Kvantitatív módszerek

Az előadások a következő témára: "Kvantitatív módszerek"— Előadás másolata:

1 Kvantitatív módszerek
Döntési osztályok – döntési kritériumok Gyakorló feladatok

2 Döntéselmélet – Példa 1 A Korman Industries olyan zenei cd-ket állít elő, amelyeket postai úton juttatnak el a közönségnek. Méretgazdaságossági és ütemezési problémák miatt a Korman üzletpolitikája az, hogy egy adott hanganyagból legyártani szánt példányokat egyetlen termelési ütem alatt állítják elő. Ha a piaci kereslet nagyobb, mint a legyártott mennyiség, akkor a vevők (akik megrendelték, de nem jutott cd) egy 4$-os kupont kapnak, amelyet a vevő bármelyik más cd megvásárlásakor felhasználhat. Ha a legyártott mennyiség meghaladja a piaci keresletet, akkor a fennmaradó cd-ket 5$-ért adják el egy zenei áruháznak. Ez az 5$ éppen egy cd változó költségének a fele. A Korman egy újonnan kötött megállapodás értelmében most fizetett $-nyi jogdíjat egy adott hanganyagért, amelyről készült cd-t 50$-ért kívánja majd értékesíteni. A piackutató részlegük előrejelzése szerint az alábbi piaci keresleti szintek fordulhatnak elő: 20000, 40000, 60000, és db. Fix költség: $, változó költség: 10$/db

3 Döntéselmélet – Példa 1 Készítsük el a döntési mátrixot! Tételezzük fel, hogy nincs információnk a piaci keresleti szint valószínűségéről! Hogyan döntsön a szervezet ebben a helyzetben? Milyen kritériumokat alkalmazhat? Tételezzük fel, hogy a korábbi tapasztalatok alapján a következő valószínűségek rendelhetők az egyes keresleti szintekhez: 0,1; 0,3; 0,4; 0,2. Hogyan döntsön ilyen helyzetben? A vállalatvezetés úgy döntött, hogy csak akkor veszi meg a jogdíjat, ha várhatóan db-ot el tud adni a cd-ből. A piackutató részleg gyorsfelmérést végzett. A részleg által adott előrejelzés az esetek 65%-ában jelezte előre helyesen a db eladását. A piackutató részleg 20000db keresleténél 10%-ban jelezte a 60000db eladását, 40000db keresleténél 15%-ban és db keresleténél pedig 10%-ban. Mekkora valószínűséggel veszi meg a jogdíjat? Hosszú távon mekkora profitja lesz a cd-k eladásából a vállalatnak?

4 Megoldás – Példa 1 Pénzügy eredmény= Ár1 * x + -fix költség –változó költség * x (+többletbevétel/extraköltség) t1: 20000 t2: 40000 t3: 60000 t4: 80000 s1: 20000 600000 520000 440000 360000 s2: 40000 500000 s3: 60000 400000 s4: 80000 300000

5 Megoldás – Példa 1 Bizonytalan döntések osztálya Wald kritérium
Maximax t1: 20000 t2: 40000 t3: 60000 t4: 80000 s1: 20000 600000 520000 440000 360000 s2: 40000 500000 s3: 60000 400000 s4: 80000 300000 t1: 20000 t2: 40000 t3: 60000 t4: 80000 s1: 20000 600000 520000 440000 360000 s2: 40000 500000 s3: 60000 400000 s4: 80000 300000

6 Megoldás – Példa 1 Bizonytalan döntések osztálya Savage t1: 20000
600000 520000 440000 360000 s2: 40000 500000 s3: 60000 400000 s4: 80000 300000 t1: 20000 t2: 40000 t3: 60000 t4: 80000 s1: 20000 s2: 40000 s3: 60000 s4: 80000

7 Megoldás – Példa 1 Bizonytalan döntések osztálya: Laplace t1: 20000
600000 520000 440000 360000 s2: 40000 500000 s3: 60000 400000 s4: 80000 300000 𝑀 𝑠 1 = =480000 𝑀 𝑠 2 = = 𝑀 𝑠 3 = = 𝑀 𝑠 4 = =

8 Megoldás – Példa 1 Bizonytalan döntések osztálya: Hurwicz
Legyen az optimizmus együttható: 0,8 t1: 20000 t2: 40000 t3: 60000 t4: 80000 s1: 20000 600000 520000 440000 360000 s2: 40000 500000 s3: 60000 400000 s4: 80000 300000 φ 𝑠 1 =0,8∙ ,2∙360000=552000 φ 𝑠 2 =0,8∙ ,2∙500000= φ 𝑠 3 =0,8∙ ,2∙400000= φ 𝑠 4 =0,8∙ ,2∙300000=

9 Megoldás – Példa 1 Kockázatos döntések osztálya
Maximum likelihood kritérium: Várható érték kritérium: Ehhez legközelebb a t3 van. A megoldás menete ugyanaz innen, mint az ML kritériumnál. 𝑃 𝑡 1 =0,1 𝑃 𝑡 2 =0,3 𝑃 𝑡 3 =0,4 𝑃 𝑡 4 =0,2 t1: 20000 t2: 40000 t3: 60000 t4: 80000 s1: 20000 600000 520000 440000 360000 s2: 40000 500000 s3: 60000 400000 s4: 80000 300000 𝑀 𝑡 =0,1∙ ,3∙ ,4∙ ,2∙80000=54000

10 Megoldás – Példa 1 Kockázatos döntések osztálya
Várható pénzérték kritérium: 𝑃 𝑡 1 =0,1 𝑃 𝑡 2 =0,3 𝑃 𝑡 3 =0,4 𝑃 𝑡 4 =0,2 t1: 20000 t2: 40000 t3: 60000 t4: 80000 s1: 20000 600000 520000 440000 360000 s2: 40000 500000 s3: 60000 400000 s4: 80000 300000 𝑀 𝑠 1 =0,1∙600+0,3∙520+0,4∙440+0,2∙360=464000 𝑀 𝑠 2 =0,1∙500+0,3∙1400+0,4∙1320+0,2∙1240= 𝑀 𝑠 3 =0,1∙400+0,3∙1300+0,4∙2200+0,2∙2120= 𝑀 𝑠 4 =0,1∙300+0,3∙1200+0,4∙2100+0,2∙3000=

11 Megoldás – Példa 1 Kockázatos döntés pótlólagos információk alapján  Z esemény: a piackutató 60000db-ot jelez előre A priori val. Felt. val. Posteriori val. (Bayes tétel) 𝑃 𝑡 1 𝑧 = 0,1∙0,1 0,335 =0,03 𝑃 𝑡 1 =0,1 𝑃 𝑧 𝑡 1 =0,1 𝑃 𝑡 2 𝑧 = 0,3∙0,15 0,335 =0,13 𝑃 𝑡 2 =0,3 𝑃 𝑧 𝑡 2 =0,15 𝑃 𝑡 3 =0,4 𝑃 𝑧 𝑡 3 =0,65 𝑃 𝑡 3 𝑧 = 0,4∙0,65 0,335 =0,78 𝑃 𝑡 4 =0,2 𝑃 𝑧 𝑡 4 =0,1 𝑃 𝑡 4 𝑧 = 0,2∙0,1 0,335 =0,06 𝑃 𝑧 =𝑃 𝑧 𝑡 1 ∙𝑃 𝑡 1 +𝑃 𝑧 𝑡 2 ∙𝑃 𝑡 2 +𝑃 𝑧 𝑡 3 ∙𝑃 𝑡 3 +𝑃 𝑧 𝑡 4 ∙𝑃 𝑡 4 = =0,1∙0,1+0,3∙0,15+0,4∙0,65+0,2∙0,1=0,335

12 Megoldás – Példa 1 t1: 20000 t2: 40000 t3: 60000 t4: 80000 s1: 20000
𝑃 𝑡 1 𝑧 =0,03 𝑃 𝑡 2 𝑧 =0,13 𝑃 𝑡 3 𝑧 =0,78 𝑃 𝑡 4 𝑧 =0,06 t1: 20000 t2: 40000 t3: 60000 t4: 80000 s1: 20000 600000 520000 440000 360000 s2: 40000 500000 s3: 60000 400000 s4: 80000 300000 𝑀 𝑠 1 =0,03∙600+0,13∙520+0,78∙440+0,06∙360=450400 𝑀 𝑠 2 =0,03∙500+0,13∙1400+0,78∙1320+0,06∙1240= 𝑀 𝑠 3 =0,03∙400+0,13∙1300+0,78∙2200+0,06∙2120= 𝑀 𝑠 4 =0,03∙300+0,13∙1200+0,78∙2100+0,06∙3000=

13 Döntéselmélet – Példa 2 A Santa Claus Tree Company megszerezte a bérleti jogát egy olyan területnek, ahol akár 1 millió db fenyőfa kivágására is lehetősége nyílik. A vállalatnak döntenie kell, hogy hány fát vágjon ki és szállítson le az értékesítés helyeire december folyamán. Ha a vállalat keveset vág ki, akkor potenciális bevételtől eshet el, ha pedig a keresletnél többet vág ki, akkor a kivágás és szállítás költségeivel kell számolnia az el nem adott fák esetében. Karácsony után pedig nyilván nincs kereslet e fenyőfákra. A terület bérleti díja 50000$/év + a bérleti díj változó része: 2$/fa. Egy fenyő kivágásának és szállításának további becsült költsége 1$/fa. Keresleti szint Valószínűség 50000 0,1 100000 0,4 125000 0,2 150000 200000 A marketing részleg előrejelzése szerint a keresleti viszonyok és azok valószínűsége az alábbiak szerint alakul

14 Döntéselmélet – Példa 2 Egy fenyőfát 8$-ért kívánnak értékesíteni.
Készítsük el a döntési mátrixot! Tételezzük fel, hogy nincs információnk a piaci keresleti szint valószínűségéről! Hogyan döntsön: Használjuk fel a marketing részleg által adott valószínűségekre vonatkozó információkat! Hogyan döntsön ezek birtokában? A vállalatvezetés úgy döntött, hogy csak akkor veszi át a terület bérleti díját, ha várhatóan db-ot el tud adni a fákból. A marketing részleg által adott előrejelzés az esetek 68%-ában jelezte előre helyesen a db eladását. A részleg 50000db keresleténél 5%-ban jelezte a db eladását, db keresleténél 12%-ban és db keresleténél 8%-ban és db keresleténél pedig 7%ban. Mekkora valószínűséggel veszi meg a területet? Hosszú távon mekkora nyereségre számíthat a vállalat?

15 Megoldás – Példa 2 Döntési mátrix (ezer dollárban):
Bizonytalan döntések Wald kritérium: s1 stratégia, db t1: 50000 t2: t3: t4: t5: s1: 50000 200 s2: 50 450 s3: -25 375 575 s4: -100 300 500 700 s5: -250 150 350 550 950

16 Megoldás – Példa 2 Bizonytalan döntések osztálya:
Maximax kritérium: s5 stratégia (200000db) t1: 50000 t2: t3: t4: t5: s1: 50000 200 s2: 50 450 s3: -25 375 575 s4: -100 300 500 700 s5: -250 150 350 550 950

17 Megoldás – Példa 2 Bizonytalan döntések osztálya
Savage kritérium: db t1: 50000 t2: t3: t4: t5: s1: 50000 200 s2: 50 450 s3: -25 375 575 s4: -100 300 500 700 s5: -250 150 350 550 950 t1: 50000 t2: t3: t4: t5: s1: 50000 -250 -375 -750 s2: -150 -125 -500 s3: -225 -75 s4: -300 s5: -450

18 Megoldás – Példa 2 Bizonytalan döntések osztálya Laplace kritérium
200 s2: 50 450 s3: -25 375 575 s4: -100 300 500 700 s5: -250 150 350 550 950 𝑀 𝑠 2 = 50+4∙450 5 =370 𝑀 𝑠 3 = − ∙575 5 =415 𝑀 𝑠 1 =200 𝑀 𝑠 4 = − =420 𝑀 𝑠 5 = − =350

19 Megoldás – Példa 2 Bizonytalan döntések osztálya:
Hurwicz kritérium (opt. együttható legyen:0,65) t1: 50000 t2: t3: t4: t5: s1: 50000 200 s2: 50 450 s3: -25 375 575 s4: -100 300 500 700 s5: -250 150 350 550 950 φ 𝑠 1 =200 φ 𝑠 2 =0,65∙450+0,35∙50=310 φ 𝑠 3 =0,65∙575+0,35∙(−25)=365 φ 𝑠 4 =0,65∙700+0,35∙(−100)=420 φ 𝑠 5 =0,65∙950+0,35∙(−250)=530

20 Megoldás – Példa 2 Kockázatos döntések osztálya ML kritérium t1: 50000
𝑃 𝑡 1 =0,1 𝑃 𝑡 2 =0,4 𝑃 𝑡 3 =0,2 𝑃 𝑡 4 =0,2 𝑃 𝑡 5 =1 t1: 50000 t2: t3: t4: t5: s1: 50000 200 s2: 50 450 s3: -25 375 575 s4: -100 300 500 700 s5: -250 150 350 550 950

