Kvantitatív módszerek

Az előadások a következő témára: "Kvantitatív módszerek"— Előadás másolata:

1 Kvantitatív módszerek
3. Leíró statisztika Dr. Kövesi János egyetemi tanár

2 Kvantitatív módszerek
Bevezetés 24 Statisztikai elemzések lényege Az elemzés statisztikai módszerei Leíró statisztika Következtető statisztika Diszkrét és folytonos adatok Kvantitatív módszerek

3 Statisztikai leírás alapjai
24 A statisztikai leírás célja, módszerei Statisztikai leírás mutatói Középértékek Ingadozásmutatók Egyéb mutatók Grafikus kép Kvantitatív módszerek

4 Kvantitatív módszerek
Oszlopdiagram 25 Kvantitatív módszerek

5 Kvantitatív módszerek
Kördiagram 26 Kvantitatív módszerek

6 Kvantitatív módszerek
Sávdiagram 26 Kvantitatív módszerek

7 Kvantitatív módszerek
Vonaldiagram 26 Kvantitatív módszerek

8 Adatok rendezése, ábrázolása
28 Osztályba sorolás Gyakoriságok (fi) megállapítása Relatív gyakoriság (gi) megállapítása Összegzett (kumulált) gyakoriságok ill. relatív gyakoriságok (fi’; gi’) Gyakorisági táblázat Grafikus ábrázolás Kvantitatív módszerek

9 Kvantitatív módszerek
Példa 28 Egy folyamatos üzemben …. Gyakorisági táblázat készítése - Legkisebb és legnagyobb értékek megkeresése - Gyakoriságok meghatározása 0  1  : Kvantitatív módszerek

10 Relatív gyakoriság(gi)
Példa 28 A gyakorisági táblázat: Leállások száma Gyakorisága (fi) Relatív gyakoriság(gi) 3 0,125 (12,5%) 1 5 0,208 (20,8%) 2 4 0,168 (16,8%) 0,083 (8,3%) 6 összesen 24 1,000 (100%) Kvantitatív módszerek

11 Kvantitatív módszerek
Példa 29 Adatok ábrázolása: gyakoriságok Relatív Leállások száma 5 4 3 2 1 0,2 0,16 0,12 0,08 0,04 6 Kvantitatív módszerek

12 kumulált gyakoriság (fi’) kumulált relatív gyakoriság (gi’)
Példa 29 A gyakorisági táblázat folytatása: leállások száma kumulált gyakoriság (fi’) kumulált relatív gyakoriság (gi’) 3 0,125 1 8 0,333 2 13 0,541 17 0,709 4 20 0,834 5 22 0,917 6 24 1,000 Kvantitatív módszerek

13 Példa Kumulált relatív gyakoriság ábrázolása: 29
Kumulált relatív gyakoriságok Leállások száma 1 2 3 4 5 6 0,5 Kvantitatív módszerek

14 Kvantitatív módszerek
Példa Műszeralkatrészek átmérőjét... Gyakorisági táblázat készítése: Minimum és maximum értékek keresése Terjedelem meghatározása: R = 8,50 - 8,13 = 0,37 Osztályok számának meghatározása 8,13 8,50 Osztályhatárok, -közepek számolása Gyakoriságok meghatározása Táblázat és a hisztogram elkészítése Kvantitatív módszerek

15 (Osztályközös) gyakorisági sor Az Y szerint képzett osztály
31 (Osztályközös) gyakorisági sor Az Y szerint képzett osztály Osztály- közép abszolút relatív alsó felső gyakoriság határa X10 X11 X1* f1 g1 X20 X21 X2* f2 g2 Xi0 Xi1 Xi* fi gi … Xk0 Xk1 Xk* fk gk Összesen N 1 Kvantitatív módszerek

16 Gyakorisági hisztogram
Gyakoriságok Osztályközök Kvantitatív módszerek

17 Kumulált relatív gyakoriság
1 0,8 0,6 0,4 0,2 Osztályközök [mm] 8,125 8,185 8,245 8,305 8,365 8,425 8,485 Kvantitatív módszerek

