JELENÉRTÉKSZÁMÍTÁS-TECHNIKA

Az előadások a következő témára: "JELENÉRTÉKSZÁMÍTÁS-TECHNIKA"— Előadás másolata:

1 JELENÉRTÉKSZÁMÍTÁS-TECHNIKA

2 Jelenértékszámítás-technika
A projekt által termelt pénzáramoknak van valamilyen időbeli lefutása, mintázata: pénzáramprofil (cash flow pattern) – ezt ábrázoltuk pénzáramlás diagramos formában Vannak „nevezetes” profilok, amikhez „nevezetes” képletek tartoznak (azaz a profil jelenértéke zárt alakban megadható) – lásd: annuitás, örökjáradék Egyéb esetekben a profil pontos jelenértéke csak körülményesen számolható – célszerű közelítésekkel élni Ezen közelítések közül tekintünk most át néhányat…

3 Perióduson belüli pénzáramok (I.)
Intraperiod cash flow Egy előre meghatározott hosszúságú (pl. egy év) kamatperióduson (interest period) belül tetszőleges időpontban jelentkező pénzáram Az eddig tekintett „nevezetes” profiloknál mindig csak a periódusok végén volt pénzáram A perióduson belüliség megengedésével a valóság jobban leírható – pl. egy projektnek a valóságban jellemzően év közben is vannak pénzáramai

4 Perióduson belüli pénzáramok (II.)
Lényeges megjegyzés: a definiált kamatperiódus hossza tetszőleges lehet, így a korábban megismert „nevezetes” profilokat értelmezhetjük éves, havi, heti, stb. szinten egyaránt – azaz éves, havi, heti, stb. felbontásban adják meg a pénzáramok alakulását Ezért is használtam az „év” helyett az általánosabb „periódus” kifejezést! Természetesen a diszkontrátát is a periódus hosszára vonatkoztatva kell megadni – pl. éves felbontású profilhoz éves diszkontráta Hogyan válthatjuk át a diszkontrátát a különböző hosszúságú periódusokra? → kamatos kamatozás logikája t és T azonos mértékegységben!

5 Perióduson belüli pénzáramok (III.)
Példa: ha az éves diszkontráta 14%, akkor mennyi a negyedéves diszkontráta? (kétféleképpen, 3,33%) rnegyedéves = (1 + 14%)1/4 – 1 ≈ 3,33% rnegyedéves = (1 + 14%)0,25/1 – 1 ≈ 3,33% Vissza a perióduson belüli pénzáram jelenértékéhez, ami a következőképp adható meg (tF a kamatperiódus mérték- egységében!): Példa: mekkora egy 19 hónap múlva befolyó F = 80 pénzáram jelenértéke, ha az éves diszkontráta 16%? (63,25) P = 80/(1 + 16%)19/12 ≈ 63,25

6 Perióduson belüli pénzáramok (IV.)
Nézzünk egy projektet „sok” perióduson belüli pénzárammal: A pontos jelenértéket úgy kapnánk, ha egyesével diszkontálnánk minden pénzáramot, majd jelenértékeiket összegeznénk Körülményes, fáradságos → célszerű közelítésekkel élni

7 Időzítési konvenciók (I.)
Időzítési konvenciók: periódusonként aggregáljunk minden pénzáramot a periódus egy kitüntetett pontjába! Periódusvégi konvenció (end-of-period convention): a periódus minden pénzárama a periódus végére tolva, majd ezen „aggregált” pénzáramok diszkontálása Ez a klasszikus, tankönyvi eljárás, ezt csináltuk eddig mi is: csak a periódusok végén volt pénzáram Közelítésnél örök dilemma: egyszerűség, praktikusság vs. pontosság Kérdés 1: mekkora hibát véthetünk a periódusvégi konvencióval? Kérdés 2: javítható-e valamilyen egyszerű módon a periódusvégi konvenció pontossága?

8 Időzítési konvenciók (II.)
Ismerkedjünk meg néhány más időzítési konvencióval: Periódus-eleji konvenció (beginning-of-period convention): a periódus minden pénzárama a periódus elejére tolva Periódus-közepi konvenció (mid-period convention): …közepére tolva Egy speciális időzítési konvenció: Harmonikus konvenció (harmonic convention): periódus-eleji és -végi harmonikus közepe (Andor és Dülk, 2013a) A számtani és a mértani átlagot is megvizsgáltuk már (Andor és Dülk, 2013b), de ezekkel most nem foglalkozunk… Az említett konvenciók mind előállnak a periódusvégi jelenérték (PE) egyszerű korrekciójával (ld. köv. dián)

9 Időzítési konvenciók (III.)
A formulák: Definiáljuk a relatív hibát (ε) a következőképp: Kérdés: legyen szó bármilyen tényleges pénzáram- profilról, mekkora az elméletileg elkövethető lehetséges legnagyobb relatív hiba (LLH)? Azaz: legyen szó bármilyen profilról, ennél nagyobb hibát biztosan nem vétünk az adott konvenció alkalmazásával

10 Időzítési konvenciók (IV.)
Most csak azt az esetet tekintjük, amikor a tényleges profil minden pénzárama azonos előjelű Az említett konvenciókra levezethető, hogy a LLH (εmax-szal jelölve): A sorrend igaz bármely pozitív diszkontrátára A harmonikus konvenció minimalizálja a LLH-t! 20%-os diszkontráta esetén pl. E: 16,67%, B: 20%, M: 9,55%, H: 9,09% Látszik, hogy érdemes korrigálni H-val vagy M-mel, és a korrekció könnyen elvégezhető… < < <

