LEÍRÓ STATISZTIKA, HETEROGÉN SOKASÁG, BECSLÉSELMÉLET Összefoglalás

Az előadások a következő témára: "LEÍRÓ STATISZTIKA, HETEROGÉN SOKASÁG, BECSLÉSELMÉLET Összefoglalás"— Előadás másolata:

1 LEÍRÓ STATISZTIKA, HETEROGÉN SOKASÁG, BECSLÉSELMÉLET Összefoglalás
Gazdaságstatisztika LEÍRÓ STATISZTIKA, HETEROGÉN SOKASÁG, BECSLÉSELMÉLET Összefoglalás 2017. október 31.

2 Valószínűségszámítás - Matematikai statisztika
Valószínűségszámítás: a véletlen tömegjelenségekben rejlő statisztikai törvényszerűségek vizsgálata Valószínűségelmélet: ismert az eloszlásfüggvény és annak paraméterei Valóság: nem ismert az eloszlásfüggvény és/vagy annak paraméterei A matematikai statisztika célja: következtetés tapasztalati (megfigyelési, mérési) adatokból események ismeretlen valószínűségeire, valószínűségi változók ismeretlen eloszlásfüggvényére vagy azok paramétereire. mintavétel, adatfeldolgozás, leíró statisztika, következtető statisztika

3 Sokaság: a vizsgálat tárgyát képező egységek összessége
Matematikai statisztika lényege Sokaság: a vizsgálat tárgyát képező egységek összessége Következtetés A megfigyelési eredmények a minta elemei, a megfigyelések száma a minta nagysága vagy elemszáma. A minta elemei az alapsokaság eloszlásával megegyező eloszlású valószínűségi változók. Minta: valamely valószínűségi változóra vonatkozó véges számú független kísérlet vagy megfigyelés (mérés) eredménye Mintavétel Mintavétel: a statisztikai sokaságból információszerzés céljából véletlenszerűen egyedi elemeket emelünk ki

4 Statisztikai módszertan ágai
LEÍRÓ vagy DESKRIPTÍV statisztika Tömör, számszerű jellemzés: a megfigyelt adatok legjobb megértésére, bemutatására, összefoglalására törekszik. KÖVETKEZTETŐ statisztika Fő célja a mintából való következtetés, általánosítás a teljes sokaságra vonatkozóan.

5 Mintavétel – részleges megfigyelés
Cél: következtetéseket vonjunk le a teljes sokaságra vonatkozóan a sokaság részleges megismerése által A MINTA CSAK ESZKÖZ A SOKASÁG TELJES MEGISMERÉSÉHEZ! A statisztikai mintavételek és az ebből származó adatokat felhasználó elemzések mindig tartalmaznak hibákat! a statisztika szükségszerű velejárója, mintavételi hiba meghatározása

6 Mintavételi és nem mintavételi hiba
Adatgyűjtéshez kapcsolódó hibák: pl. definíciós hibák, nemválaszolási hibák, végrehajtási hibák – NEM MINTAVÉTELI HIBA Védekezési mechanizmus: alkalmazott technikák, technológiák fejlesztése A teljes sokaság megismeréséről való lemondás ára – MINTAVÉTELI HIBA Védekezési mechanizmus: olyan mintavételi eljárásokat keresünk, hogy ez a lehető legkisebb legyen A mintavételi hiba annál kisebb, minél nagyobb a minta.

7 Mintavételi hiba A mintából számított bármely mutató értéke mintáról mintára változik. A mintából számított értékek a megfelelő sokasági jellemző körül szóródnak. Ez a szóródás kisebb minták esetében nagyobb, nagyobb minták esetében kisebb. A mintavételi hiba a vizsgált mutató lehetséges mintákból számított értékeinek átlagos eltérését mutatja a megfelelő sokasági értéktől.