18 Példa: 5 éves időszak havi hozamainak értékei
30 dátum BUX (%) 2. 1. -7,54 1. 5. -18,98 1. 4. 35,26 1. 6. 32,3 1. 7. -7,22 3,16 3. 1. -0,17 4,05 7,81 2. 3. 2,44 2. 2. 11,27 -13,63 4. 5. -11,02 1,62 9,75 3. 3. -2,91 3. 2. 4,84 -2,37 5. 2. -2,5 4. 3. 11,68 4. 1. 7,67 10,03 -1,21 9,02 6. 1. -8,24 5,44 11,06 5. 5. 3,79 5. 4. -17,48 5. 3. 4,58 7. 1. 4,91 -4,79 6. 3. 12,39 6. 2. 12,9 10,63 4,59 8. 1. 13,01 7. 3. 2,06 -12,85 15,99 3,45 9. 1. -8,45 5,16 21,26 -8,2 8. 3. -36,06 10. 3. 16,88 1,81 9. 3. 18,57 9. 2. 6,34 -12,97 11. 1. -5,08 10. 2. -6,05 10. 1. 6,46 -7,26 26,91 12. 1. -4,89 -0,93 2,03 11. 3. -6,75 11. 2. 12,53 2,92 12. 2. 12,51 20,24 5,51 A teljes értékköz: 71,32 (%) Kvantitatív módszerek

19 Feladat: dolgozzuk fel a havi hozamadatokat statisztikai eszközökkel
31 osztályhatárok fi f’i gi [%] g’i [%] -40.00≤x<-30.00 1 1.54 -30.01≤x<-20.00 0.00 -20.01≤x<-10.00 6 7 9.23 10.77 -10.01≤x<0.00 17 24 26.15 36.92 0.01≤x<10.00 23 47 35.38 72.30 10.01≤x<20.00 13 60 20.00 92.30 20.01≤x<30.00 3 63 4.62 96.92 30.01≤x<40.00 2 65 3.08 100.00 összesen GYAKORISÁGI TÁBLÁZAT Kvantitatív módszerek

20 GYAKORISÁGI HISZTOGRAM
32 GYAKORISÁGI HISZTOGRAM Kvantitatív módszerek

21 KUMULÁLT RELATÍV GYAKORISÁGI HISZTOGRAM
32 KUMULÁLT RELATÍV GYAKORISÁGI HISZTOGRAM Kvantitatív módszerek

22 Kvantitatív módszerek
𝒇 𝒙  𝒈(𝒙) 𝑭 𝟑𝟎  𝒈′(𝟑𝟎) 𝑃 10≤𝐻<30 =𝑔 10→20 +𝑔 20→30 = =20+4,62=24,62= = g ′ 30 − g ′ 10 = =96,92−72,3=24,62 𝑭 𝟏𝟎  𝒈′(𝟏𝟎) Kvantitatív módszerek

23 Kvantitatív módszerek

24 Kvantitatív módszerek
33 Gyakorisági eloszlások jellegzetességei középérték-mutatók: helyzeti és számított Ingadozásmutatók: abszolút és relatív alakmutatók Középértékekre vonatkozó elvárások: Közepes helyzetűek Tipikusak Egyértelműen meghatározhatóak Lehetőleg könnyen értelmezhetőek Kvantitatív módszerek

25 Kvantitatív módszerek
Medián 33 Helyzeti középérték – valódi középérték, a rangsor közepén található: az az érték, amelynél az előforduló értékek fele kisebb, fele pedig nagyobb Páratlan számú adatnál a középső Páros számú adatnál a két közepes érték számtani átlaga Becsülhető osztályközös gyakorisági sorból is Érzéketlen a szélsőértékekre Említésre méltó tulajdonsága: Kvantitatív módszerek 4,5

26 Kvantitatív módszerek
33 Medián Kvantitatív módszerek

27 65 adat: páratlan  a rangsor 33. tagja a medián
34 65 adat: páratlan  a rangsor 33. tagja a medián osztályhatárok fi f’i gi [%] g’i [%] -40.00≤x<-30.00 1 1.54 -30.01≤x<-20.00 0.00 -20.01≤x<-10.00 6 7 9.23 10.77 -10.01≤x<0.00 17 24 26.15 36.92 0.01≤x<10.00 23 47 35.38 72.30 10.01≤x<20.00 13 60 20.00 92.30 20.01≤x<30.00 3 63 4.62 96.92 30.01≤x<40.00 2 65 3.08 100.00 összesen Kvantitatív módszerek