21 Megoldás – Példa 2 Kockázatos döntések osztálya VÉ kritérium t1: 50000
𝑃 𝑡 1 =0,1 𝑃 𝑡 2 =0,4 𝑃 𝑡 3 =0,2 𝑃 𝑡 4 =0,2 𝑃 𝑡 5 =0,1 t1: 50000 t2: t3: t4: t5: s1: 50000 200 s2: 50 450 s3: -25 375 575 s4: -100 300 500 700 s5: -250 150 350 550 950 𝑀 𝑡 =0,1∙ ,4∙ ,2∙ ,2∙ ,1∙200000=120000

22 Megoldás – Példa 2 Kockázatos döntések osztálya: VP kritérium
𝑃 𝑡 1 =0,1 𝑃 𝑡 2 =0,4 𝑃 𝑡 3 =0,2 𝑃 𝑡 4 =0,2 𝑃 𝑡 5 =0,1 t1: 50000 t2: t3: t4: t5: s1: 50000 200 s2: 50 450 s3: -25 375 575 s4: -100 300 500 700 s5: -250 150 350 550 950 𝑀 𝑠 1 =200 𝑀 𝑠 2 =0,1∙50+0,9∙450=410 𝑀 𝑠 3 =0,1∙(−25)+0,4∙375+0,5∙575=435 𝑀 𝑠 4 =0,1∙ −100 +0,4∙300+0,2∙500+0,3∙700=420 𝑀 𝑠 5 =0,1∙ −250 +0,4∙150+0,2∙900+0,1∙950=310

23 Megoldás – Példa 2 Kockázatos döntés pótlólagos információk alapján  Z esemény: db-ot jelez előre A priori val. Felt. val. Posteriori val. (Bayes tétel) 𝑃 𝑡 1 𝑧 = 0,1∙0,05 0,324 =0,015 𝑃 𝑡 1 =0,1 𝑃 𝑧 𝑡 1 =0,05 𝑃 𝑡 2 𝑧 = 0,4∙0,685 0,324 =0,84 𝑃 𝑡 2 =0,4 𝑃 𝑧 𝑡 2 =0,68 𝑃 𝑡 3 =0,2 𝑃 𝑧 𝑡 3 =0,12 𝑃 𝑡 3 𝑧 = 0,2∙0,12 0,324 =0,074 𝑃 𝑡 4 𝑧 = 0,2∙0,08 0,324 =0,05 𝑃 𝑡 4 =0,2 𝑃 𝑧 𝑡 4 =0,08 𝑃 𝑡 5 𝑧 = 0,1∙0,07 0,324 =0,0216 𝑃 𝑡 5 =0,1 𝑃 𝑧 𝑡 5 =0,07 𝑃 𝑧 =0,1∙0,05+0,4∙0,68+0,2∙0,12+0,2∙0,08+0,1∙0,07=0,324

24 Megoldás – Példa 2 t1: 50000 t2: 100000 t3: 125000 t4: 150000
0,015 0,84 0,074 0,05 0,0216 t1: 50000 t2: t3: t4: t5: s1: 50000 200 s2: 50 450 s3: -25 375 575 s4: -100 300 500 700 s5: -250 150 350 550 950 𝑀 𝑠 1 =200 𝑀 𝑠 2 =0,015∙50+0,985∙450=444 𝑀 𝑠 3 =0,015∙(−25)+0,84∙375+0,1456∙575=398,345 𝑀 𝑠 4 =337620 𝑀 𝑠 5 =196170

25 Döntéselmélet – Példa 3 A Bartlett Corporation fénycsövekkel lát el kaliforniai irodákat. Az elmúlt 20 évben komoly erőfeszítéseket tett a minőségi termékgyártás irányába, és elég nagy ügyfélkört alakított ki. A Bartlett is folyamatosan növelni szeretné a nyereségét más vállalatokhoz hasonlóan. A Bartlett beszerzési igazgatója olyan fénycsőforrásokat keres, amelyek hozzájárulnak az előbbi cél megvalósításához. Pillanatnyilag a Brightday nevű vállalattól vásárolják a fénycsöveket. E beszállító a múltbeli tapasztalati adatok alapján az alábbi hibaaránnyal dolgozik. Hibaarány Valószínűség 0,01 0,5 0,02 0,4 0,03 0,1 Összesen 1

26 Költségek várható értéke
Döntéselmélet – Példa 3 A Bartlett Corporation garanciavállalása szerint a hibás fénycsöveket kicserélik, és a cserével kapcsolatos költségeket (5$/db) a vállalat állja. A marketing osztály db fénycső keresletét jelzi előre a következő évre. Ha mind a db fénycsövet a Brightdaytől szerzik be, akkor a hibás fénycsövek aránya és költsége az alábbiak szerint alakul: A várható csereköltség 8000$ db iránti kereslet esetén. Hibás darabok száma Költség Valószínűség Költségek várható értéke 1000 5000 0,5 2500 2000 10000 0,4 4000 3000 15000 0,1 1500 Összesen 1 8000