8 Véletlen mintavétel Olyan kiválasztási eljárás, melynek során ismert vagy meghatározható a sokaság egyes elemeinek mintába kerülési esélye. Mintavételi hiba számszerűsítése Reprezentativitás biztosítása: a minta összetétele csak a véletlen hatások miatt tér el a sokaságétól Visszatevéses egyszerű véletlen mintavétel Visszatevés nélküli egyszerű véletlen mintavétel Rétegzett mintavétel Csoportos mintavétel Többlépcsős mintavétel

9 Véletlen mintavétel Visszatevéses egyszerű véletlen mintavétel
A sokaságból egyenlő valószínűséggel, a visszatevéses technika miatt egymástól függetlenül veszünk mintát. Inkább elméleti, mint gyakorlati jelentőség. Visszatevés nélküli egyszerű véletlen mintavétel A sokaságból egyenlő valószínűséggel veszünk mintát, a mintaelemek egymástól nem függetlenek. Inkább gyakorlati, mint elméleti jelentőség. Következtetés pontosságát meghatározó tényezők: Minta elemszáma Sokaság heterogenitása

10 Véletlen mintavétel Rétegzett mintavétel: a sokaságot egy csoportképző ismérv szerint rétegekre bontjuk, majd minden rétegből egyszerű véletlen mintát veszünk. Teljes lista Következtetés megbízhatóságát meghatározó tényező: Rétegek heterogenitása Rétegképző ismérv „jósága” Szóráshányados mutató

11 Véletlen mintavétel Csoportos mintavétel: olyan nyilvántartásból történik a kiválasztás, amely a sokaság egységeit nem elkülönítve, hanem természetes vagy mesterséges csoportokban tartalmazza. Csoportképző ismérv Csoportok közül egyszerű véletlen mintavétel Következtetés megbízhatóságát meghatározó tényező: Csoport heterogenitása Többlépcsős mintavétel: csoportos általánosítása

12 Mérési skálák Nominális (névleges) Sorrendi Intervallum Arány
Osztályok vagy elemek azonosítása; pl. járatszám Egyenlőségi reláció Gyakoriság, modális osztály számolható Sorrendi Egységek összehasonlítása, rendezése; pl. versenyen elért helyezés Egyenlőségi és sorrendi relációk Intervallum Skála pontjai közötti távolság értelmezhető, szabadon választható nullpont és mértékegység Pl.: hőmérséklet Arány Additivitási tulajdonság Valódi nullpont; pl. tömeg, ellenállás

13 Adatok csoportosítása, osztályozása
Rangsor készítése X ismérv szerinti osztályozás kérdései: Az X változó diszkrét, és az általa felvehető értékek száma kicsi Annyi osztályt képezünk ahány különböző X érték lehetséges az i-edik osztály esetében fennáll az alsó és felső osztályhatár egybeesése Az X változó folytonos, vagy diszkrét ugyan, de az általa felvehető különböző értékek száma nagy X lehetséges értékeinek tartományát osztályközökre bontjuk az i-edik osztályköz Xi1 felső határa nem eshet egybe az (i+1)-dik osztályköz Xi+1,0 alsó határával

14 Adatok csoportosítása, osztályozása
Az X szerint képzett osztály Osztály- közép abszolút relatív alsó felső gyakoriság határa X10 X11 X1* f1 g1 X20 X21 X2* f2 g2 Xi0 Xi1 Xi* fi gi … Xk0 Xk1 Xk* fk gk Összesen N 1 Osztályközhosszúság:

15 Adatok csoportosítása, osztályozása
fi gyakoriságok: a sokaság hány egysége tartozik az X változó szerint képzett i-edik osztályba gi relatív gyakoriságok: a sokaság hány %-a tartozik az X változó szerinti i-edik osztályba, azaz, hogy oszlik meg a sokaság az egyes osztályok között fi’ kumulált gyakoriság: a sokaság hány egysége tartozik összesen az i-edik, illetve az azt megelőző osztályokba gi’kumulált relatív gyakoriság: a sokaság hány %-a tartozik összesen az i-edik, illetve az azt megelőző osztályokba Tapasztalati eloszlásfüggvény Osztályközép Xi*: az összes, az adott osztályba tartozó adat helyettesítése

16 Pálcikadiagram – diszkrét adat
Érdemjegy Tapasztalati gyakoriság (fi) Relatív gyakoriság (gi) 1 68 0,089 2 280 0,368 3 274 0,361 4 91 0,120 5 47 0,062 Összesen 760

17 Kumulált tapasztalati gyakoriság (fi) Kumulált relatív gyakoriság (gi)
Lépcső alakú diagram Érdemjegy Kumulált tapasztalati gyakoriság (fi) Kumulált relatív gyakoriság (gi) 1 68 0,089 2 348 0,458 3 622 0,818 4 713 0,938 5 760

18 Gyakorisági hisztogram
alsó határ felső határ osztályközép gi [%] -20,00% -15,00% -17,5% 2,02% -10,00% -12,5% 9,09% -5,00% -7,5% 0,00% -2,5% 23,23% 5,00% 2,5% 32,32% 10,00% 7,5% 15,15% 15,00% 12,5% 8,08% 20,00% 17,5% 1,01% összesen 100,00% GYAKORISÁGI HISZTOGRAM (tapasztalati (empirikus) sűrűségfüggvény) Gyakoriság vonaldiagramja

19 Gyakorisági vonaldiagram
Gyakorisági görbe

20 Kumulált relatív gyakorisági hisztogram
alsó határ felső határ osztályközép g’i [%] -20,00% -15,00% -17,5% 2,02% -10,00% -12,5% 11,11% -5,00% -7,5% 20,20% 0,00% -2,5% 43,43% 5,00% 2,5% 75,76% 10,00% 7,5% 90,91% 15,00% 12,5% 98,99% 20,00% 17,5% 100,00% összesen Kumulált relatív gyakoriság vonaldiagramja KUMULÁLT RELATÍV GYAKORISÁGI HISZTOGRAM

21 Kumulált relatív gyakoriság vonaldiagramja
KUMULÁLT RELATÍV GYAKORISÁG VONALDIAGRAMJA (tapasztalati eloszlásfüggvény) Ogiva

22 Leíró statisztikai mutatószámok
Helyzetmutatók, középértékek: Az eloszlás helyzetét egyetlen, az adatokkal azonos mértékegységű számértékkel jellemzik Ingadozásmutatók: Az adathalmaz szóródása, változékonysága Az adatok egymás közötti különbségei Kitüntetett értéktől való eltérés, ingadozás valamilyen középérték körül

23 Helyzetmutatók (középértékek)
Csoportosításuk: Helyzeti középértékek: az adatok közötti elhelyezkedésüknél fogva jellemzik a vizsgált gyakorisági eloszlás helyzetét medián, módusz Számított középértékek: az adatokkal kapcsolatos számszerű összefüggésük révén jellemzik a vizsgált gyakorisági eloszlás helyzetét számtani átlag, mértani átlag, négyzetes átlag, harmonikus átlag Elvárások: Közepes helyzetűek Tipikusak Egyértelműen meghatározhatóak Könnyen értelmezhetőek Tipikus: Értéke álljon közel az előforduló értékek zöméhez.