28 Kvantitatív módszerek
34 Medián becslése osztályhatárok fi f’i gi [%] g’i [%] -40.00≤x<-30.00 1 1.54 -30.01≤x<-20.00 0.00 -20.01≤x<-10.00 6 7 9.23 10.77 -10.01≤x<0.00 17 24 26.15 36.92 0.01≤x<10.00 23 47 35.38 72.30 10.01≤x<20.00 13 60 20.00 92.30 20.01≤x<30.00 3 63 4.62 96.92 30.01≤x<40.00 2 65 3.08 100.00 összesen Kvantitatív módszerek

29 Kvantitatív módszerek
Módusz 35 Helyzeti középérték – tipikus Diszkrét ismérv esetén a leggyakrabban előforduló ismérvérték Folytonos ismérv esetén pedig a gyakorisági görbe maximumhelye Érzéketlen a szélsőértékekre Kvantitatív módszerek

30 Kvantitatív módszerek
Módusz becslése 35 osztályhatárok fi f’i gi [%] g’i [%] -40.00≤x<-30.00 1 1.54 -30.01≤x<-20.00 0.00 -20.01≤x<-10.00 6 7 9.23 10.77 -10.01≤x<0.00 17 24 26.15 36.92 0.01≤x<10.00 23 47 35.38 72.30 10.01≤x<20.00 13 60 20.00 92.30 20.01≤x<30.00 3 63 4.62 96.92 30.01≤x<40.00 2 65 3.08 100.00 összesen Kvantitatív módszerek

31 Kvantitatív módszerek
Módusz becslése 35 osztályhatárok fi f’i gi [%] g’i [%] -40.00≤x<-30.00 1 1.54 -30.01≤x<-20.00 0.00 -20.01≤x<-10.00 6 7 9.23 10.77 -10.01≤x<0.00 17 24 26.15 36.92 0.01≤x<10.00 23 47 35.38 72.30 10.01≤x<20.00 13 60 20.00 92.30 20.01≤x<30.00 3 63 4.62 96.92 30.01≤x<40.00 2 65 3.08 100.00 összesen Kvantitatív módszerek

32 Kvantitatív módszerek
Számtani átlag 36 Leggyakrabban használt középérték Meghatározható gyakorisági sorból is a gyakoriságokkal súlyozva FOLYTONOS példa Kvantitatív módszerek

33 Előfordulások gyakorisága (fi)
Számítása 36 Diszkrét példa Leállások száma óránként Előfordulások gyakorisága (fi) Relatív gyakoriság (gi) 3 0,125 1 5 0,208 2 4 0,168 0,083 6 összesen 24 1,000 Kvantitatív módszerek

34 Kvantitatív módszerek
Példa 36 osztályhatárok fi f’i gi [%] g’i [%] -40.00≤x<-30.00 1 1.54 -30.01≤x<-20.00 0.00 -20.01≤x<-10.00 6 7 9.23 10.77 -10.01≤x<0.00 17 24 26.15 36.92 0.01≤x<10.00 23 47 35.38 72.30 10.01≤x<20.00 13 60 20.00 92.30 20.01≤x<30.00 3 63 4.62 96.92 30.01≤x<40.00 2 65 3.08 100.00 összesen Kvantitatív módszerek

35 Kvantitatív módszerek
Harmonikus átlag 37 Az a szám, amellyel az átlagolandó értékeket helyettesítve azok reciprokainak összege változatlan marad Leíró statisztikai viszonyszámok és indexek számításánál Kvantitatív módszerek

36 Kvantitatív módszerek
Mértani átlag 37 Az a szám, amellyel az átlagolandó értékeket helyettesítve azok szorzata változatlan marad Idősorok elemzése Kvantitatív módszerek

37 Kvantitatív módszerek
Négyzetes átlag 38 Az a szám, amellyel az átlagolandó értékeket helyettesítve, azok négyzetösszege változatlan marad Tipikus alkalmazási területe a szórásszámítás Kvantitatív módszerek

