Ismeretalapú technológia

Az előadások a következő témára: "Ismeretalapú technológia"— Előadás másolata:

1 Ismeretalapú technológia
Előadó: Kovács Zita 2016/2017. II. félév Az osztályozás fogalmának háló alapú bevezetése

2 Tartalom Bevezetés Hálóelméleti alapfogalmak Fogalmi hierarchia
Az osztályozási eljárás Összegzés

3 1. Bevezetés osztályozás: homogén egységeket alakítunk ki
az objektumok közötti és az objektumok és tulajdonságaik közötti relációk felépítése homogén egységeket alakítunk ki

4 Bevezetés az osztályozáson alapuló rendszerek különböző útvonalakon alakultak ki: logika szemantikus hálók és keretek osztályalapú nyelvek leíró logikák

5 Bevezetés az osztályozáson alapuló rendszerek osztályhierarchián alapulnak egyedeire az osztályozáson alapuló következtetőrendszerek hatnak osztályok osztályozása olyan folyamat, melynek során az osztályokat hierarchiába szervezzük vagy a meglévő hierarchiába új osztályt illesztünk

6 Bevezetés egyedek osztályozása olyan folyamat, melynek során
felismerjük az egyedhez tartozó osztályt mai előadás célja: megmutasson egy lehetséges megközelítési módot az osztályozás fogalmának bevezetésére a háló algebrai struktúrák segítségével

7 2. Hálóelméleti alapfogalmak
Legyen S tetszőleges halmaz. Az R relációt reflexívnek nevezzük, ha minden S-beli a elemre R(a,a). Az R relációt antiszimmetrikusnak nevezzük, ha minden S-beli a és b elemre, ha R(a,b) és R(b,a), akkor a és b azonosak.

8 Hálóelméleti alapfogalmak
Az R relációt tranzitívnak nevezzük, ha minden S-beli a,b,c elemre ha R(a,b) és R(b,c), akkor R(a,c). Az S halmazt részben rendezettnek nevezzük, ha az S bizonyos elempárjaira értelmezve van egy reflexív, antiszimmetrikus és tranzitív R reláció.

9 Hálóelméleti alapfogalmak
Az S részben rendezett halmazban ∀ a,b ∈ S esetén: R(a,b) vagy R(b,a) vagy a és b nem összehasonlíthatóak. Legyen S részben rendezett halmaz. S-t (teljesen) rendezettnek nevezzük, ha ∀ a,b ∈ S összehasonlítható.

10 Hálóelméleti alapfogalmak
Legyen S részben rendezett és a,b,c, x ∈ S. Az x elemet az a és b elemek felső korlátjának nevezzük, ha R(a,x) és R(b,x). Az x elemet az a és b elemek alsó korlátjának nevezzük, ha R(x,a) és R(x,b).

11 Hálóelméleti alapfogalmak
A c elemet az a és b elemek legkisebb felső korlátjának nevezzük, ha c az a és b elemek felső korlátja és ∀ x ∈ S esetén, ha x felső korlátja az a és b elemeknek, akkor R(c,x).

12 Hálóelméleti alapfogalmak
A c elemet az a és b elemek legnagyobb alsó korlátjának nevezzük, ha c az a és b elemek alsó korlátja és ∀ x ∈ S esetén, ha x alsó korlátja az a és b elemeknek, akkor R(x,c).

13 Hálóelméleti alapfogalmak
Ha az a és b elemeknek létezik legkisebb felső (legnagyobb alsó) korlátja, akkor az egyértelműen meghatározott. A legkisebb felső korlát: a ∪ b A legnagyobb alsó korlát: a ∩ b

14 Háló fogalma Legyen S részben rendezett halmaz az R relációval.
Az {S, R} párost hálónak nevezzük, ha bármely x,y ∈ S elempár esetén létezik legkisebb felső és legnagyobb alsó korlát. A hálók jelölésekor szokásosan nem említjük az R relációt.

15 Háló fogalma Legyen P háló és e,O ∈ P.
Az e elemet egységelemnek nevezzük, ha ∀a∈P esetén R(a,e). Az O elemet zéruselemnek nevezzük, ha ∀a∈P esetén R(O,a). Egy hálóban nem feltétlenül létezik egységelem és zéruselem.