24 Medián me annak a legelső osztályköznek a sorszáma, amelyre igaz, hogy
helyzeti középérték mutató a változó azon számértéke, amelynél az összes előforduló számérték fele kisebb, fele pedig nagyobb, így a rangsorba állított sokasági számértékeket két egyenlő gyakoriságú osztályra bontja Becsülhető osztályközös gyakorisági sorból is: Előnye: Mindig egyértelműen meghatározható Érzéketlen a szélsőértékekre, és nem függ a többi ismérvértéktől sem. Hátránya: Nem használható, ha az adatsorban sok az egyforma ismérvérték Egyéb tulajdonsága: A mediánt tartalmazó osztály bal végpontja. A mediánt tartalmazó osztály hossza. Rangsorba rendezett minőségi ismérvekből is számolható. ha

25 Módusz mo a legnagyobb gyakoriságú osztály(ok) sorszáma Hátránya:
helyzeti középérték, a tipikus ismérvérték diszkrét ismérv esetén a módusz a leggyakrabban előforduló ismérvérték, folytonos ismérv esetén a gyakorisági görbe maximumhelye. Előnye: érzéketlen a szélsőértékekre, nem függ sem az összes, sem a kiugró ismérvértékektől. Hátránya: nem mindig határozható meg egyértelműen, és nem is mindig létezik nagy bizonytalansággal becsülhető Egyéb tulajdonsága: nyers módusz, osztályköz megválasztása Becsülhető osztályközös gyakorisági sorból is: A móduszt tartalmazó osztály bal végpontja. A móduszt tartalmazó osztály hossza. mo a legnagyobb gyakoriságú osztály(ok) sorszáma

26 Számtani átlag számított középértékfajta
az a szám, amellyel az átlagolandó számértékeket helyettesítve azok összege változatlan marad. Számítása: Előnye: bármely alapadathalmazból egyértelműen meghatározható, minden alapadatot felhasznál Hátránya: érzékeny a szélsőértékekre  nyesett átlag Tulajdonsága: 𝑿 𝒎𝒊𝒏 ≤ 𝑿 ≤ 𝑿 𝒎𝒂𝒙 !!!

27 Számtani átlag Egyéb fontos tulajdonsága: minimális, ha

28 Kvantilisek a rangsorban olyan osztópontok (osztályhatárok), amelyek egyenlő relatív gyakoriságokat fognak közre Az Xi/k i-edik k-ad rendű kvantilis az a szám, amelynél az összes előforduló ismérvértékek i/k-ad része kisebb, (1-i/k)-ad része pedig nagyobb, ahol k≥2 és i=1, 2 ,…, k-1.

29 Ingadozásmutatók (szóródásmutatók)
Csoportosításuk: Az adathalmazban szereplő értékek változékonyságát az egyes értékek egymás közötti különbségein, vagy egyes értékeknek egy kitüntetett értéktől (középérték) való eltérésein keresztül ragadja meg. Mértékegységüket tekintve: Abszolút mutatók: mértékegysége megegyezik az alapadatokéval Relatív mutatók: mértékegység nélküli [%]

30 Terjedelem Interkvantilis terjedelem
a szóródást az adathalmazban szereplő legnagyobb és legkisebb adat különbségeként jellemzi abszolút ingadozásmutató Előnye: a könnyű számítás Hátránya: értéke csak a két legszélsőségesebb ismérvértéktől függ, amelyeket sokszor a véletlen szeszélyeinek köszönhetünk. Interkvantilis terjedelem csökkenti a véletlen szélsőértékeket (legkisebb és legnagyobb értéket) alakító szerepét az adathalmaz két szélső k-adrendű kvantilisének különbsége

31 (Korrigált) tapasztalati szórás
a szóródást az alapadatoknak egy kitüntetett értéktől (számtani átlagtól) való eltérésein keresztül méri, abszolút ingadozásmutató A szórás az egyes Xi ismérvértékek átlagtól vett di eltéréseinek négyzetes átlaga: azt mutatja, hogy az egyes értékek átlagosan mennyire térnek el a számtani átlagtól. Olyan átlagos hiba, amit akkor követünk el, ha minden alapadatot a számtani átlaggal helyettesítünk. A számtani átlag tulajdonsága szerint ez a hiba minimális. Torzítatlan: a becsülni kívánt paraméter körül ingadozzék!