38 Az átlagok egymáshoz való viszonya
38 Kvantitatív módszerek

39 Választás a középértékek között
38 Módusz, medián, számtani átlag? Melyiket használjuk? Egyértelműen meghatározható-e? Az összes rendelkező adattól függ-e vagy sem? Mennyire érzékeny a szélsőségesen nagy vagy kicsi értékekre? Mekkora és milyen módon értelmezhető hibával képes helyettesíteni az alapadatokat? Kvantitatív módszerek

40 Középértékek összehasonlítása
39 Me Mo Kvantitatív módszerek

41 Kvantitatív módszerek
Kvantilisek 39 Xi/k i-edik k-ad rendű kvantilis: az a szám, amelynél az összes előforduló ismérvérték i/k-ad része kisebb , (1-i/k)-ad része pedig nagyobb, A rangsor si/k. tagja A kvantilisek segítségével a növekvő sorrendbe állított adataink egyenlő gyakoriságú osztályokra bonthatóak Kvantitatív módszerek

42 Lehetséges kvantilisek
39 A legfontosabb kvantilisek elnevezése és jelölése k Elnevezés Általános jelölés i lehetséges értéke Lehetséges kvantilisek 2 Medián - 1 Me 4 Kvartilis Qi 1,2,3 Q1, Q2, Q3 5 Kvintilis Ki 1,2,3,4, K1, K2, K3, K4 10 Decilis Di 1,2,…,9 D1, D2, … D9 100 Percentilis Pi 1,2,…,99 P1, P2, …,P99 Kvantitatív módszerek

43 Kvantitatív módszerek
40 Kvantitatív módszerek

44 Kvantitatív módszerek
41 Ingadozásmutatók terjedelem átlagos abszolút különbség átlagos abszolút eltérés szórás relatív szórás momentumok Kvantitatív módszerek

45 Kvantitatív módszerek
Terjedelemmutatók 41 Szóródás terjedelme: annak az intervallumnak a teljes hossza, amelyen belül az ismérvértékek mozognak. Interkvantilis terjedelemmutató Kvantitatív módszerek

46 Átlagos (abszolút) különbség
41 Minden lehetséges módon párba állított ismérvértékek Xi-Xj különbségeinek abszolút értékéből számított számtani átlag. Azt mutatja, hogy az X ismérv értékei átlagosan mennyire különböznek egymástól. Mértékegysége ugyanaz, mint az alapadatoké. Ha minden ismérvérték egyforma, azaz nincs szóródás, akkor G=0. Kvantitatív módszerek

47 Kvantitatív módszerek
42 Példa: 5 hallgató Kvantitatív módszerek vizsgán elért pontszámainak átlagos abszolút különbsége 45 52 76 87 92 7 31 42 47 24 35 40 11 16 5 Kvantitatív módszerek

48 Átlagos abszolút eltérés
42 Az ismérvértékek számtani átlagtól vett eltéréseinek abszolút értékéből számított számtani átlaga. Az egyes ismérvértékek átlagosan mennyivel térnek el a számtani átlagtól. Kvantitatív módszerek

49 Példa BUX-indexes példánk átlagos abszolút eltérése:
42 BUX-indexes példánk átlagos abszolút eltérése: Osztályközös gyakorisági sorból: Kvantitatív módszerek

50 Kvantitatív módszerek
Tapasztalati szórás 43 abszolút érték helyett négyzetre emelés és gyökvonás az átlagtól vett eltérések négyzetes átlaga átlagos hiba szórásnégyzet: variancia Kvantitatív módszerek

51 Korrigált tapasztalati szórás
43 Korrigált tapasztalati szórás Kvantitatív módszerek

52 Példa Egyedi adatokból számolva:
43 Egyedi adatokból számolva: Osztályközös gyakorisági sorból becsülve: Kvantitatív módszerek

53 Kvantitatív módszerek
Relatív szórás 44 pozitív értékű ismérvekre! az ismérvértékek átlagtól vett átlagos relatív eltérése Kvantitatív módszerek

54 Kvantitatív módszerek
44 Alakmutatók A gyakorisági eloszlás milyen mértékben tér el a normális eloszlástól Eltérés lehet: Bal ill. jobb oldali asszimetria Csúcsosság vagy lapultság Kvantitatív módszerek

55 Pearson-féle mutatószám
45 Csúcsossági mutató Kvantitatív módszerek