16 Példa hálóra Az X halmaz összes részhalmaza a halmazelméleti részhalmaza relációval (jelölésben P(X)). Legyen S teljesen rendezett halmaz. Ekkor S háló, mégpedig a ∪ b = max(a,b) és a ∩ b = min(a,b).

17 Példa hálóra Legyen S a pozitív egészek halmaza, hozzávéve a nullát.
Jelentse az R(a,b) reláció azt, hogy a osztója b-nek. Ekkor a ∪ b az a és b legkisebb közös többszöröse és a ∩ b az a és b legnagyobb közös osztója. A háló nulleleme az 1, és egységeleme a nulla.

18 Példa hálóra Legyen S a háromdimenziós tér lineáris alakzatainak halmaza (üres halmaz, pontok, egyenesek, síkok és az egész tér). R(a,b) jelentse azt, hogy a benne van b-ben. Ekkor az a ∪ b az a és b alakzatokat tartalmazó legkisebb lineáris alakzat, a ∩ b pedig az a és b alakzatok közös része.

19 Példa hálóra Tekintsük a következő számokat: 4, 5, 6, 7, 8 és legyen R a szokásos ≤, azaz R(a,b) jelentése, hogy a ≤ b. 8 7 6 5 4

20 Példa hálóra Tekintsük a következő számokat: 2, 4, 6, 10, 60 és jelentse R(a,b), hogy a osztója b-nek. 60 6 2 4 10

21 Példa hálóra Tekintsük a következő halmazokat: {a,b,c}, {a}, {c}, {b,c}, ∅ és a halmazelméleti részhalmaza (⊆) relációt. {a,b,c} {b,c} {a} ∅ {c}

22 Példa hálóra Tekintsük a következő intervallumokat: A = [5,6], B = [4,7], C = [2,8], D = [3,9], E = [1,10] és R(a,b) jelentse, hogy az a intervallum része a b intervallumnak. E B A C D

23 Példa nem háló struktúrára
Tekintsük a következő számokat: 2, 3, 5, 30, 60 és jelentse R(a,b), hogy a osztója b-nek. 60 30 2 3 5

24 Példa nem háló struktúrára
Tekintsük a következő intervallumokat: A = [4,5], B = [6,7], C = [2,8], D = [3,9], E = [1,10] és R(a,b) jelentse, hogy az a intervallum része a b intervallumnak. E C D A B

25 A hálók tulajdonságai Legyen P háló, R a P-n definiált részben rendezési reláció és a,b,c ∈ P. Ha R(a,b), akkor létezik a-nak és b-nek legkisebb felső és legnagyobb alsó korlátja a ∪ b = b és a ∩ b = a.

26 A hálók tulajdonságai A P hálóban a legkisebb felső és legnagyobb alsó korlátok a következő tulajdonságokkal rendelkeznek: a ∪ a = a a ∩ a = a idempotencia a ∪ b = b ∪ a a ∩ b = b ∩ a kommutativitás a ∪(b ∪ c) = (a ∪ b)∪ c a ∩(b ∩ c) = (a ∩ b)∩ c asszociativitás (a ∪ b)∩ a = a (a ∩ b)∪ a = a elnyelési tulajdonság

27 A hálók tulajdonságai Legyen az S nemüres halmazban két operáció értelmezve a ∪ b és a ∩ b; az S tetszőleges a,b elemeire úgy, hogy az előbbi 4 feltétel teljesül. Ekkor S háló, amelyben az a, b elemek legkisebb felső korlátja a ∪ b, legnagyobb alsó korlátja a ∩ b. Az R reláció: R(a,b) pontosan akkor, ha a ∩ b = a.

28 A hálók tulajdonságai Az 1-4 tulajdonságokat gyakran háló axiómáknak is nevezzük.

29 A hálók tulajdonságai Ha a P háló véges halmaz, akkor van egységeleme és zéruseleme. Legyen P = {a1, a2, , an}. Akkor e = a1 ∪ a2 ∪ ∪ an és O = a1 ∩ a2 ∩ ∩ an. Ha az egységelem és a zéruselem léteznek, akkor egyértelműen meghatározottak.