32 Részekre bontott sokaság vizsgálata
Heterogén sokaság: a vizsgált ismérv szempontjából lényegesen eltérő jellegzetességeket mutató sokaság A sokaságot célszerű részekre bontva elemezni 𝑀 (𝑀≥2) részsokaságot alakítunk ki Ehhez úgy kell csoportképző ismérvet választani, hogy megmutassa a részsokaságok közötti heterogenitást. Csoportképzés valamilyen minőségi vagy területi ismérv alapján Vegyes kapcsolat: Az egyik vizsgált változó területi vagy minőségi ismérv, a másik változó mennyiségi ismérv

33 Fősokaság részsokaság 2. részsokaság M. részsokaság i. részsokaság

34 Rész- és főátlagok N A j-edik részsokaság értékösszege Fősokaság
M. részsokaság N i. részsokaság

35 Teljes-, belső- és külső eltérés
Fősokaság részsokaság 2. részsokaság dij Bij Kj M. részsokaság i. részsokaság

36 Teljes-, belső- és külső eltérés
A szórásszámítás alapja: belső eltérés külső eltérés A teljes eltérés azt mutatja, hogy Yij eltérhet a főátlagtól, mert: az ismérvértékek ingadoznak a részátlag körül => belső eltérések a részátlagok ingadoznak a főátlag körül => külső eltérések Csoportképző ismérven kívüli összes egyéb tényezőnek tulajdonítható Csoportképző ismérvnek tulajdonítható

37 Részszórás Fősokaság részsokaság 2. részsokaság M. részsokaság

38 Belső szórás Fősokaság részsokaság 2. részsokaság M. részsokaság
i. részsokaság

39 A részvarianciák és a belső variancia kapcsolata
A j-edik részsokaság varianciája Ebből A belső variancia Egyes részvarianciák részsokasági elemszámmal súlyozott számtani átlaga

40 Külső szórás Fősokaság részsokaság 2. részsokaság M. részsokaság
i. részsokaság

41 Teljes szórás Fősokaság részsokaság 2. részsokaság M. részsokaság
i. részsokaság

42 Teljes-, belső- és külső szórás
Teljes eltérés-négyzetösszeg: SST Teljes szórás Részszórás: A j-edik részsokaság szórása Belső szórás A fősokaság egyes egységeihez tartozó Yij ismérvértékek átlagosan mennyivel térnek el a saját részátlaguktól – a részsokaságok összességére vonatkozik Külső szórás A részátlagok átlagosan mennyivel térnek el a főátlagtól Belső eltérés-négyzetösszeg: SSB Külső eltérés-négyzetösszeg: SSK

43 A teljes-, a belső- és a külső variancia kapcsolata

44 Az Y ismérv SST teljes eltérés-négyzetösszegének, változékonyságának
SST, SSB, SSK Az Y ismérv SST teljes eltérés-négyzetösszegének, változékonyságának SSK nagyságú része a részsokaságok képzésére használt csoportképző ismérvnek tulajdonítható, azzal magyarázható. SSK csak a külső eltérésektől függ. SSB nagyságú rész az Y ismérv szóródását előidéző más, kiemelten nem vizsgált tényezők együttes hatásának tudható be. SSB csak a belső eltérésektől függ.

45 Vegyes kapcsolat szorossága, a varianciahányados
X: csoportképző minőségi ismérv Y: mennyiségi ismérv X és Y kapcsolatának szorosságát mérő mutatót H2-tel jelöljük, és varianciahányadosnak, vagy szórásnégyzet-hányadosnak nevezzük: A H2 az Y ismérv szórásnégyzetének az X ismérv által magyarázott hányada. H2=0, ha SSK=σ2k=0, vagyis az X ismérv szerint képzett osztályok részátlagai egyformák H2=1, ha σ2k= σ2T, azaz σ2B=0, vagyis az X szerint képzett csoportokon belül nem szóródik Y.

46 A vegyes kapcsolat szorosságának mérése: a szóráshányados
H a szóráshányados, ami ugyancsak 0 és 1 között mozog. H=0 értéke a vizsgált két ismérv függetlenségét jelzi, H=1 pedig az X és Y közötti függvényszerű kapcsolatra utal. Nem fejezhető ki százalékosan, hanem kizárólag a kapcsolat szorosságának megítélésére használható a 0-hoz, illetve az 1-hez való közelségét figyelembe véve.

47 A becslés elmélete mintáról mintára változik maga is valósz. változó
Minta-1 mintáról mintára változik Minta-2 maga is valósz. változó Minta-3 adott elméleti eloszlással, szórással stb. jellemezhető

48 Becslési kritériumok Torzítatlanság Hatásosság Konzisztencia Elégséges
A becslés várható értéke a becsülendő sokasági paraméter A becslés a szóban forgó paraméterérték körül ingadozik Asszimptotikusan torzítatlan becslések A becslés torzításának mértéke csökken a minta elemszámának növelésével Hatásosság A becslés ingadozása (szórása) a becsülendő paraméter körül Konzisztencia A becslés ingadozása növelve a mintaszámot egyre csökken Elégséges Lényegében minden információt tartalmaz a becsülendő paraméterről

49 Intervallumbecslés mintáról mintára változik maga is valósz. változó
Minta-1 mintáról mintára változik Minta-2 maga is valósz. változó Minta-3 adott elméleti eloszlással, szórással stb. jellemezhető

50 Intervallumbecslés Pontbecslés: az ismeretlen sokasági jellemző értékére egy mintából egyetlen pontot határoztunk meg, amely eleget tett valamilyen követelménynek. Intervallumbecslés: a minta alapján olyan intervallumot határozunk meg, amely előre megadott (nagy) valószínűséggel tartalmazza a becsülni kívánt jellemzőt.

51 Intervallum szélessége
Sokasági szórás intervallum szélessége Mintaszám Megbízhatósági szint

52 Várható érték becslése – ismert alapsokasági szórás
A  valószínűségi változó N(,0) eloszlású, ahol 0 szórás ismert A  sokasági paramétert statisztikai mintából a számtani átlaggal becsüljük. Az átlag eloszlása normális: A konfidencia- intervallum sugarát adott megbízhatósági szinthez tartozó maximális hibának nevezzük.

53 A megfelelő z-érték keresése
Legyen 𝜶=𝟎,𝟏, így 𝟏− 𝜶 𝟐 =𝟏−𝟎,𝟎𝟓=𝟎,𝟗𝟓 Keressük azt a 𝒛 értéket, ahol 𝚽 𝒛 =𝟎,𝟗𝟓

54 Mintanagyság meghatározása
Adottak a megbízhatósági és pontossági követelmények, és ennek tükrében kell a minta elemszámát meghatározni

55 Várható érték becslése – ismeretlen alapsokasági szórás
Feltétel: a sokaság normális eloszlású, de nem ismerjük sem a várható értéket (μ-t), sem a sokasági szórást (σ0-t). Kis mintánk van, n<30. Nagy minta esetén a Student-eloszlás helyettesíthető normális eloszlással Az átlag továbbra is normális eloszlású Az ismeretlen alapsokasági szórás (σ) becslésére a korrigált tapasztalati szórást használjuk fel ( 𝑠 ∗ , torzítatlan becslés.) 𝒛= 𝒙 −𝝁 𝝈/ 𝒏 helyett 𝒕= 𝒙−𝝁 𝒔 ∗ / 𝒏 , ami Student eloszlású valószínűségi változó ν=n-1 szabadsági fokkal A konfidencia intervallum:

56 A t-érték meghatározása
Megbízhatósági szint Szabadságfok: DF=n-1

57 Várható érték becslése
Standard normális eloszlás táblázata segítségével Normális eloszlásból; ismert alapsokasági szórás ( 𝜎 0 ) Normális eloszlás, ismeretlen alapsokasági szórás (becslése a mintából 𝑠 ∗ ), de a mintaelemszám 𝑁>30 Nagy minta 𝑁>100 (nem szükséges a sokaság normalitása) 𝑃 𝑋 − 𝑧 𝛼 2 𝜎 0 𝑁 <𝜇< 𝑋 + 𝑧 𝛼 2 𝜎 0 𝑁 =1−𝛼 Student-eloszlás segítségével Normális eloszlásból származó, kis elemszámú minta áll rendelkezésre és az alapsokasági szórást a mintából kell becsülni 𝑃 𝑋 − 𝑡 𝛼 2 (𝐷𝐹) 𝑠 ∗ 𝑁 <𝜇< 𝑋 + 𝑡 𝛼 2 (𝐷𝐹) 𝑠 ∗ 𝑁 =1−𝛼

58 Sokasági arány becslése
A sokaságon belül egyetlen (mennyiségi vagy minőségi) ismérv szerint 2 csoportba soroljuk a sokasági elemeket. A sokasági arány: P Torzítatlan becslőfüggvénye: p = k/n p = k/n Binomiális eloszlás M(p) = P D2(p) = P(1-P)/n Közelítjük normális eloszlással

59 Szorgalmi feladat Egy vasútvonalon egy hétig minden vonaton feljegyezték az utasok számát. Az eredményeket az alábbi táblázat tartalmazza: Adjunk 95%-os megbízhatóságú intervallumot azon vonatok arányára, amelyen 60-nál kevesebben utaztak! Utasok száma Vonatok száma 𝟎≤𝑿<𝟑𝟎 6 𝟑𝟎≤𝑿<𝟔𝟎 12 𝟔𝟎≤𝑿<𝟗𝟎 28 𝟗𝟎≤𝑿<𝟏𝟐𝟎 30 𝟏𝟐𝟎≤𝑿<𝟏𝟓𝟎 16 𝟏𝟓𝟎≤𝑿≤𝟏𝟖𝟎 8

60 Szorgalmi feladat megoldása
=0,95 innen 𝛼=0,05; kétoldali becslés, így 𝛼 2 =0,025. Keressük a 𝑧 𝛼/2 értéket, azt az értéket, ahol az 𝑁~(0,1) eloszlás felveszi a 0,975 értéket: 𝛷 −1 0,975 =1,96 𝑝= 𝑘 𝑛 = =0,18 (a mintában 18 olyan vonat volt, amin 60-nál kevesebben utaztak). 𝑃 𝑝− 𝑧 𝛼 𝑝 1−𝑝 𝑁 <𝑃<𝑝+ 𝑧 𝛼 𝑝 1−𝑝 𝑁 =1−𝛼 𝑃(0,18−1,96 0,18∗0, <P<0,18+1,96 0,18∗0, )=0,95 0,1047<𝑃<0,2553 95%-os megbízhatósági szinten 10,47 % és 25,53 % között van az olyan vonatok aránya, amelyen 60-nál kevesebben utaztak.

61 Sokasági variancia becslése
σ2 torzítatlan becslése: korrigált tapasztalati szórás Ekkor a 𝑛−1 𝑠 ∗ 2 𝜎 2 változó n-1 szabadsági fokú χ2 eloszlású követ. A χ2 eloszlás: független standard normális eloszlású változók négyzetei összegének eloszlása. Egy paramétere van: ν=n-1, ahol n az összegezendő egymástól független valószínűségi változók számát jelenti. Csak pozitív értékeken értelmezzük, balra aszimmetrikus, a szabadságfok növelésével közelít a normális eloszláshoz. Következmény: a konfidencia intervallum nem lesz szimmetrikus a pontbecslésre! KIZÁRÓLAG NORMÁLIS ELOSZLÁSÚ ALAPSOKASÁG ESETÉN BECSÜLHETŐ!!!

