Kijelentéslogikai, elsőrendű, analitikus következmény

Az előadások a következő témára: "Kijelentéslogikai, elsőrendű, analitikus következmény"— Előadás másolata:

1 Kijelentéslogikai, elsőrendű, analitikus következmény
Fitch program: megmondja, hogy mondatok egy adott halmazából következik-e egy mondat valamilyen következményreláció szerint. A program más lehetőségeit nem fogjuk használni. TautCon: a kijelentéslogikai következményreláció Példa: TautCon1 A kérdés: a konklúzió tautologikus következménye-e a három premisszának? Odahúzzuk a bal szélen levő csúszkát a konklúzió mellé, bejelöljük (kattintással) a premisszákat, és a jobboldalt levő Rule menü alsó feléből, a három következmény-fogalom közül választjuk a TautCon-t. A Check Step azt mondja, hogy nem jó. A Goal Constraints menü bejegyzése szerint nem volt szabad három premisszát választanunk. Próbáljunk az első két premisszából kicsiholni egy értelmes következményt: Home(max)  Hungry(carl). Ez tényleg következik tautologikusan. De ebből és a harmadik premisszából nem következik a konklúzió. Indirekt okoskodással meggyőződhetünk róla, hogy a következtetés nem helyes. Ellenpélda: Home(max) és Happy(carl) hamis, Hungry(carl) és Hungry(pris) igaz.

2 FOCon: olyan következtetés, amelynél a helyesség igazolásához a konnektívumokon kívül más logikai kifejezések (pl. ‘=̕ ) jelentését is figyelembe kell venni. AnaCon: felhasználhatjuk a nem logikai kifejezések jelentését is. Példa: TautCon2 Itt meg van adva mindegyik konklúziónál (vízszintes alatti sornál), hogy miből következtetünk rá. Csak azt kell kitalálni (a Rule menüben), hogy melyik következményfogalom szerint … pontosabban melyik az a legerősebb következményfogalom, amely szerint következik. HF (igazságtáblázattal, Boole): 4.20,21,22 NE FELEDKEZZENEK EL AZ ASSESSMENT-RŐL! Ajánlott: 4.24

3 Egy adott premisszahalmaz különböző következményrelációk szerinti következményei:
FOCon TautCon AnaCon

4 Analitikus fa készítése A Ruzsa program
Ellenőrizzük az alábbi következtetés helyességét! A  B A  B B MINDIG INDIREKT ÚTON JÁRUNK EL! Feltételezzük, hogy a premisszák igazak és a konklúzió hamis (azaz a konklúzió negációja igaz). Ha ebből ellentmondásra jutunk, akkor a következtetés helyes volt. Tehát az a kérdés, lehet-e az alábbi három mondat egyszerre igaz? A  B; A  B; B

5 A két premisszát és a konklúzió negációját vizsgáljuk, feltételezzük, hogy ez a három mondat igaz.
Tehát eleve feltételezzük, hogy B igaz, azaz B hamis. Hogyan lehet „A  B” igaz? Két esetben: A igaz, vagy B igaz. De már tudjuk, hogy B hamis, így marad az az eset, hogy A pedig igaz. Hogyan lehet „ A  B” igaz? Megint két esetben: úgy, hogy az egyik tagja igaz (azaz A hamis), vagy ha a másik tagja (azaz B) igaz. De ebből a kettőből már egyik se lehetséges az előzőek szerint, tehát semmilyen lehetőség nem maradt nyitva arra, hogy a két premissza igaz, a konklúzió pedig hamis legyen. Ezzel bebizonyítottuk, hogy a következtetés helyes.

6 Analitikus fa: az ilyen okoskodások rendszerezett formája.
Általában azt lehet vizsgálni vele, milyen feltételek (igazságértékelések) mellett lehet több mondat egyszerre igaz. Következtetések helyességének vizsgálata: ennek speciális esete. Lehet-e az összes premissza és a konklúzió negációja egyszerre igaz? Vizsgálat módszere: minden mondathoz származékokat rendelünk: olyan egyszerűbb mondatokat, amelyeknek az igazságából következik annak a mondatnak az igazsága, amelyből származnak. Ha egy mondat igazságához az szükséges, hogy a származékai egyszerre legyenek igazak, akkor ezeket egymás alá írjuk. Pl. „A  B” két származéka A és B, egymás alá írjuk. Ha egy mondat többféleképpen is lehet igaz, akkor a fát elágaztatjuk: külön ágakra írjuk azokat a feltételeket, amelyek egyenként elegendőek a mondat igazságához, az pedig szükséges, hogy valamelyikük teljesüljön. Tehát „A  B” származékai A, B, két külön ágon. Az előző okoskodásunkat szemléltethetjük egy analitikus fával (amit kézzel írni is szabad :)).