30 Az egységelem és a zéruselem tulajdonságai
az S tetszőleges a elemére e ∪ a = e e ∩ a = a O ∪ a = a O ∩ a = O

31 Az egységelem és a zéruselem tulajdonságai
Legyen S rendezett halmaz. Akkor S háló, amelyben a ∪ b = max(a,b) és a ∩ b = min(a,b).

32 Moduláris hálók Tétel: Tetszőleges hálóban R(x,z) ⇒ R(x ∪(y ∩ z),(x ∪ y)∩ z) Bizonyítás: Mivel R(x, x ∪ y) és R(y ∩ z, y) és R(y, x ∪ y) és a tranzitivitás miatt R(y ∩ z, x ∪ y) ezért R(x ∪(y ∩ z), x ∪ y) valamint R(x,z) és R(y ∩ z, z) -ből következik, hogy R(x ∪(y ∩ z), z) és így R(x ∪(y ∩ z), (x ∪ y)∩ z)

33 Moduláris hálók Definíció: Az olyan hálót, amelyben R(x,z) ⇒ x ∪(y ∩ z) = (x ∪ y)∩ z moduláris hálónak nevezzük.

34 Példa moduláris: 60 6 2 4 10

35 Példa nem moduláris: {c} ⊆ {b,c} {c} ∪({a} ∩ {b,c}) = {c} ∪ {∅} = {c},
({c} ∪ {a}) ∩ {b,c} = {a,b,c} ∩ {b,c} = {b,c}

36 Disztributív hálók Tétel: Tetszőleges hálóban
R(x ∪(y ∩ z), (x ∪ y)∩(x ∪ z)) R((x ∩ y)∪(x ∩ z), (x ∩(y ∪ z)). Tétel: Egy hálóban az 1. azonosság pontosan akkor teljesül, ha a 2. azonosság is teljesül. 1. x ∪(y ∩ z) = (x ∪ y)∩(x ∪ z) 2. x ∩(y ∪ z) = (x ∩ y)∪(x ∩ z)

37 Disztributív hálók Definíció:
Egy hálót amelyben az 1. azonosság (következésképpen a 2. azonosság) teljesül, disztributív hálónak nevezü nk.

38 Példa Egy halmaz összes részhalmazainak halmaza disztributív háló (∩ és ∪ a szokásos halmazelméletei műveletek). Egy teljesen rendezett halmaz disztributív háló (∩, a legnagyobb alsó korlát az elemek minimuma, ∪, a legkisebb felső korlát az elemek maxi- muma).

39 Példa nem disztributív hálóra
4 ∪(6 ∩ 10) = (4 ∪ 6)∩(4 ∪ 10) 6 és 10 legnagyobb alsó korlátja (közös osztója): 2 2 és 4 legkisebb felső korlátja (közös többszöröse): 4 ugyanakkor 4 és 6 legkisebb felső korlátja (közös többszöröse): 60 4 és 10 legkisebb felső korlátja (közös többszöröse) is 60, azaz a jobboldalon a legnagyobb alsó korlát (közös osztója) is 60 60 6 2 4 10

40 Boole algebra Legyen L háló, amelynek egységeleme e és nulleleme 0.
Az a ∈ L elem komplemensének nevezzük azt az a L-beli elemet, amelyre a ∪ a =e és a ∩ a = O. Nyilvánvaló, hogy a komplemense éppen a. O és e egymás komplemensei.

41 Boole algebra Az alábbi ábrán nem disztributív hálót láthatunk.
f a b c Az alábbi ábrán nem disztributív hálót láthatunk. a d elemnek nincs komplemense az f elemnek a és b egyaránt komplemensei

42 Boole algebra Tétel: Egy L disztributív háló minden elemének legfeljebb egy komplemense lehet. Az előbbi ábrából a b elemet és a o-d élet törölve disztributív hálót kapunk, amelyben a d-nek továbbra sincs komplemense.

43 Boole algebra Definíció: Egy olyan disztributív hálót, amelyben minden elemnek van komplemense Boole-féle algebrának nevezünk.