62 Sokasági variancia becslése
 Normális el. !! M()=, D2()=2 - csak pozitív értékekre értelmezett - nem szimmetrikus !! mintából becsüljük, s2 vagy s*2 2-eloszlású (Mintavételi eloszlás)

63 Példa A Felvillanyozzuk Kft. karácsonyfaégőinek élettartamát n = 16 elemű mintából vizsgálva azt találták, hogy az élettartamok korrigált tapasztalati szórása 10 óra. Határozzuk meg az égők varianciájára, ill. szórására vonatkozó 95%-os konfidencia-határokat! Megoldás: n = 16 s* = 10 óra DF = n – 1 = 16 – 1 = 15  = 0,95   = 0,05  kétoldali becslés: /2 = 0,025  1 – /2 = 0,975 95%-os megbízhatósági szinten a sokasági szórás 7,38 és 15,5 óra között van. 54,5 < 2 < 239,6 7,38 < < 15,5

64 Szorgalmi feladat Egy vasútvonalon egy hétig minden vonaton feljegyezték az utasok számát. Az eredményeket az alábbi táblázat tartalmazza: Adjunk 99%-os megbízhatóságú intervallumot az utasok számának szórására! Utasok száma Vonatok száma 𝟎≤𝑿<𝟑𝟎 6 𝟑𝟎≤𝑿<𝟔𝟎 12 𝟔𝟎≤𝑿<𝟗𝟎 28 𝟗𝟎≤𝑿<𝟏𝟐𝟎 30 𝟏𝟐𝟎≤𝑿<𝟏𝟓𝟎 16 𝟏𝟓𝟎≤𝑿≤𝟏𝟖𝟎 8

65 Szorgalmi feladat megoldása
=0,99 innen 𝜶=𝟎,𝟎𝟏; kétoldali becslés, így 𝜶 𝟐 =𝟎,𝟎𝟎𝟓 és 𝟏− 𝜶 𝟐 =𝟎,𝟗𝟗𝟓. 𝑫𝑭=𝒏−𝟏 így 𝑫𝑭=𝟏𝟎𝟎−𝟏=𝟗𝟗. χ2 𝜶 𝟐 (𝑫𝑭=𝟗𝟗)=𝟏𝟒𝟎,𝟏𝟕 és χ2 𝟏−𝜶/𝟐 𝑫𝑭=𝟗𝟗 =𝟔𝟕,𝟑𝟐𝟖 𝑷 (𝒏−𝟏) 𝒔 ∗ 𝟐 χ2 𝜶 𝟐 <𝝈 𝟐 < (𝒏−𝟏) 𝒔 ∗ 𝟐 χ2 𝟏−𝜶/𝟐 =𝟏−𝜶 𝑷 𝟗𝟗∗ 𝟑𝟖,𝟓𝟔 𝟐 𝟏𝟒𝟎,𝟏𝟕 < 𝝈 𝟐 < 𝟗𝟗∗ 𝟑𝟖,𝟓𝟔 𝟐 𝟔𝟕,𝟑𝟐𝟖 =𝟎,𝟗𝟗 𝟏𝟎𝟓𝟎,𝟏𝟓𝟕< 𝝈 𝟐 <𝟐𝟏𝟖𝟔,𝟑𝟏𝟗 𝟑𝟐,𝟒𝟎𝟔<𝝈<𝟒𝟔,𝟕𝟓𝟖 99%-os megbízhatósággal az utasok számának szórása 32,406 fő és 46,758 fő között van.

66 Kvíz – játék- pluszpont !!!
Game PIN-t be kell írni Nickname: Vezetéknév Neptun kód!!! Pluszpontok 1. hely: 3 pont 2. hely: 3 pont 3. hely: 3 pont 4-10 hely: 2 pont Legalább 6 helyes válasz: 1 pont

67 Köszönöm a figyelmet! Árva Gábor