A kínai maradéktétel algoritmusa

Az előadások a következő témára: "A kínai maradéktétel algoritmusa"— Előadás másolata:

1 A kínai maradéktétel algoritmusa

2 Kínai maradéktétel A kínai maradéktétel a több kongruenciából álló szimultán kongruencia rendszerek megoldhatóságára ad választ. Már több mint évvel ezelőtt ismerte egy kínai matematikus, Szun Cu: innen a tétel mai neve. A tétel tulajdonképpen a következő feladatra ad választ (továbbá kimondja, hogy a megoldás egyértelmű maradékosztály): keressük azt az egész számot (maradékosztályt), ami bizonyos számokkal osztva, amelyek páronként relatív prímek, meghatározott maradékot ad. A következőkben a tétel formális kimondása és bizonyítása található.

3 Tétel Ha az modulusok páronként relatív prímek, akkor az
x = `mod`(a[1], m[1]) x = `mod`(a[2], m[2]) ... x = `mod`(a[k], m[k]) lineáris kongruenciarendszer megoldható, és a megoldás egyértelmű modulok.

4 Bizonyítás Mindez elvezet bennünket az alábbi számolási séma kidolgozásához, melyet az x = `mod`(2, 3) x = `mod`(3, 5) x = `mod`(4, 7.) kongruenciarendszer megoldásával illusztrálunk. Első lépésként ellenőrizzük, hogy a modulusok páronként relatív prímek-e. A számolási séma inicializálása az a és az m oszlopok kitöltésével történik. Ide írjuk rendre a kongruenciarendszer modulusait illetve a jobboldali konstansokat. Az M a modulusok, vagyis az első oszlopbeli elemek szorzata A kitöltést az M/m oszloppal folytatjuk. A negyedik oszlop elemei a megoldandó kongruenciák. Ezek megoldása kerül az ötödik oszlopba. Végül az utolsó oszlop elemeit az M/m, az y és az a jelű oszlopok celláiban található számok szorzatatként kapjuk. A számítás az utolsó oszlopban adódó számok összeadásával ér véget. A keletkező érték a kongruenciarendszer megoldása.

5

6 Köszönöm a figyelmet! 