44 Boole algebra Tétel: Ha a, b B boole-algebrai elemek, akkor
(a ∪ b) = a ∩ b és (a ∩ b) = a ∪ b

45 3. Fogalmi hierarchia a valós világ egy fogalmát reprezentáló osztály egy generikus egység, amely csoportosít egy elemhalmazt és amely egy saját leíróval rendelkezik. tehát egy C osztályhoz tartozik egy rá jellemző, a reprezentált fogalom állapotát és viselkedését leíró tulajdonsághalmaz

46 Fogalmi hierarchia A C osztály konjunkciókkal is kifejezhető,
C = (a1, s1) ⊓ (a2, s2) . . ., ⊓ (an, sn) ahol az ak attribútum és sk az attribútumhoz kapcsolódó specifikáció, pontosítva az értékek típusát, a tartományát és számosságát (ak-k páronként különbözőek).

47 Fogalmi hierarchia az osztályok klasszifikációja során: az osztályhoz tartozó egyedek közös tulajdonságait csoportosítjuk

48 Fogalmi hierarchia az alárendelés
egy általános reláció, amely az osztályok hierarchiába szervezését biztosítja (pontos definíció: lásd leíró logikáknál) egy C osztály alárendeli egy D osztály (C⊑D), ha D minden attribútuma C-ben is megtalálható a C attribútumai mutatják a D attribútumainak állapot specifikációját

49 Egy H fogalmi hierarchia egy (χ, ⊤, ⊑) háló,
Definíció: Egy H fogalmi hierarchia egy (χ, ⊤, ⊑) háló, ahol χ osztályok véges halmaza, ⊑ az osztályokon definiált részben rendezési reláció, amit alárendelésnek nevezünk, és ⊤ a χ egységeleme a ⊑ relációra nézve. ⊤-t a hierarchia gyökerének nevezzük.

50 Fogalmi hierarchia A χ háló diagramjában a D→C él jelöli azt a tényt, hogy a C osztály alárendeli a D osztályt.

51 Az osztályozási eljárás
a H-beli objektumok között megtalálható implicit függőségekre világít rá osztály-osztály osztály-egyed lehetővé teszi, hogy felismerjünk egy objektumot a hierarchiára vonatkozó tulajdonságait azonosítva

52 Az osztályozási eljárás
A klasszifikáció egy hozzátartozási döntési eljárás. Egy x objektum elhelyezése a H hierarchiába a következőképpen sematizálható: (χ, ⊤, ⊑) × {x} → (χ ∪ {x}, ⊤, ⊑) A klasszifikáció az osztály állapotát jellemző tulajdonságok szükséges és elegendő jellegén alapul.

53 Az osztályozási eljárás
Szükséges feltétel: Legyen C egy osztály és i a C osztály egyede. Ekkor i a C osztály minden attribútumával rendelkezik. Elegendő feltétel: Legyen x olyan objektum, amely C minden tulajdonságával rendelkezik. Ebben az esetben x osztályozható úgy, mint a C osztály egy egyede.

54 Egy klasszifikációs algoritmus
Az a klasszifikációs művelet, amely lehetővé teszi, hogy az x objektumot elhelyezzük a H hierarchiába három lépésre bontható: az x legspecifikusabb alárendelőinek (SA) keresése az x legáltalánosabb alárendeltjeinek (AA) keresése az x objektum és az alárendeltjei, valamint az alárendelői közötti új relációk kialakítása

55 A legspecifikusabb alárendelők keresése
Az alapötletet az adja, hogy járjuk be mélységi bejárással az osztályok gráfját mindaddig, amíg olyan osztályt nem találunk, amely nem felel meg az osztályozandó objektum tulajdonságainak.

56 A legáltalánosabb alárendeltek keresése
Elegendő csak azon SA-k utódait vizsgálni, amelyek ugyanazon tulajdonságokkal rendelkeznek, mint az osztályozandó objektum. Ha ez az objektum alárendel egy utódot, akkor ez egy SA és az ő utódait figyelmen kívül hagyjuk, különben az utódokat sorra teszteljük, amikor a bejáráskor hozzájuk érünk.