7 A kezdő lépés egyelőre a vizsgálandó mondathalmaz összes mondatának felírása.
Ha az összes kiinduló mondatot - következtetések ellenőrzése esetében a premisszákat és a konklúzió negációját – felírtuk, akkor hozzákezdhetünk a lebontáshoz, azaz azoknak az eseteknek a számbavételéhez, amikor a kiinduló mondatok mind igazak. Az analitikus fán kétféle lépés lehetséges: elágaztatás és egymás alá írás. A cél az, hogy olyan, tovább nem bontható mondatokat kapjunk eredményül, amelyek megadnak egy igazságértékelést az előforduló atomi mondatokra. Tovább nem bontható mondatok a literálok: az atomi mondatok és negációjuk. Egy atomi mondat megjelenése a fa egy ágán azt kívánja, hogy az illető mondatot értékeljük igazra. Negált atomi mondat azt írja elő, hogy az atomi mondat legyen hamis. Ha a fa egy ágán egy atomi mondat negálva is, negálatlanul is előfordul, az annyit jelent, hogy az az ág teljesíthetetlen előírást tartalmaz, ellentmondásos. Az ilyen ágat zártnak mondjuk. Ez nemcsak literálokra érvényes: Ha egy ágon előfordul tetszőleges mondat és annak negációja, akkor az az ág zárt, és nem érdemes tovább folytatni. Az ág zártságát csillaggal jelezhetjük. Minden ág a fa kiinduló pontjánál (gyökerénél) kezdődik. Az elágazás előtti mondatok mindegyik ághoz hozzátartoznak.

8 Minden lépésben úgy járunk el, hogy a lebontott mondat igazságához:
elegendő az, ha az egyik ágra kerülő származékok mindegyike igaz, szükséges az, hogy legalább az egyik ágon szereplő mondatok mindegyike igaz legyen. Következésképp minden lépés után igaz az, hogy az összes kiinduló mondat igazságához elég az, ha az egyik ágon az összes, még le nem bontott (vagy nem is lebontható) mondat igaz, de szükséges az, hogy legalább az egyik ágon minden ilyen mondat igaz legyen. Ezért a már lebontott mondatokat áthúzzuk. A végén már a literálokon kívül nincsen le nem bontott (áthúzatlan) mondat. Ezért igaz az, hogy a belőlük adódó igazságértékelések azok, amelyek mellett a kiinduló mondatok mind igazak. Ha egy ág zárt, akkor nincs olyan igazságértékelés, amely az összes mondatát igazra értékelné. Ha az összes ág zárt – azaz az egész fa zárt – akkor nincsen olyan igazságértékelés, amely az összes kiinduló mondatot igazzá teszi. Ha egy következtetés esetében a premisszákból és a konklúzió negációjából kiinduló fa zárt, akkor a következtetés helyes.

9 Analitikus fát készítő program: Ruzsa (https://ruzsa.tbitai.me/)
Használati utasítás: A fára a virtuális és a fizikai klaviatúrával együtt tudunk FOL-mondatokat írni. Először beírjuk a vizsgálandó (kiinduló) mondatokat. Beírjuk az első mondatot: A  B Enter-rel kell befejezni a mondatszerkesztést. Ha hibásan írtuk, az Enter-nél jelzi (külön a zárójelhibákat). A jobb alsó sarokban levő + gombbal tudunk még kiinduló mondatokat hozzáadni a fához, egymás után ugyanígy. Figyelem: ahhoz, hogy mondatot tudjunk beírni, mindig először oda kell klikkelni a helyére – megjelenik egy kék vonal, arra lehet írni. A mondat befejezésénél ne felejtsük el az Entert! Ha a kurzorral rámutatunk valamelyik mondatra, négy lehetőséget látunk. Az első azt jelenti, hogy a mondat igazságának olyan feltétele van, hogy két egyszerűbb mondat közül az egyiknek kell igaznak lennie. Más szóval: a mondatnak diszjunktív származékai vannak. Azaz a mondat lebontásánál el kell ágaztatnunk a fát. Ilyenek az „ A  B” alakú mondatok.

