BMEGEENATMH kiegeszÍtÉs

Az előadások a következő témára: "BMEGEENATMH kiegeszÍtÉs"— Előadás másolata:

1 BMEGEENATMH kiegeszÍtÉs
Hőközlés – Alapfogalmak - hővezetés, - hőátadás, - hősugárzás Hőellenállás Bordák, rudak hővezetése Időben változó hővezetés

2 alapfogalmak

3 francia matematikus és fizikus
Hővezetés Jean Baptiste Joseph Fourier (1768–1830) francia matematikus és fizikus 651 oldal terjedelmű

4 angol matematikus, fizikus és filozófus
Hőátadás Sir Isaac Newton (1642–1727) Newton eredeti megfogalmazása: angol matematikus, fizikus és filozófus

5 Hősugárzás Ludwig Eduard Boltzmann ( ) osztrák fizikus  1884 (elméleti úton) Jožef Stefan (1835–1893) szlovén fizikus  1879 (mérésekből) John Tyndall ( ) angol fizikus  (mérések)

6 Hősugárzás Max Karl Ernst Ludwig Planck ( ) Nobel-díjas (1918) német elméleti fizikus  fekete test sugárzási függvényének matematikai leírása Otto Richard Lummer (1860–1925) német fizikus  fekete test sugárzási függvényének kimérése Ernst Pringsheim (1859–1917) német fizikus  fekete test sugárzási függvényének kimérése

7 Hőellenállás

8 Furier-egyenlet levezetése egyrétegű sík falra Kiegészítés
𝑄 =−𝜆⋅𝐴⋅𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑡 egydimenziós eset: t(x) 𝑞 = 𝑄 𝐴 𝑄 =−𝜆⋅𝐴⋅ 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑞 =−𝜆⋅ 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡=− 𝑄 𝜆⋅𝐴 𝑑𝑥 𝑑𝑡=− 𝑞 𝜆 𝑑𝑥 𝑡 2 − 𝑡 1 =− 𝑄 𝜆⋅𝐴 ⋅𝛿 𝑡 2 − 𝑡 1 =− 𝑞 𝜆 ⋅𝛿 𝑄 = 𝜆⋅𝐴 𝛿 𝑡 1 − 𝑡 2 ∆𝑇 𝑄 = 𝛿 𝜆⋅𝐴 = 𝑅 𝑉,𝑠 Hőfokeloszlás görbe egyenlete: 𝑡(𝑥)= 𝑡 1 − 𝑞 ⋅ 𝑥 𝜆

9 Furier-egyenlet levezetése egyrétegű hengeres falra - Kiegészítés
t(r) 𝑄 =−𝜆⋅𝐴⋅𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑡 egydimenziós eset: 𝑄 =−𝜆⋅𝐴⋅ 𝑑𝑡 𝑑𝑟 𝐴=2𝜋𝑟𝑙 𝑙 𝑑𝑡=− 𝑄 𝜆2𝜋𝑙 ⋅ 𝑑𝑟 𝑟 𝑡 1 − 𝑡 2 = 𝑄 𝜆2𝜋𝑙 ⋅ ln 𝑟 2 −ln 𝑟 1 𝑄 = 𝜆2𝜋𝑙 ln 𝑟 2 𝑟 𝑡 1 − 𝑡 2 ∆𝑇 𝑄 = 𝑙𝑛 𝑟 2 𝑟 𝜋𝜆𝐿 = 𝑅 𝑉,ℎ Hőfokeloszlás görbe egyenlete: 𝑡(𝑟)= 𝑡 1 − 𝑄 𝜆2𝜋𝑙 ⋅ln 𝑟 𝑟 1

10 Furier-egyenlet levezetése egyrétegű gömbfalra - Kiegészítés
𝑄 =−𝜆⋅𝐴⋅𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑡 egydimenziós eset: t(r) 𝑄 =−𝜆⋅𝐴⋅ 𝑑𝑡 𝑑𝑟 𝐴=4𝜋 𝑟 2 𝑑𝑡=− 𝑄 𝜆4𝜋 ⋅ 𝑑𝑟 𝑟 2 𝑡 1 − 𝑡 2 = 𝑄 𝜆4𝜋 ⋅ 1 𝑟 1 − 1 𝑟 2 ∆𝑇 𝑄 = 1 𝑟 1 − 1 𝑟 2 4𝜋𝜆 = 𝑅 𝑉,𝑔 𝑄 = 𝜆4𝜋 1 𝑟 1 − 1 𝑟 𝑡 1 − 𝑡 2 Hőfokeloszlás görbe egyenlete: 𝑡(𝑟)= 𝑡 1 − 𝑄 𝜆4𝜋 ⋅ 1 𝑟 1 − 1 𝑟

11 Hőszigetelés kritikus mérete
Gömbhéj Csőfal 𝑇 ∞,2 𝑇 ∞,1 𝛼 2 𝛼 1 𝝀 Hideg közeg 1 𝑟 1 − 1 𝑟 2 4𝜋𝜆 1 4 𝑟 1 2 𝜋 𝛼 1 1 4 𝑟 2 2 𝜋 𝛼 2 Rtot= + + Rtot= + + 𝑟 2,𝑘𝑟𝑖𝑡 𝑎ℎ𝑜𝑙 𝑑 𝑅 𝑡𝑜𝑡 𝑑 𝑟 2 =0 𝑑 𝑅 𝑡𝑜𝑡 𝑑 𝑟 2 =0− 1 4𝜋𝜆 ∙ −1 𝑟 𝜋 𝛼 2 ∙ −2 𝑟 =0 𝑑 𝑅 𝑡𝑜𝑡 𝑑 𝑟 2 =0+ 1 2𝜋𝜆𝐿 ∙ 1 𝑟 𝜋 𝐿𝛼 2 ∙ −1 𝑟 =0 𝑟 2,𝑘𝑟𝑖𝑡, 𝑐𝑠ő = 𝜆 𝛼 2 𝑟 2,𝑘𝑟𝑖𝑡, 𝑔ö𝑚𝑏 = 2𝜆 𝛼 2

12 Bordák és rudak hővezetése

13 Bordák és rudak hővezetése
A borda hőfokeloszlásának differenciálegyenlete

14 A borda hőfokeloszlásának differenciálegyenlete - EXTRA
𝑑𝑥 𝐻 ∆𝑡 𝑥 ∆𝑡 ∆𝑡 𝑥=𝐻 𝑥 𝑑(∆𝑡) ∆𝑡 0 𝑄 𝑡𝑜𝑡 𝑄 0 𝑑 𝑄 𝑄′ 𝑄′′ 𝐴 𝐴 𝑝 𝑑 𝑄 𝑈 𝑄 ′ =−𝜆⋅𝐴⋅ 𝑑 ∆𝑡 𝑑𝑥 ahol Δt a borda túlhőmérséklete hőm. megváltozása a dx szakaszon: ∆𝑡+ 𝑑(∆𝑡) 𝑑𝑥 ∙𝑑𝑥 ezzel a távozó hőáram: 𝑄 ′′ =−𝜆⋅𝐴⋅ 𝑑 𝑑𝑥 ∆𝑡+ 𝑑 ∆𝑡 𝑑𝑥 ∙𝑑𝑥 =−𝜆⋅𝐴⋅ 𝑑 ∆𝑡 𝑑𝑥 −𝜆⋅𝐴⋅ 𝑑 2 ∆𝑡 𝑑 𝑥 2 ∙𝑑𝑥 Paláston leadott hőáram: 𝑑 𝑄 = 𝑄 ′ − 𝑄 ′′