57 A legáltalánosabb alárendeltek keresése
a legáltalánosabb alárendelt nem feltétlenül közvetlen alárendeltje a legspecifikusabb alárendelőnek

58 Az x objektum és az alárendeltjei, valamint az alárendelői közötti új relációk kialakítása
amikor az x objektumnak megfelelő SA-it és AA-it megtaláltuk, akkor kialakítjuk az új kapcsolatokat az x objektumnak megfelelő osztály, valamint az SA-k és AA-k között ellenőrizzük, hogy ez az új osztály már jelen van-e a hierarchiában

59 Algoritmus Legyen X a hierarchiában elhelyezendő objektum és
Objektum a hierarchia gráf gyökere. Ekkor mélységi kereséssel a HASONLIT eljárás szolgáltatja az X legspecifikusabb alárendelőit.

60 HASONLIT(Objektum, X) HA X nem alárendeltje Objektumnak AKKOR (a hierarchiában Objektum egyetlen utódja sem rendeli alá X-et) RETURN nil EGYÉBKÉNT (Objektum ideiglenesen a legspecifikusabb alárendelő) HA Objektum levélelem AKKOR RETURN Objektum EGYÉBKÉNT SA lokális változó SA=nil Objektum minden UTOD utódjára DO SA=SA ∪ HASONLIT(UTOD, X) (Ha SA nem nil, akkor az Objektum egyik utódja a legspecifikusabb alárendelő) HA SA=nil EGYÉBKÉNT RETURN SA

61 1. Példa Legyen adott a következő alárendelési reláció: x alárendeli y-t, ha x osztója y-nak N-ben. Tekintsük a következő számokat: 1, 2, 3, 5, 6, 7, 14, 21, 28, 126, 210, 252, 280.

62 Számpélda 1 2 3 5 7 14 6 21 28 210 126 280 252

63 Példa Ebbe a hierarchiába szúrjuk be a 42-es számot.
a 42 SA-i: 6, 14, és 21 a 42 AA-i: 126 és 210 a 210-ből a 6 felé, 126-ból a 6,14, 21 felé mutató éleket töröltük

64 Számpélda –elem beszúrása után
1 2 3 5 7 14 6 21 42 126 28 210 280 252

65 {Λ, a, ab, abc, b, bab, bcd, c, d, dd, ddd},
2. Példa {Λ, a, ab, abc, b, bab, bcd, c, d, dd, ddd}, ahol Λ, amely az üres szót jelenti, a hierarchia gyökere. A szavak egy halmaza egy osztályba sorolható, ha a szavak mindegyike tartalmaz az {a, b, c, d} abécén definiált motívumot. Az osztály nevét az őt jellemző motívum adja.

66 Példa Például: ab = (motif, *ab*)
ahol motif az attribútum neve és * jelöl egy tetszőleges karakterláncot. Definiáljuk az alárendelési relációt két osztály között úgy hogy x ⊑ y, ha az y motif része részszó az x motif részében, azaz, ha x előállítható mym′ alakban, ahol m és m′ két szó.

67 Szópélda Λ a b c d ab dd bab abc bcd ddd

68 Példa A következő ábrán a bc szó beszúrása utáni állapot látható.
A bc legspecifikusabb alárendelői b és c, míg a legáltalánosabb alárendeltjei abc és bcd. Az abc-c és bcd-b éleket töröltük.

69 Szópélda, elem beszúrás után
Λ a b c d ab bc dd bab abc bcd ddd

70 Összegzés Az ismeretreprezentációs rendszerekben a következtetés kihasználja a szakterületi ismereteket reprezentáló hierarchia tulajdonságait.

71 Összegzés A következtetések alapját az alábbi műveletek képezik:
az alárendelés ellenőrzése lehetővé teszi, hogy eldöntsük, vajon egy C osztály alárendeli-e a D osztályt az osztályok klasszifikációja során egy új X osztályt a neki megfelelő sorrend szerint elhelyezünk a H hierarchiába

72 Összegzés A következtetések alapját az alábbi műveletek képezik:
az egyedek osztályozása során meghatározzuk azt az osztályt, amelynek az adott x objektum egy egyede lehet a tulajdonságok keresésének a célja, hogy megtaláljuk egy osztály vagy egy egyed tulajdonságait, illetve a tulajdonságokhoz és azok értékeihez tartozó korlátozásokat