10 A második azt jelenti, hogy a mondat igazságához két egyszerűbb mondat igazságának egyszerre kell teljesülnie. Azaz a mondatnak konjunktív származékai vannak. Ezeket elágaztatás nélkül egymás alá kell írnunk. Ez a helyzet „AB” alakú mondat esetén. A harmadik: két eset van, de mindkettőben két feltétel is van. Ilyenre később lesz példa. Ez az előző kettő kombinációja. A negyedik az az eset, amikor a mondat igazságának feltételét egyetlen egyszerűbb mondat igazságával tudjuk megadni. Ezt is az eddigiek alá kell írnunk. Ilyen az az eset, amikor „A” alakú mondattal van dolgunk. Ugyancsak ide tartozik az az eset, amikor egy korábban az adott ágon már szereplő mondat negációja kerül az ágra. Ebben az esetben az ág zárt, és a zártság jelét, a ̒*’ jelet az új mondat származékaként írhatjuk fel az ágra. Most már meg tudjuk írni a ruzsa programban az előző következtetésünkhöz tartozó analitikus fát.

11 Ha le akarunk bontani egy mondatot, nekünk kell kiválasztanunk, hogy milyen típusú származékai vannak. Az „ A  B” diszjukciónak diszjunktív származékai vannak. Ezt kiválasztva a táblázatot elágaztatjuk: az alján megjelenik két új ág, egy-egy mondatnak való üres hellyel. Az üres helyekre odaírjuk a származékokat. A CHECK STEP gombbal ellenőrizzük, hogy jól csináltuk-e. Csak ezután tudjuk folytatni. A CHECK STEP ellenőrzi azt is, hogy helyesen nyilvánítottunk-e zártnak egy ágat. NAGYON FONTOS: Ha egy elágazás felett választunk ki egy mondatot lebontásra, akkor a származékai minden alatta lévő, még nyitott ágra rákerülnek. Ha a mondatnak diszjunktív származékai vannak (azaz újra el kell ágaztatni), akkor minden ág elágazik! Példa arra, miért fontos ez: Legyen a két kiinduló mondatunk „A  B” és „C  D”. Ez a két mondat együtt 4 esetben lehet igaz. Ha a második diszjunkció lebontásakor nem csinálnánk újabb elágaztatást, akkor a négy lehetőségből csak kettőt látnánk. (Ezt ruzsa nem is engedi.)

12 Ha már minden mondatot lebontottunk, kivéve az atomi és a negált atomi mondatokat, akkor nem tudjuk tovább folytatni a táblázatot, a fa kész. Ha kiinduló mondatok egy halmaza zárt táblázathoz vezet, akkor ezek a mondatok nem lehetnek egyszerre igazak. Ha a kiinduló mondatok egy következtetés premisszáiból és konklúziójának negációjából állnak, és az analitikus fa zárt, akkor a következtetés helyes. Ha a kész analitikus fán van nyitott ág, akkor tudunk a következtetésre ellenpéldát konstruálni: legyenek a negálatlanul szereplő atomi mondatok igazak, a negálva szereplők hamisak. Emellett az értékelés mellett a kiinduló mondatok mind igazak lesznek, tehát a premisszák igazak, a konklúzió pedig hamis – megvan az ellenpélda.

13 Lebontási szabályok a Boole-konnektívumokhoz
Egy negációval kezdődő mondatot aszerint kell lebontani, hogy minek a negációja. Minden kétargumentumú konnektívumhoz két lebontási szabály tartozik: egy a negálatlan, egy a negált esetre. A  B lebontási szabálya: két diszjunktív származéka van, A és B. Sémában: A  B A B (A  B) lebontási szabálya: két konjunktív származéka van, A és B. (A  B) A B

14 A  B lebontási szabálya:
két konjunktív származéka van, A és B. Sémában: A  B A B (A  B ) lebontási szabálya: két diszjunktív származéka van, A és B. (A  B ) A B A lebontási szabálya: származéka A. A

15 A TautCon1 fájlban szereplő hibás következtetéshez is meg tudjuk találni a ruzsa programban az ellenpéldá(ka)t. A szereplő mondatokat (nagy)betűkkel kell rövidítenünk, mert ruzsa csak a blokknyelvet, meg a mondatbetűket érti. „Szótár”: Home(max): A Happy(carl): B Hungry(carl): C Hungry(pris): D Az eredményt el tudjuk menteni a saját gépünkre, (alapértelmezésben) .tree kiterjesztéssel. A programmal meg is nyithatunk .tree fájlokat. HF: Döntsék el analitikus fával a következtetések helyességét! Küldjék el a 4.20_nev.tree stb. fájlokat, és az be írják bele, melyik következtetés helyes, melyik nem. A nem helyes(ek)hez adják meg azt is, milyen igazságértékelés ad ellenpéldát. A neveket (a, b) a fizikai klaviatúráról kell beírni. A 4.21 feladatban az atomi mondatokat mondatbetűkkel (A, B) kell rövidíteni. (Szabad ugyanezt tenni a másik két feladatban is.) Egyenesen a demonstrátoroknak lehet küldeni a megoldásokat, de most CC-zzék nekem is!