A molekuladinamika algoritmusa Potenciálok

Az előadások a következő témára: "A molekuladinamika algoritmusa Potenciálok"— Előadás másolata:

1 A molekuladinamika algoritmusa Potenciálok

2 A molekuladinamika algoritmusa
Ahogyan azt láttuk, az alapötlet Atomok kezdeti pozíciójának megadása 𝑟 (𝑡=0), Δ𝑡 megválasztása Az erő 𝐹 =−grad𝑈 𝑟 (𝑡) és a gyorsulás 𝑎 = 𝐹 /𝑚 kiszámítása Atomok mozgatása: 𝑟 𝑡+Δ𝑡 számítása a mozgásegyenlet numerikus megoldásával Az idő léptetése: 𝑡=𝑡+Δ𝑡 Ismétlés amíg szükséges Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés

3 A molekuladinamika algoritmusa
A következőkben megnézzük, hogy az 𝑟 (t+Δ𝑡) számítása – lényegében a mozgásegyenlet numerikus megoldása (integrálása) – hogyan történik. részletesen a mikrokanonikus sokaságon végzett molekuladinamikai számítás algoritmusával ismerkedünk meg Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés

4 A molekuladinamika algoritmusa
Mikrokanonikus sokaság esetén állandó a rendszer energiája (E) részecskeszáma (N) térfogata (V) jelölések: NVE = mikrokanonikus sokaságra utal NVE MD = mikrokanonikus sokaságon végzett molekuladinamikai számolás Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés

5 A molekuladinamika algoritmusa
lényegében az 𝑚 𝑖 𝑑 2 𝑟 𝑖 𝑑 𝑡 2 = 𝑖<𝑗 𝐹 𝑖 ( 𝑟 𝑖𝑗 ) egyenletrendszert kell megoldani, ahol az egyenletek száma a részecskék számával azonos (pontosabban 3-szor annyi, a 3 térkoordináta miatt) ahol 𝑟 𝑖𝑗 (𝑡) a részecskék egymáshoz viszonyított helyzetét jelöli a 𝑡 időpillanatban – lényegében 𝑖<𝑗 𝐹 𝑖 ( 𝑟 𝑖𝑗 ) az 𝑖 részecskére, a többi (𝑗) részecske által ható (párkölcsönhatás) erők eredőjét jelöli Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés

6 A molekuladinamika algoritmusa
vagy más alakban 𝑑 2 𝑟 𝑖 𝑑 𝑡 2 = 1 𝑚 𝑖 𝐹 𝑖 (𝑡) a 𝑖<𝑗 𝐹 𝑖 ( 𝑟 𝑖𝑗 ) -t röviden 𝐹 𝑖 (𝑡)-vel jelöljük Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés

7 A molekuladinamika algoritmusa
Az egyenlet megoldásához a 𝑡 tengelyen diszkrét pontokat definiálunk 𝑡 𝑛 = 𝑡 0 +𝑛Δ𝑡 𝑛=0,1,…,𝑁 Δ𝑡 pedig az időlépés. Jelölés 𝑟 𝑖 𝑛 ≡ 𝑟 𝑖 𝑡 𝑛 𝐹 𝑖 𝑛 ≡ 𝐹 𝑖 𝑡 𝑛 Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés

8 A molekuladinamika algoritmusa
Verlet algoritmus a mozgásegyenlet a következő alakban írható fel a centrális differencia módszerével (lsd. korábbi előadás; 𝑑 2 𝑟 𝑖 𝑑 𝑡 2 ≈ 1 Δ 𝑡 𝑟 𝑖 𝑡+Δ𝑡 −2 𝑟 𝑖 𝑡 + 𝑟 𝑖 𝑡−Δ𝑡 ) és az előbb bevezetett jelölésekkel 1 Δ 𝑡 𝑟 𝑖 𝑛+1 −2 𝑟 𝑖 𝑛 + 𝑟 𝑖 𝑛−1 = 1 𝑚 𝑖 𝐹 𝑖 𝑛 Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés

9 A molekuladinamika algoritmusa
melyből kifejezzük a 𝑟 𝑖 𝑛+1 -t 𝑟 𝑖 𝑛+1 =2 𝑟 𝑖 𝑛 − 𝑟 𝑖 𝑛−1 + Δ 𝑡 2 𝑚 𝑖 𝐹 𝑖 𝑛 tehát ha ismerjük 𝑟 𝑖 0 -t és 𝑟 𝑖 1 -t (és persze a párkölcsönhatási erőket), akkor a fenti rekurziós formulával számítható a részecskék helyzetének változása. Lényegében az aktuális és az azt megelőző pozíciókból „extrapoláljuk” vagy „jósoljuk” meg a következő pozíciójukat. Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés

10 A molekuladinamika algoritmusa
szintén a centrális differencia módszerének segítségével , a részecskék aktuális sebessége is számítható 𝑣 𝑖 𝑛 = ( 𝑟 𝑖 𝑛+1 − 𝑟 𝑖 𝑛−1 )/Δ 𝑡 2 megjegyzés 𝑟 𝑖 𝑛+1 kiszámításakor még csak az előző (𝑛-edik) lépésbeli sebességet tudjuk kiszámítani – a sebesség számítása egy lépéssel lemarad Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés

11 A molekuladinamika algoritmusa
Verlet algoritmus összefoglalva 𝑟 𝑖 0 és 𝑟 𝑖 1 megadása, Δ𝑡 megválasztása Az erő 𝐹 =−grad𝑈 𝑟 (𝑡) kiszámítása az n-edik időlépésben Atomok mozgatása: 𝑟 𝑖 𝑛+1 =2 𝑟 𝑖 𝑛 − 𝑟 𝑖 𝑛−1 + Δ 𝑡 2 𝑚 𝑖 𝐹 𝑖 𝑛 Sebességek számítása: 𝑣 𝑖 𝑛 = ( 𝑟 𝑖 𝑛+1 − 𝑟 𝑖 𝑛−1 )/Δ 𝑡 2 Az idő léptetése: 𝑡=𝑡+Δ𝑡 Ismétlés amíg szükséges Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés

12 A molekuladinamika algoritmusa
Verlet algoritmus előnyei Egyszerű Elvileg időben megfordítható (reverzibilis) kerekítési hibák miatt valójában nem az Első két lépésben kell megadni az atomok pozícióját, ez perturbációk számításánál jól jöhet ugyanakkor ez hátrány is lehet, ha csak a kezdeti pozíciók és sebességek ismertek (lsd. Velocity Verlet algoritmus később) Gyorsabb mint a Runge-Kutta módszer Egy lépés során, csak egyszer kell kiszámolni a gyorsulásokat Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés

13 A molekuladinamika algoritmusa
Verlet algoritmus hátrányai Hárompontos rekurzió, azaz két előző lépést használ, így nem indítható kezdeti pozíciók és sebességek kezdeti feltételből A sebesség elmarad a pozíciók mögött – nem ugyanabban az időlépésben kerülnek kiszámításra Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés

14 A molekuladinamika algoritmusa
Velocity Verlet algoritmus Ha feltételezzük, hogy az 𝐹 𝑖 erők állandók a Δ𝑡 időintervallumban, akkor a mozgásegyenlet kiintegrálható analitikusan és a következő alakot ölti 𝑟 𝑖 𝑛+1 = 𝑟 𝑖 𝑛 + 𝑣 𝑖 𝑛 Δ𝑡 𝐹 𝑖 𝑛 𝑚 𝑖 Δ 𝑡 2 ez lényegében a jól ismert négyezetes úttörvény s 𝑡 = 𝑠 0 + 𝑣 0 𝑡+ 1 2 𝑎 𝑡 2 a formula az 𝑟 𝑖 𝑡+Δ𝑡 = 𝑟 𝑖 𝑡 + 𝑑 𝑟 𝑖 𝑡 𝑑𝑡 Δ𝑡 𝑑 2 𝑟 𝑖 𝑡 𝑑 𝑡 2 Δ 𝑡 2 +… Taylor sorból is származtatható Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés

15 A molekuladinamika algoritmusa
A sebesség pedig a gyorsulás a differenciálás „naiv” módszerére (lsd. korábbi előadás) alapozott közelítéséből számítható 𝑎 𝑖 𝑛 ≈ 𝑣 𝑖 𝑛+1 − 𝑣 𝑖 𝑛 Δ𝑡 valamint, hogy 𝑎 𝑖 𝑛 ≈ 𝐹 𝑖 𝑛+1 + 𝐹 𝑖 𝑛 2 𝑚 𝑖 átlagerő/tömeg tehát 𝑣 𝑖 𝑛+1 = 𝑣 𝑖 𝑛 + 𝐹 𝑖 𝑛+1 + 𝐹 𝑖 𝑛 2 𝑚 𝑖 Δ𝑡 Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés

16 A molekuladinamika algoritmusa
Velocity Verlet algoritmus összefoglalva 𝑟 𝑖 0 és 𝑣 𝑖 0 megadása, Δ𝑡 megválasztása Az erő 𝐹 =−grad𝑈 𝑟 (𝑡) kiszámítása az n-edik időlépésben Atomok mozgatása: 𝑟 𝑖 𝑛+1 = 𝑟 𝑖 𝑛 + 𝑣 𝑖 𝑛 Δ𝑡+ 𝐹 𝑖 𝑛 2 m i Δ 𝑡 2 Az erő 𝐹 =−grad𝑈 𝑟 (𝑡) kiszámítása az n+1-edik időlépésben Sebességek számítása: 𝑣 𝑖 𝑛+1 = 𝑣 𝑖 𝑛 + 𝐹 𝑖 𝑛+1 + 𝐹 𝑖 𝑛 2 𝑚 𝑖 Δ𝑡 Az idő léptetése: 𝑡=𝑡+Δ𝑡 Ismétlés amíg szükséges Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés

17 A molekuladinamika algoritmusa
Velocity Verlet algoritmus előnyei A sebesség nem marad el a pozíciók mögött – ugyanabban az időlépésben kerülnek kiszámításra Jobb numerikus stabilitás a Verlet algoritmushoz képest A kezdeti pozíciók és sebességek szükségesek az indításhoz Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés

18 A molekuladinamika algoritmusa
Más integrátor algoritmusok Kanonikus sokaságra: NVT (T az állandó hőmérsékletre utal) Langevin, Andersen, Nose-Hoover Izotermál – izobár: NPT (P az állandó nyomásra utal) Parrinello-Rahman Nagykanonikus sokaságra: 𝜇VT (𝜇 a kémiai potenciálra utal) Pettitt Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés

19 A molekuladinamika algoritmusa
Határfeltételek periodikus határfeltétel nagyon gyakran használt 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés

20 A molekuladinamika algoritmusa
dobozba zárt részecskék szabad részecskék (nincsenek falak) 1 2 3 4 5 6 7 3 2 1 6 7 5 4 Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés

21 Számítógépes modellezés
Potenciálok A valóságban az atomok közötti elektromos kölcsönhatásból származik. Ezt azonban nehéz számolni és számításigényes is a szimulációk során a használata Ezért probléma és rendszerspecifikus közelítéseket dolgoztak ki a potenciálok leírására Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés

22 Potenciálok: hogyan számolják
Empirikus Feltételezünk egy függvényalakot, mely megfelelő paraméterekkel illeszkedik kísérleti adatokra. pl. Lennerad-Jones, Morse, Born-Mayer Félempirikus Kvantummechanikai alapokon nyugvó háttérből kiindulva, különböző közelítések segítségével konstruálják meg a potenciálfüggvényt Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés

23 Potenciálok: hogyan számolják
pl. Embedded Atom Method (EAM), Tersoff , Brenner az EAM-ben pl. lényegében kiszámítjuk egy atom behelyezéséhez szükséges energiát egy háttér elektron-nukleusz eloszlásba Ab-initio kvantummechanikai alapon, a direkt elektromos kölcsönhatásokból számolnak Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés

24 Potenciálok: „ízelítő”
Nem kötött atomok kölcsönhatásából származó párkölcsönhatás Van der Waals: Lennard-Jones potenciál lsd. előző előadást is egyensúlyi távolság Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés

25 Potenciálok: „ízelítő”
Coulomb: +qi +qj Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés

26 Potenciálok: „ízelítő”
Kötött atomok kölcsönhatásából származó kölcsönhatás Párkötés egyensúlyi távolság (r0) r0 Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés

27 Potenciálok: „ízelítő”
Kötési szög Q0 egyensúlyi szög (Q0) Q0 Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés

28 Potenciálok: „ízelítő”
Φ Forgás kötéstengely körül Φ Az animáció az elfordulás irányát hivatott bemutatni. Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés

29 Számítógépes modellezés
Potenciálok Természetesen mindezek kombinációja (összege) is szerepelhet egy adott potenciálban Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés