Sztochasztikus kinetikai modellek

Az előadások a következő témára: "Sztochasztikus kinetikai modellek"— Előadás másolata:

1 Sztochasztikus kinetikai modellek
Bazsa Gy. (szerkesztő): Nemlineáris dinamika és egzotikus kinetikai jelenségek kémiai rendszerekben (egyetemi jegyzet, 1992), 3. fejezet, szerzők: Tóth János, Érdi Péter Péter Érdi, Gábor Lente: Stochastic Chemical Kinetics (Springer, 2014)

2 Makroszkopikus, mikroszkopikus és mezoszkopikus elméletek
Az anyag tulajdonságainak a makroszkopikus leírására hagyományosan a statisztikus mechanika és a fenomenologikus termodinamika szolgál. A statisztikus mechanika a fizikai jelenségeket mikroszkopikus szemlélet alapján írja le, végső következtetései az anyag makroszkopikus jellemzőire vonatkoznak, matematikai eszköze a valószínűség-számítás. A fenomenologikus termodinamika makroszkopikus mérésekkel meghatározható mennyiségekkel dolgozik, modelljei tipikusan determinisztikusak, gyakori eszköze a parciális differenciálegyenletek elmélete.

3 Makroszkopikus, mikroszkopikus és mezoszkopikus elméletek
Bizonyos jelenségeknél szükség van arra, hogy a különböző kémiai anyafajták mennyiségének a fluktuációját is figyelembe vegyük. Néha arra is szükség lehet, hogy figyelembe vegyük azt a tényt, hogy az egyes anyagfajták mennyisége diszkrét módon változik. Az ezen feltételeknek eleget tevő elméleteket mezoszkopikus modelleknek nevezhetjük. Robert Brown kb. 150 éve felfigyelt a fluktuáció fontosságára (ma ezt Brown-mozgásnak nevezzük). Kvantitatív leírását Einstein és Smoluchowski adta meg a XX. sz. elején.

4 Fizikai körülmények Ha a folytonos idejű, folytonos állapotterű determinisztikus modell nem kielégítő a kinetikában, gyakori eljárás, hogy a közönséges differenciálegyenlet-rendszer jobb oldalához egy additív véletlen zajt adnak. Ez az eljárás a rendszerre ható külső fluktuációkat modellezi. A mezoszkopikus modellekben azonban a rendszer véletlenszerű viselkedéséből eredő, kémiai jellegű belső fluktuációk figyelembe vétele a fő cél.

5 Fizikai körülmények Ha az egyes anyagfajták részecskéinek a száma kicsi (pl. < 100), akkor a determinisztikus modellel vagy nagyon rosszul, vagy sehogyan sem írhatók le a tapasztalt jelenségek. A fluktuációk általában a jelen lévő részecskék számának négyzetgyökével arányosak: Részecskeszám %-os fluktuáció 100 10% 104 1% 108 0,01% 6·1023 1,3·10-10 %

6 Fizikai körülmények Nagy rendszereknél instabilis egyensúlyi helyzet viselkedésének a leírásában is igen fontosak a fluktuációk, amelyek hatása felerősödhet. A fluktuáció forrása lehet külső is. Figyelembe vételi módjuk: additív zaj, multiplikatív zaj, véletlen paraméterek bevezetése. Tipikus példa: fluktuáció vagy zaj által indukált fázisátmenetek.

7 Néhány konkrét példa sztochasztikus kémiai reakcióra – enzimkinetika
Enzimkatalizált folyamatokat mind kísérleti, mind elméleti szempontból gyakran vizsgálnak olyan körülmények között, ahol a jelen lévő enzimmolekulák száma nem haladja meg a néhány 10-et, de akár 1-ig is lemehet (single molecule enzyme kinetics). Egy sejt különálló reaktornak tekinthető, s annak általában kis térfogata már önmagában is szükségessé teheti a sztochasztikus megfontolások használatát. Ezen a tényen az sem változtat, ha sok sejt van jelen egyidejűleg, mert ezek térben elkülönülnek.

8 Néhány konkrét példa sztochasztikus kémiai reakcióra – egyéb biomolekulák
Enzimekhez hasonlóan bizonyos nukleinsavakból is kevés (DNS esetén egyetlen) molekula van jelen egy sejtben. Ugyanez előfordulhat bizonyos szabályozó szerepet betöltő molekulákkal is. Pl. a hem fehérjékhez való kötődésénél a fluktuációknak is szerepe van.