15 A borda hőfokeloszlásának differenciálegyenlete - EXTRA
Paláston leadott hőáram: 𝑑 𝑄 = 𝑄 ′ − 𝑄 ′′ =−𝜆⋅𝐴⋅ 𝑑 ∆𝑡 𝑑𝑥 +𝜆⋅𝐴⋅ 𝑑 ∆𝑡 𝑑𝑥 +𝜆⋅𝐴⋅ 𝑑 2 ∆𝑡 𝑑 𝑥 2 ∙𝑑𝑥 vagy 𝑑 𝑄 =𝛼∙ 𝐴 𝑝 ∙∆𝑡= 𝛼∙𝑈⋅𝑑𝑥∙∆𝑡 ahol 𝐴 𝑝 =𝑈⋅𝑑𝑥 𝛼∙𝑈⋅𝑑𝑥∙∆𝑡=𝜆⋅𝐴⋅ 𝑑 2 ∆𝑡 𝑑 𝑥 2 ∙𝑑𝑥 rendezve: 𝑚= 𝛼∙𝑈 𝜆⋅𝐴 𝛼∙𝑈 𝜆⋅𝐴 ⋅∆𝑡= 𝑑 2 ∆𝑡 𝑑 𝑥 2 bevezetve: 𝑚 2 ⋅∆𝑡= 𝑑 2 ∆𝑡 𝑑 𝑥 2 ∆𝑡= 𝐶 1 ∙𝑒 𝑚𝑥 +𝐶 2 ∙ 𝑒 −𝑚𝑥 Általános megoldás:

16 Bordák és rudak hővezetése
A borda hőfokeloszlásának peremfeltételei

17 Az állandó keresztmetszetű rúd- és lemezbordák hőfokeloszlása és hőárama segédlet

18 Időben változó hővezetés

19 Hővezetés általános differenciálegyenlete
EGYSZERŰSÍTÉSEK: Newtoni közeg Anyagjellemzők függetlenek a hőmérséklettől Disszipáció elhanyagolva Térfogatváltozásból származó munka elhanyagolva MARAD:

20 Időben változó hővezetés - EXTRA
A hővezetés általános differenciálegyenlete Entalpiaváltozás: Hőáram különbözetek: 𝑑𝐻 𝑑𝜏 = 𝑐 𝑝 ∙𝑑𝑚∙𝜕𝑡= 𝑐 𝑝 ∙𝜌∙𝑑𝑉∙𝜕𝑡= 𝑐 𝑝 ∙𝜌∙𝑑𝑥∙𝑑𝑦∙𝑑𝑧∙𝜕𝑡

21 Időben változó hővezetés - EXTRA
Az energiamérleg differenciális formában: A hővezetés általános differenciálegyenletének koordináta rdsz-től független alakja: 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧=𝑑𝑉 és egyike sem zérus, továbbá ha 𝜆 független a hőmérséklettől: 𝑞 𝑉 +𝜆 𝜕 2 𝑡 𝜕𝑥 𝜕 2 𝑡 𝜕𝑦 𝜕 2 𝑡 𝜕𝑧 2 =𝜌𝑐 𝜕𝑡 𝜕𝜏 továbbá bevezetve: 𝑎= 𝜆 𝜌𝑐 𝑞 𝑉 𝜌𝑐 +𝑎 𝜕 2 𝑡 𝜕𝑥 𝜕 2 𝑡 𝜕𝑦 𝜕 2 𝑡 𝜕𝑧 2 = 𝜕𝑡 𝜕𝜏

22 Időben változó hővezetés
(Kombinált peremfeltétel) outube.com/watch?v=5fyOJtBRSlg Időben változó hővezetés Peremfeltételek LEHÜLŐ FAL T0(τ=0) Tw=áll τ α Ti(τ=∞) 𝑞 0 =áll Tw(τ) R 𝑇 𝑘ö =áll 𝜆 𝛼 FELMELEGEDŐ FAL Szimmetria tengely

23 Hasonlóság feltételei
a leíró differenciálegyenletek dimenziótlan alakja azonos geometriai körülmények hasonlóak, egyszerű geometriai transzformációval azonossá tehetők a geometriák kezdeti feltételek dimenziótlan alakja azonos peremfeltételek dimenziótlan alakja azonos Hasonlóságot biztosító mennyiségek: dimenziótlanítás

24 Síkfal dimenziótlan jellemzőkkel

25 Hőmérsékleteloszlás különböző peremfeltételek mellett
Biot szám 1. fajú: Bi → ∞ (speciális eset) 2. fajú: nincs külön szám 3. fajú: 0 < Bi < ∞ α kicsi és λ nagy: Bi → 0; pontszerű testként modellezhető

26 Időben változó hővezetés
Dimenziótlan megoldás  Heisler diagram (sík fal, közép)