11 Időzítési konvenciók (V.)
Mi a helyzet konkrét pénzáramprofilok esetén? Például ún. PERT-jellegű profilok esetén periódusvégi konvencióra: r

12 Időzítési konvenciók (VI.)
Továbbra is PERT: harmonikus konvenció és a konvenciók összevetése: r r

13 Időzítési konvenciók (VII.)
Leolvashatók a konvenciók hibái, így a pontos jelenérték megadható a nomogramok segítségével: Általánosságban megállapítható: a harmonikus (és a periódus- közepi) konvenció hibája jellemzően < 5% → elfogadhatóan pontosak PE mindig alulbecsül: jó projekt elvetésének veszélye! Záró megjegyzés: figyelem! Az említett konvenciók csak a jelen- értékre (PV) alkalmazhatók, a nettó jelenértékre (NPV = –F0 + PV) közvetlenül nem! Mert F0 egy „speciális”, konvención kívüli pénzáram

14 Példák (I.) Egy projekt 20 perióduson keresztül minden periódusban összesen 100 összegű pénzáramot termel, a diszkontráta 25%. Mekkora a projekt jelenértéke periódusvégi, -eleji, -közepi, és harmonikus konvencióval? (395; 494; 442; 439) Legfeljebb mekkora hibát véthetünk ezen konvenciók alkalmazásával? (20%; 25%; 11,8%; 11,1%) Mekkora a pontos jelenérték, ha a pénzáramok mintázata minden periódusban PERT-jellegű, c = 0,55 paraméterrel? (nomogram mellékelve) (439) A pontos jelenérték fényében melyik konvenció a legpontosabb? (harmonikus) Mi az egyes konvenciók szerint a projekt megvalósítandóságáról szóló döntés, ha a kezdő beruházási összeg F0 = 420? (csak E vetné el)

15 Példák (II.) Megoldás: PE = 100*(1/0,25 – 1/0,25*1/(1 + 0,25)20) ≈ 395
PB = PE*(1 + 0,25) ≈ 494 PM = PE*(1 + 0,25)0,5 ≈ 442 PH = PE*(1 + 0,25)/(1 + 0,25/2) ≈ 439 εE,max = 0,25/1,25 = 20%; εB,max = 25%; εM,max = 1,250,5 – 1 ≈ 11,8%; εH,max = 0,25/2,25 ≈ 11,1% Ppontos = PE / (1 + –10%) ≈ 439, nomogram alapján εE = 395/439 – 1 ≈ –10%; εB = 494/439 ≈ 13%; εM = 442/439 – 1 ≈ 1%; εH = 439/439 – 1 ≈ 0%; tehát jelen esetben H a legpontosabb NPVE = 395 – 420 < 0; NPVB = 494 – 420 > 0; NPVM = 442 – 420 > 0; NPVH = 439 – 420 > 0; tehát csak E vetné el

16 Példák (III.) Adottak a következő pénzáramok és időzítéseik: F1 = 90, F2 = 150, F3 = 110, F4 = 70 és t1 = 0,3 év, t2 = 8,4 hónap, t3 = 3 félév, t4 = 7,2 negyedév és a negyedéves diszkontráta 4,66%. Mekkora a pénzáramok jelenértéke periódusvégi, periódus-eleji, -közepi, és harmonikus konvencióval, ha a periódushossz egy év? (325; 390; 356,02; 354,55) Mekkora a pontos jelenérték? (351,33) Mekkora a periódusvégi, illetve a harmonikus konvenció hibája? (–7,5%; +0,9%) Mi az F = 150 pénzáram időzítése hónapban, ha jelenértéke 75 és az éves diszkontráta 20%? (45,6) Mennyi egy 5 évig tartó negyedéves A = 10 összegű annuitás jelenértéke, ha az éves diszkontráta 20%? (128,3)

17 Példák (IV.) Megoldás (pénzáramsorozat):
réves = (1 + 4,66%)4 – 1 = 20% Időzítések évben: t1 = 0,3; t2 = 8,4/12 = 0,7; t3 = 3/2 = 1,5; t4 = 7,2/4 = 1,8 PE = ( )/1,2 + ( )/1,22 = 325 PB = 325*1,2 = 390 PM = 325*1,20,5 ≈ 356,02 PH = 325*1,2/1,1 ≈ 354,55 Ppontos = 90/1,20, /1,20, /1,21,5 + 70/1,21,8 ≈ 351,33 εE = 325/351,33 – 1 ≈ –7,5%; εH = 354,55/351,33 – 1 ≈ 0,9%

18 Példák (V.) Megoldás (negyedéves annuitás):
Megoldás (pénzáram időzítése): P = 75 = 150/1,2tF  tF = log(150/75) / log1,2 ≈ 3,8 év = 3,8*12 = 45,6 hónap Megoldás (negyedéves annuitás): rnegyedéves = (1 + 20%)1/4 ≈ 4,66% 5 év = 5*4 = 20 negyedév P = 10*(1/0,0466 – 1/0,0466*1/(1 + 0,0466)20) ≈ 128,3