazása
𝑥 𝑔 𝑡 = 𝑎 0 𝑘 + 𝑛=1 ∞ 𝑎 𝑛 𝐻 𝑛 Ω 𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝑛 Ω 1 𝑡 + 𝑛=1 ∞ 𝑏 𝑛 𝐻 𝑛 Ω 𝑛 𝑠𝑖𝑛 𝑛 Ω 1 𝑡 𝐻 𝑛 Ω 𝑛 = 1 𝑘 1− 𝑛 Ω 𝜔 = 1 𝑘 1− 𝜓 2

12 Periodikus erővel való gerjesztés Valós Fourier sor alkalmazása, Példa
Az ábrán látható periodikus gerjesztés esetén állítsuk elő a periodikus erő valós sorbafejtését. Az integrálási határokat célszerűen kell megválasztani: 𝜏 =− 𝑇 𝑇 1 2 Ekkor az egy periódushoz tartozó erő antimetrikus, azaz 𝑎 0 = 𝑎 𝑛 =0.

13 Periodikus erővel való gerjesztés Valós Fourier sor alkalmazása, Példa

14 Periodikus erővel való gerjesztés Valós Fourier sor alkalmazása, Példa
Az eredeti teher és a közelítései: n=1 n=3 n=5

15 Periodikus erővel való gerjesztés Komplex Fourier sor alkalmazása
A periodikus erőt komplex Fourier sorba fejtjük: Az inhomogén differenciálegyenlet: Partikuláris megoldása, a komplex válaszfüggvény:

16 Periodikus erővel való gerjesztés Komplex Fourier sor alkalmazása
A válaszfüggvény: A megoldás a válaszfüggvény valós része lesz:

17 Nem periodikus erővel való gerjesztés
Ha az erő nem periodikus, akkor felfoghatjuk úgy is, hogy az erő csak egyetlen periódusidőn keresztül működik. A kifejezéseinkben szereplő Ω 1 eddig véges mennyiség volt, és az Ω 1 𝑇 1 =2𝜋 egyenletből számítottuk. Most, amikor 𝑇 1 elvileg végtelen nagy is lehet, az Ω 1 helyett a Δ𝜔= 2𝜋 𝑇 1 elemi mennyiséggel számolhatunk. Ennek megfelelően a továbbiakban az egyenleteinkben az 𝑛 Ω 1 helyett Ω 𝑛 -t írunk: Ω 𝑛 =𝑛Δ𝜔

18 Nem periodikus erővel való gerjesztés Példa
Fourier transzformáció az időtérben lévő 𝑞 𝑡 függvényt transzformálja a frekvenciatérben lévő 𝑝 𝜔 függvénnyé. A 𝑝 𝜔 függvény a 𝑞 𝑡 függvény Fourier transzformáltja. Példa:

19 Nem periodikus erővel való gerjesztés Példa
A 𝑝 𝜔 függvény valós lett, és a Fourier transzformációt viszonylag egyszerűen el tudtuk végezni. Az ábrában 𝑃 Ω ≡ 𝑝 𝜔 és 𝑝 0 ≡ 𝑞 0 A 𝑝 𝜔 függvényben az 𝜔 végtelen nagy lehet de a 𝑝 𝜔 csúcsértékei a frekvenciával fordítottan arányosak és rohamosan csökkennek.

20 Nem periodikus erővel való gerjesztés
A megoldás:

21 Nem periodikus erővel való gerjesztés
Az inverz Fourier transzformáció a frekvenciatérben lévő 𝑝 𝜔 𝐻 𝜔 függvényt transzformálja az időtérben lévő függvénnyé. A két transzformálás együtt az ún. Fourier transzformáció pár. A feladat egy tetszőleges erőfüggvény esetén természetesen még bonyolultabb, és az integrálás analitikusan nehezen végezhető el.

22 Diszkrét Fourier transzformáció
A Fourier, ill. inverz Fourier transzformációknál fellépő integrálási nehézségek kezelésére megfelelő numerikus eljárás az ún. diszkrét Fourier transzformáció, ill. diszkrét inverz Fourier transzformáció. A függvényértékeket diszkrét 𝑡 𝑚 helyeken számítjuk, ahol az egyes időpontok között Δt időkülönbség van. (Ebben az esetben elegendő a 𝑞 𝑡 függvényt is diszkrét 𝑡 𝑚 =𝑚∆𝑡 helyeken megadni). A Δt ismeretében az egész 𝑇 1 időtartomány lefedéséhez szükséges integrálási lépésszám: N= 𝑇 1 ∆𝑡

23 Gyors Fourier transzformáció
A numerikus eljárások hatékonyságát sokszorosára növeli. Az 𝑒 −𝑖 2𝜋𝑛𝑚/𝑁 számításában előforduló ismétlődéseket hasznosítja. A 𝑝 Ω 𝑛 összefüggést a 𝑊 𝑁 = 𝑒 −𝑖2𝜋/𝑁 kifejezés felhasználásával átírjuk: A 𝑊 𝑁 =𝑐𝑜𝑠 2𝜋/𝑁 −𝑖 𝑠𝑖𝑛 2𝜋/𝑁 komplex függvény valós és képzetes része is harmonikus függvény, ezért ha N értékét 2 hatványaként számítjuk, akkor 𝑊 𝑁 𝑛𝑚 az nm újabb értékeinél meg fog egyezni egy korábban számítottal, így nem kell a 𝑊 𝑁 𝑛𝑚 mennyiségek számítását nxm alkalommal megismételni. Pl.: 𝑊 = 𝑒 −𝑖2𝜋/8 és 𝑊 = 𝑒 −𝑖2𝜋/8 9 = 𝑒 −𝑖2𝜋/8 Az eredeti transzformációnál: N 2 , míg a GyFT-nál: N 2 log 2 N , (N=512- nél ez 1%)

24 Többszabadságfokú rendszer számítása