9 Néhány konkrét példa sztochasztikus kémiai reakcióra – szelekció
A természetes szelekció determinisztikus modellje nem kellően pontos, mert a mutáció lényegéhez tartozik, hogy nem determinisztikus. A bizonytalan mikroszkopikus eseményeket autokatalitikus folyamatok felerősítik. A növekedés általában egyetlen egyedből indul ki, ezért a fluktuációkat feltétlenül figyelembe kell venni. Ez az elmélet Manfred Eigen Nobel-díjas kémikustól származik. (1927- )

10 Néhány konkrét példa sztochasztikus kémiai reakcióra – membránzajok
A neurobiológia egyik nagy ága az elemi idegingerületi jelenségeket tanulmányozza. A legfontosabb ilyen jelenség az idegingerületnek az egyik idegsejtről a másikra történő un. szinaptikus áttevődése. Ilyenkor ingerületátvivő anyagok szabadulnak fel az 1. idegsejtben és kötődnek meg a 2.-ban. Ezek száma általában igen kicsi, mert a két sejt közötti tér is nagyon kicsi. Az idegingerület átadása során a posztszinaptikus sejt vezetőképessége jól mérhető, ebben tapasztalhatók ingadozások, amelyeket a jelen lévő anyagfajták mennyiségében való ingadozásokra szokás visszavezetni.

11 Néhány konkrét példa sztochasztikus kémiai reakcióra – sugárkémia
A radioaktív bomlások sztochasztikus jellege régóta ismert. A radioaktív bomlások majdnem minden esetben elsőrendű folyamatok. A nagy energiaváltozás miatt egyetlen bomlás detektálása is lehetséges. Pl.: Egy 1 kg-os 209Bi tömb esetében átlagosan 5 percenként történik 1 bomlás. A világegyetem kora: 1,3·1010 év.

12 Néhány konkrét példa sztochasztikus kémiai reakcióra – (órareakció)

13 Néhány konkrét példa sztochasztikus kémiai reakcióra – (órareakció)

14 Néhány konkrét példa sztochasztikus kémiai reakcióra – „bolondóra”-reakció

15 2I2 + 5ClO2 + 2H2O = 4IO3 + 5Cl + 4H+
Néhány konkrét példa sztochasztikus kémiai reakcióra – „bolondóra”-reakció 4I + ClO2 + 4H+ = 2I2 + Cl + 2H2O 2I2 + 5ClO2 + 2H2O = 4IO3 + 5Cl + 4H+ Itt is a I2 megjelenését lehet látni (kék szín). Jelentős sztochasztikus jelleg a reakcióidőben. Valószínű magyarázat: autokatalitikus reakció, a kezdeti kis fluktuációk felerősödnek.

16 Néhány konkrét példa sztochasztikus kémiai reakcióra – Soai-reakció
Lényege, hogy a pirimidil-aldehidek alkilálásakor keletkező alkohol termék sokkal jobban katalizálja saját képződését, mint az enantiomer párjáét… azaz a katalizátorban az egyik enantiomer kis kezdeti feleslege a termékben ennek az enantiomernek sokkal nagyobb feleslegét idézi elő. A kémiai erősítés kísérleti példájáról van tehát szó.

17 Néhány konkrét példa sztochasztikus kémiai reakcióra – Soai-reakció
Frekvencia Enantiomerfelesleg K. Soai et al. Tetrahedron Asymm. 2003, 14, 185.

18 Néhány konkrét példa sztochasztikus kémiai reakcióra – Soai-reakció
Katalízis A homogén katalízis egyszerű sémájában az A + B → P; w1 = k1[A][B] nemkatalizált reakciót gyorsítjuk fel az A + B + K → P + K; w2 = k2[A][B][K] katalizált út segítségével, ahol K a katalizátor. Ha w2 >> w1, akkor ez a reakció sokkal gyorsabban termeli a P terméket, mint a nem katalizált reakció. A K katalizátor részt vesz a reakcióban, de teljes mértékben visszaképződik.

19 Néhány konkrét példa sztochasztikus kémiai reakcióra – Soai-reakció
Autokatalízis Az autokatalízis egyszerű sémájában az A → P; w1 = k1[A] nem katalizált reakciót gyorsítjuk fel az A + X → P + 2X; w2 = k2[A][X] autokatalitikus út segítségével, ahol k2[X] >> k1. A séma alapján az autokatalízis jellemzője, hogy a katalizátor a reakció terméke (esetünkben X), és az autokatalitikus reakció sebessége arányos e termék koncentrációjával.

20 Néhány konkrét példa sztochasztikus kémiai reakcióra – Soai-reakció
Autokatalízis A reakciókinetikai modellezésben gyakran felhozott érv, hogy nem okoz gondot, ha a lassú nemkatalizált reakciót elhagyjuk és csak a katalitikus vagy autokatalitikus utat vesszük figyelembe. Ez csak akkor lehet igaz, ha az X a kezdeti időpillanatban is jelen van a rendszerben, ha ugyanis [X]0 = 0. akkor a katalitikus út kezdeti sebessége is 0.

21 Néhány konkrét példa sztochasztikus kémiai reakcióra – Soai-reakció
Autokatalízis Állandó térfogat mellett az autokatalitikus reakció sebessége időben maximumgörbe szerint változik: a reakció elején a sebesség az autokatalizátor koncentrációjának növekedése miatt nő; a reakció vége felé a reaktáns elfogyása miatt a sebesség lecsökken. A reaktánsok koncentrációja időben szigmoid-görbe szerint változik, a görbéken inflexiós pont jelentkezik. k2 = 3,0 dm3 mol–1 s–1; [A]0 = 0,1 mol dm–3; [X]0 = 0,001 mol dm–3

22 Néhány konkrét példa sztochasztikus kémiai reakcióra – Soai-reakció
Az első molekula vagy az egyik, vagy a másik reagens. Ennek már önmagában lehet akkora katalitikus hatása, hogy nagyrészt az az enantiomer keletkezik, ami először keletkezett.

23 Reprodukálhatatlanság versus sztochasztikus jelleg
Reprodukálhatatlanság: lényeges, de nem kellő mértékben szabályozott külső tényezők ingadozásának hatására, a kísérletező számára látszólag azonos körülmények között mért különböző eredmények. Sztochasztikus jelleg: természeti törvény(ek) következményeként pontosan azonos körülmények között mért különböző eredmények.

24 A formális reakció folytonos idejű, diszkrét állapotterű sztochasztikus modellje
CDS (Continuous time Discrete State) modellnek is nevezik. Formális kémiai reakció definíciója: jól kevert edény állandó térfogaton és nyomáson, véges sok kémiai anyagfajta van jelen, a kémiai anyagfajták között reakciólépések mennek végbe, aminek a következtében a mennyiségük időben megváltozik. Az időbeli változás leírása a fő cél.

25 Alapfeltételezések a CDS-hez
Véges sok szabadsági fok: véges sok féle részecske, mindegyikből csak véges sok van jelen. Térbeli homogenitás: a jól kevert reaktor következménye; a tartályban egy részecske a molekulák számának a megadásával egyértelműen jellemezhető, nincs szükség a térbeli eloszlás figyelembe vételére. Sztochasztikus jelleg: valószínűségeket kell használni, egy reakció egy adott időpillanatban való megtörténésének nincs determinisztikus oka.

26 Alapfeltételezések a CDS-hez
Memóriaeffektusok hiánya: nincsenek késleltetett hatások; egy adott reakció bekövetkezésének valószínűségét a reaktor pillanatnyi állapota megszabja, az „előzetes történetet” nem kell ismernünk. Kombinatorikus típusú kinetika: a determinisztikus tömeghatás típusú kinetika közvetlen megfelelője, vagyis egy reakció bekövetkezésének valószínűsége arányos a jelen lévő reaktánsmolekulák számával. Matematikai háttér: Markov-láncok, Markov-folyamatok.

27 Általános formális mechanizmus
Az általános formális mechanizmus jelölése: ahol r a reakció sorszáma, M a különböző anyagfajták száma, m az anyagfajták sorszáma; χ az egyes anyagfajták jelölése, α és β sztöchiometriai együtthatók (α a reaktáns-, β a termék oldalon). Matematikai feltételek a sztöchiometriai együtthatókra: Bármely r esetén Ha és akkor r = r’. Minden m esetén létezik olyan r, amellyel vagy

28 Általános formális mechanizmus
Példa: A → B B → C 2B → D Ekkor: M = 4 r = 1,2,3 χ(1) = A, χ(2) = B, χ(3) = C és χ(4) = D és

29 Infinitézimális reakcióvalószínűség
Egyetlen adott reakciólépés bekövetkezésének valószínűsége Δt idő intervallumban: T(Δt) Infinitézimális reakcióvalószínűség (vagy átmeneti valószínűség): A kombinatorikus típusú kinetika (tömeghatás típusú determinisztikus analógja) szerint: ahol nχ(m) a χ(m) részecskék száma a reakcióelegyben, κr pedig a sztochasztikus sebességi tényező, amely a determinisztikus sebességi állandóból kiszámolható a reaktortérfogat és NA segítségével.

