Lineáris egyenletrendszerek

Az előadások a következő témára: "Lineáris egyenletrendszerek"— Előadás másolata:

1 Lineáris egyenletrendszerek
Megoldási módszerek És Példa feladatok

2 Megoldási módszerek Grafikus módszer Behelyettesítéses módszer
Gauss féle eliminációs módszer avagy az egyenlő együtthatók módszere Vegyesen megoldható, többismeretlenes egyenletrendszerek

3 Grafikus módszer Szükséges lépések, hogy az egyenletek y-ra legyenek rendezve, az egyenleteket mint függvényeket közös koordináta rendszerben ábrázoljuk, és a kapott metszéspont tengelyekre vetített képét leolvassuk. Ezek adják a megoldást. Hátránya, hogy 3 ismeretlenes egyenletrendszernél magasabb rendűt megoldani igen bonyolult

4 x=1; y=2 és ez az egyenletrendszer megoldása
Példa x=1; y=2 és ez az egyenletrendszer megoldása

5 X=0; y=2 És ez az egyenletrendszer megoldása
Példa X=0; y=2 És ez az egyenletrendszer megoldása

6 Megoldás: x=3; y=-1 Olvassuk le a metszéspont jelzőszámait! I. II.
Mivel mind a két egyenlet y-ra rendezett, ezért ábrázolhatjuk ezeket közös koordinátarendszerben I. II. Olvassuk le a metszéspont jelzőszámait! x 1 5 10 -5 -10 y I. Megoldás: x=3; y=-1 II.

7 Megoldás: x=2; y=2 Olvassuk le a metszéspont jelzőszámait! y=2 X=2
Mivel mind a két egyenlet y-ra rendezett, ezért ábrázolhatjuk ezeket közös koordinátarendszerben I. II. Olvassuk le a metszéspont jelzőszámait! 5 -5 x y I. Megoldás: x=2; y=2 y=2 X=2 II.

8 I. Mivel mind a két egyenlet y-ra rendezett, ezért ábrázolhatjuk ezeket közös koordinátarendszerben II. Olvassuk le a metszéspont jelzőszámait! 5 -5 x y Megoldás: Mivel nincs metszéspont, ezért nincs megoldása az egyenletrend-szernek I. II.

9 Megoldás behelyettesítő módszerrel
Valamelyik egyenletet az egyik változójára rendezzük Ezután behelyettesítjük a rendezett egyenletet a másik eredeti egyenletbe.

10 Mely számpárok elégítik ki az egyenletek megoldáshalmazát?
Vegyük észre, hogy a II. egyenlet x-re rendezett! I. II. Helyettesítsük be a II. egyenletet az I. egyenletbe! II. I. Zárójelbontás Összevonás / -2 / :7 Helyettesítsük vissza ezt az eredményt a II. egyenlet rendezett alakjába! Az egyenletrendszer megoldása: x=2, és y=1

11 Példa a behelyettesítő módszerre
Vegyük észre, hogy az I. egyenlet könnyen y változóra rendezhető! Elegendő visszahelyettesíteni az előbb kapott eredményt az I. egyenlet rendezett alakjába! És ez a megoldása az egyenletrendszernek

12 Mi a megoldása a következő egyenletrendszernek?
II. Fejezzük ki y-t az I. egyenletből! Helyettesítsük be az I. egyenlet y-ra rendezett alakját a II.-ba! I. II. Behelyettesítéskor ügyeljünk arra, hogy többtagú tényezővel helyettesítünk! / +32 / :7 Helyettesítsük vissza ezt az eredményt az I. egyenlet rendezett alakjába! Az egyenletrendszer megoldása: x=5, és y=6

13 Mi a megoldása a következő egyenletrendszernek?
Fejezzük ki y-t a II. egyenletből! I. II. Helyettesítsük be a II. egyenlet y-ra rendezett alakját az I.-be! II. I. Behelyettesítéskor ügyeljünk arra, hogy többtagú tényezővel helyettesítünk! / Összevonás / :9 Helyettesítsük vissza ezt az eredményt a II. egyenlet rendezett alakjába! Az egyenletrendszer megoldása: x=3, és y=2

14 Egyenlő együtthatók módszere
Akkor hatásos, amikor a behelyettesítés előkészítése bonyolulttá tenné az egyenlet átrendezését. Célunk ezzel a módszerrel az, hogy valamelyik ismeretlen változótól megszabaduljunk. Ezt úgy tehetjük meg, hogy mindkét egyenletnek az egyik kiválasztott változóit egyenlő együtthatóra alakítjuk.

15 Ha az I. egyenletet megszorozzuk 3-mal, és a II
Ha az I. egyenletet megszorozzuk 3-mal, és a II. egyenletet megszorozzuk 2-vel, akkor mindkét egyenletben az x változó 6 szorosa jelenik meg. Azaz: Mindkét egyenletben a 6x-es tagok pozitívak. Vonjuk ki az I. egyenletből a II.-at.