27 Döntéselmélet – Példa 3 A Bartlett Corporationnél jelentkezett egy újabb beszállító, a West German. A db fénycsőre egy 0,25$/db alacsonyabb árajánlatot adott, mint amit a Brightday pillanatnyilag nyújt. Bár a beszállítás költsége alacsonyabb, a Bartlettnek nincs közvetlen információja a West German hibaarányáról. Ennek becsléséhez más európai beszállítók révén szerzett tapasztalataikat használják fel. Hibaarány Valószínűség 0,01 0,1 0,02 0,04 0,3 0,08 0,10 0,15 Összesen 1,0

28 Döntéselmélet – Példa 3 A várható csereköltség (West German) db fénycső esetén: A várható csereköltség 32000$ db iránti kereslet esetén >> 8000$ (Brightday). Ám a West German által szállított fénycsövek 0,25$-ral olcsóbbak, ez db esetén: 25000$, ehhez hozzáadva a 8000$-t=33000$. Hibaarány Hibás darabok Költség Valószínűség Várható költség 0,01 1000 5000 0,1 500 0,02 2000 10000 0,04 4000 20000 0,3 6000 0,08 8000 40000 12000 0,10 50000 0,15 15000 75000 7500 Összesen 1,0 32000

29 Döntéselmélet – Példa 3 Eddig a várható érték kritériumot alkalmaztuk. Ha az előző számítást vesszük, akkor az a West German mellett szól. Ugyanakkor a Bartlett a hosszú távú partnerkapcsolatok mellett érvelve fontosnak tartja a Brigthdayt, mint üzleti partnert, így további információkhoz szeretne hozzájutni. Ezért a West Germantől mintát kér, és az így szerzett pótlólagos információkat kívánja meg kombinálni az a priori információkkal, hogy jobb döntést hozzon – ehhez a Bayes logikát használja. A bekért 50 elemű mintában 6 darab volt hibás. Hogyan döntsön a vállalat?

30 Megoldás – Példa 3 Feltételes valószínűségek meghatározása: az egyes hibaarányok, mint feltételek mellett, mekkora a valószínűsége annak, hogy egy 50 elemű mintában 6 hibásat találunk? „A” esemény: egy 50 elemű mintában 6 a hibás, keressük: a P(A|Bi) valószínűségeket, a Bi események (hibaarányok) teljes eseményrendszert alkotnak, páronként kizárják egymást Ezek a hibaarányok lesznek a binomiális eloszlás „p” értékei Feltételes valószínűségek meghatározása: táblázat vagy képlet alapján: Hibaarány A priori valószínűség Feltételes valószínűségek 0,01 0,1 0,000 (tábl) 0,02 0,0004 0,04 0,3 0,0108 0,08 0,1063 0,10 0,1541 (tábl) 0,15 0,1419 (tábl) Összesen 1

31 Megoldás – Példa 3 Következő feladat: az a priori és az újonnan szerzett részleges információk ötvözése  Bayes tétel Az „A” esemény (egy 50 elemű mintában 6 hibás) valószínűsége (a teljes valószínűség tétele alapján) és a posteriori valószínűségek (a Bayes tétel alapján): Hibaarány A priori valószínűség Feltételes valószínűségek P(A|Bi)*P(Bi) Posteriori valószínűségek P(Bi|A) 0,01 0,1 0,000 0,02 0,0004 0,00004 0,000618 0,04 0,3 0,0108 0,00324 0,050023 0,08 0,1063 0,03189 0,492358 0,10 0,1541 0,01541 0,237918 0,15 0,1419 0,01419 0,219083 Összesen 1 0,06477

32 Megoldás – Példa 3 A régi és új információk ötvözése alapján a priori valószínűségek szerepét a posteriori valószínűségek veszik át: Mivel $30000<$49028,08 az eredeti (rendelkezésre álló) információk alapján hozott döntés módosult a pótlólagos információk következtében. Hibaarány Hibás darabok Költség Valószínűség Várható költség 0,01 1000 5000 0,02 2000 10000 0,000618 $6,18 0,04 4000 20000 0,050023 $1000,46 0,08 8000 40000 0,492358 $19694,32 0,10 50000 0,237918 $11895,9 0,15 15000 75000 0,219083 $16431,22 Összesen 1,0 $49028,08