30 Infinitézimális reakcióvalószínűség
Példa: A → B B → C 2B → D Ekkor:

31 A sztochasztikus modell állapotai
Egy állapotot úgy azonosítunk, hogy megadjuk a jelen lévő részecskék számát. Pl: van 3 db. A, 2 db. B, 5 db. C és 0 db. D molekula. Az állapotok teljes száma: N (általában kombinatorikai módszerekkel meghatározható) A CDS modellben az állapotok valószínűségét írjuk le mint az idő függvényét, az i-edik állapot valószínűsége Pi(t). A wr-ek különböző állapotokban különbözők, ezért wr,i -ként jelöljük.

32 Az alapegyenlet Az állapotvalószínűségek időbeli változását leíró közönséges differenciálegyenlet-rendszer: ahol a * összegzésben azon j állapotok azon r reakcióit kell figyelembe venni, amelyeknek az eredményeként éppen az i állapot keletkezik. Ez a sztochasztikus kinetika alapegyenlete. Nevezik vezéregyenletnek vagy mesteregyenletnek is (master equation). A determinisztikus sebességi egyenlettel azonos szerepet játszik.

33 Az alapegyenlet Az alapegyenlet elsőrendű lineáris közönséges differenciálegyenlet. Mátrix formátumban is felírható: azaz ahol az átmeneti valószínűségeket megadó mátrix, melynek dimenziója N  N.

34 A determinisztikus és sztochasztikus kinetika összehasonlítása
változók: koncentrációk (néhány) nemlineáris megoldás: gyakran nem analitikus változók: állapotok valószínűsége (sok) lineáris megoldás:

35 Kurtz tétele A determinisztikus kinetikai leírás a CDS sztochasztikus kinetikai leírás végtelen térfogatra vett határértéke. Végtelen térfogat esetén végtelen a részecskék száma, így a koncentrációt nem kell diszkrét változónak tekinteni. Az esetek túlnyomó részében 1020 db. részecske már elég sok ahhoz, hogy Kurtz tétele miatt a determinisztikus kinetikai leírás jól működjön.

36 Egyirányú elsőrendű folyamat
A  B Determinisztikus Sztochasztikus [A]: A koncentrációja [B]: B koncentrációja [A]0: A kezdeti koncentrációja Megoldás: Kezdetben Z db. A molekula Z = V [A]0 (Z+1) db. állapot, Z+1 = N Pi annak a valószínűsége, hogy a reaktorban pontosan i db. A molekula van.

37 Egyirányú elsőrendű folyamat
A  B A sztochasztikus alapegyenlet megoldása: Annak a valószínűsége, hogy 1 kiszemelt molekula t idő után… még nem bomlott el: elbomlott: Annak a valószínűsége, hogy Z db. molekula közül t idő után pontosan n bomlott el: Várható érték: Szórás: exponenciális eloszlás binomiális eloszlás

38 Stacionárius valószínűségek
A sztochasztikus leírásban olyan valószínűségek, melyek végértékek, tehát már nem függenek az időtől. Meghatározásuk: az alapegyenletben a differenciál-hányadosukat (bal oldal) 0-nak kell állítani: A Πi stacionárius valószínűségek egy stacionárius végeloszlást definiálnak.

39 Stacionárius valószínűségek
Az elsőrendű A  B folyamatban az összes Πi = 0, kivéve a Π0, ami = 1.

40 Kapcsolat k és κ között A κ dimenziója mindig idő–1. Extenzív paraméter (ha változik a térfogat, akkor változhat κ értéke is). A k dimenziója a reakció bruttó rendűségétől (a) függ: koncentráció1–a·idő–1. Intenzív paraméter (független a térfogattól). A kettő közötti kapcsolat: Tehát elsőrendű folyamatban κ = k, így nem számít a térfogat. Ez azért van, mert elsőrendű folyamatban nincs kölcsönhatás a részecskék között, hanem mindegyik úgy reagál, mintha a többi ott sem lenne.