16 Oldjuk meg ugyanezt az egyenletrendszert x-re is!

17 Vegyesen megoldható, és három ismeretlenes egyenletrendszerek

18 Mi a megoldása a következő egyenletrendszernek?
/ *7 I. Ahhoz, hogy x-t ki ejthessük az egyenletrendszerből, vegyük észre, hogy 175 lesz a közös együtthatójuk II. / *5 I. Vonjuk ki az első egyenletből a másodikat! II. - I. II. / :20 Helyettesítsük vissza ezt az eredményt a II. egyenlet eredeti alakjába! / -40,3 / :35 Az egyenletrendszer megoldása: x=-0,18, és y=1,3

19 Mi a megoldása a következő egyenletrendszernek?
/ *2 I. Ahhoz, hogy x-t ki ejthessük az egyenletrendszerből, vegyük észre, hogy 10 lesz a közös együtthatójuk II. / *1 I. Vonjuk ki az első egyenletből a másodikat! II. - I. II. / :9 Helyettesítsük vissza ezt az eredményt a II. egyenlet eredeti alakjába! / -18 / :10 Az egyenletrendszer megoldása: x=5, és y=6

20 Mi a megoldása a következő egyenletrendszernek?
/ :2 I. Ahhoz, hogy x-t ki ejthessük az egyenletrendszerből, vegyük észre, hogy 2 lesz a közös együtthatójuk II. / *1 I. Vonjuk ki a második egyenletből az elsőt! II. - II. I. / :2 Helyettesítsük vissza ezt az eredményt az I. egyenlet eredeti alakjába! / -18 / :4 Az egyenletrendszer megoldása: x=5, és y=3

21 Mi a megoldása a következő egyenletrendszernek?
/ :2 I. Ahhoz, hogy x-t ki ejthessük az egyenletrendszerből, vegyük észre, hogy 2 lesz a közös együtthatójuk II. / *1 I. Vonjuk ki a második egyenletből az elsőt! II. - II. I. Azaz bármelyik x-hez találunk pontosan egy y megoldást Az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van.

22 Mi a megoldása a következő egyenletrendszernek?
/ :2 I. Ahhoz, hogy x-t ki ejthessük az egyenletrendszerből, vegyük észre, hogy 2 lesz a közös együtthatójuk II. / :5 I. Vonjuk ki a második egyenletből az elsőt! II. - II. I. Azaz bármelyik x-hez találunk pontosan egy y megoldást Az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van.

23 Mi a megoldása a következő egyenletrendszernek?
/ :2 I. Ahhoz, hogy x-t ki ejthessük az egyenletrendszerből, vegyük észre, hogy 2 lesz a közös együtthatójuk II. / *1 I. Vonjuk ki a második egyenletből az elsőt! II. - II. I. Azaz nincs megoldása az egyenletrendszernek

24 Mi a megoldása a következő egyenletrendszernek?
/ *2 I. Ahhoz, hogy y-t ki ejthessük az egyenletrendszerből, vegyük észre, hogy 2 lesz a közös együtthatójuk II. / *1 I. Adjuk össze az első és a másodikat egyenleteket! II. I. + II. / :11 Helyettesítsük vissza ezt az eredményt a II. egyenlet eredeti alakjába! / -14 / : (-2) Az egyenletrendszer megoldása: x=2, és y=6

25 Az egyenletrendszer megoldása: x=1, y=2 és z=3
Mi a megoldása a következő egyenletrendszernek? / *2 I. Ahhoz, hogy z-t ki ejthessük az egyenletrendszerből, vegyük észre, hogy 2 lesz a közös együtthatójuk II. / *1 III. / *2 I. Vonjuk ki az I. egyenletből a II.-t! II. Vonjuk ki az I. egyenletből a III.-t! III. Ahhoz, hogy y-t ki ejthessük az egyenletrendszerből, vegyük észre, hogy a 8 a közös együttható! I. - II. I;II. I;III. I. - III. Vonjuk ki az I;II. egyenletből a I;III.-t! / : (-4) Helyettesítsük vissza ezt az eredményt az I;III egyenletbe! / -2 Helyettesítsük vissza ezt az eredményt az III. egyenletbe! Az egyenletrendszer megoldása: x=1, y=2 és z=3

26 Az egyenletrendszer megoldása: x=2, y=3 és z=5
Mi a megoldása a következő egyenletrendszernek? I. Ahhoz, hogy z-t és x-t ki ejthessük az egyenletrendszerből, vegyük észre, hogy az együtthatójuk azonos! II. III. Vonjuk ki az I. egyenletből a II.-t! I;II. I. - II. Adjuk össze az I. egyenletet a III.-kal! I;III. I. + III. Ahhoz, hogy y-t ki ejthessük az egyenletrendszerből, vegyük észre, hogy az együtthatójuk közös! / :2 Vonjuk ki az I;III. egyenletből az I;II.-t! Helyettesítsük vissza ezt az eredményt az I;III egyenletbe! / -4 Helyettesítsük vissza ezt az eredményt az I. egyenletbe! Az egyenletrendszer megoldása: x=2, y=3 és z=5