Végeselemes modellezés matematikai alapjai

Az előadások a következő témára: "Végeselemes modellezés matematikai alapjai"— Előadás másolata:

1 Végeselemes modellezés matematikai alapjai
Szerkezet-építőmérnök MSc V1. Előadás: Elemi és szerkezeti merevségi mátrixok, tehervektorok, transzformációk számítása. Peremfeltételek, megoldási technikák Előadó: Dr. Pomezanski Vanda Olimpia

2 A potenciális energia (III.EA vége)
Egy általános szerkezeti elem esetében: Π= 1 2 Ω 𝐋𝐮 T 𝐃𝐋𝐮𝑑Ω− Ω 𝐋𝐮 T 𝐃 𝛆 𝟎 𝑑Ω− 𝑆 𝐮 T 𝐩 𝑠 𝑑𝑆− Ω 𝐮 T 𝐩 𝑉 𝑑Ω 𝐋𝐮=𝐋𝐍 𝐯 𝑒 =𝐁 𝐯 𝑒 ahol a 𝐁=𝐋𝐍 mátrixot alakváltozási mátrixnak nevezzük. 𝐃 az anyagi merevségi mátrix 𝛆 𝟎 a kinematikai terheket 𝐩 𝑠 és 𝐩 𝑉 a peremen és tartományon működő terheket jelenti. A konstans 𝐯 𝑒 csomóponti elmozdulásokat az integrálokból kiemelve: Π= 𝐯 𝑒 T Ω 𝐁 T 𝐃𝐁𝑑Ω 𝐯 𝑒 − 𝐯 𝑒 T Ω 𝐁 T 𝐃 𝛆 𝟎 𝑑Ω + 𝑆 𝐍 T 𝐩 𝑠 𝑑𝑆 + Ω 𝐍 T 𝐩 𝑉 𝑑Ω 𝐊 elemi merevségi mátrix 𝐪 Az elem csomópontjaira redukált terhek vektora

3 N: Bázisfüggvények használata
Lokális és globális koordináta-rendszerek kapcsolatának leírása: 𝑥 𝑦 𝑧 = 𝑁 1 𝑁 2 … 𝑁 csp 𝑥 1 𝑦 1 𝑧 1 𝑥 2 𝑦 2 𝑧 2 ⋮ 𝑥 csp 𝑦 csp 𝑧 csp Az ismeretlen elmozdulásfüggvények csomóponti elmozdulásjellemzőkből való interpolálására: 𝑢 𝑣 𝑤 = 𝑁 𝑁 2 … 𝑁 csp 𝑁 𝑁 𝑁 csp 𝑁 𝑁 𝑁 csp 𝑢 1 𝑣 1 𝑤 1 𝑢 2 ⋮ 𝑤 csp 𝐮=𝐍 𝐯 𝑒

4 L: operátor mátrix 1D: tengelyirányú terhelés esetében: 𝐿= 𝑑 𝑑𝑥
2D: tárcsafeladatok esetében: 𝐋= 𝑑 𝑑𝑥 𝑑 𝑑𝑦 𝑑 𝑑𝑦 𝑑 𝑑𝑥 2D: lemezfeladatok esetében: 𝐋= − 𝜕 2 𝜕𝑥 2 − 𝜕 2 𝜕𝑥 2 −2 𝜕 2 𝜕𝑥𝜕𝑦 vagy 𝐋= − 𝑑 𝑑𝑥 − 𝑑 𝑑𝑦 − 𝑑 𝑑𝑦 − 𝑑 𝑑𝑥 − 𝑑 𝑑𝑥 1 − 𝑑 𝑑𝑦 1 3D elemek: 𝐋= 𝑑 𝑑𝑥 𝑑 𝑑𝑦 𝑑 𝑑𝑧 𝑑 𝑑𝑦 𝑑 𝑑𝑥 𝑑 𝑑𝑧 𝑑 𝑑𝑥 𝑑 𝑑𝑧 𝑑 𝑑𝑦

5 D: az anyagi merevségi mátrix
1D: tengelyirányú terhelés esetében: 𝐃=𝐸𝐴 2D: tárcsafeladatok esetében: 𝐃= 𝐸 1− 𝜈 𝜈 𝜈 −𝜈 vagy 𝐃= 𝐸 1+𝜈 1−2𝜈 1−𝜈 𝜈 𝜈 1−𝜈 −2𝜈 2 2D: lemezfeladatok esetében: 𝐃= 𝐸 ℎ 3 12(1− 𝜈 2 ) 1 𝜈 𝜈 −𝜈 vagy 𝐃= 𝐸 ℎ 3 12(1− 𝜈 2 ) 𝜈𝐸 ℎ 3 12(1− 𝜈 2 ) 𝜈𝐸 ℎ 3 12(1− 𝜈 2 ) 𝐸 ℎ 3 12(1− 𝜈 2 ) 𝐸 ℎ 3 24(1−𝜈) 𝐸ℎ 2,4(1−𝜈) 𝐸ℎ 2,4(1−𝜈) 3D elemek: 𝐃= 1−𝜈 𝜈 𝜈 𝜈 1−𝜈 𝜈 𝜈 𝜈 1−𝜈 −𝜈 −𝜈 −𝜈 2

6 Tárcsa Síkfeszültségi állapot: Síkalakváltozási állapot:
𝑥 𝑦 𝐮= 𝑢(𝑥) 𝑣(𝑦) 𝐩= 𝑝 𝑥 (𝑥) 𝑝 𝑦 (𝑦) 𝐋= 𝑑 𝑑𝑥 𝑑 𝑑𝑦 𝑑 𝑑𝑦 𝑑 𝑑𝑥 Síkfeszültségi állapot: 𝜎 𝑧 =0 és 𝜀 𝑧 ≠0 Síkalakváltozási állapot: 𝜎 𝑧 ≠0 és 𝜀 𝑧 =0 𝐊 𝑒 =𝑡 𝑥 1 𝑥 2 𝑦 1 𝑦 2 𝐁 𝑇 𝐃𝐁𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐊 𝑒 =𝑡 −1 1 −1 1 𝐁 𝑇 𝐃𝐁 𝐉 𝑑𝜉𝑑𝜂 𝛆= 𝜀 𝑥 𝜀 𝑦 𝛾 𝑥𝑦 𝛔= 𝜎 𝑥 𝜎 𝑦 𝜏 𝑥𝑦 𝐃= 𝐸 1− 𝜈 𝜈 𝜈 −𝜈 2

7 Lemez: Klasszikus elmélet alapján
𝐮= 𝑤 𝑥,𝑦 𝐩= 𝑝 𝑥,𝑦 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝐋= − 𝜕 2 𝜕𝑥 2 − 𝜕 2 𝜕𝑥 2 −2 𝜕 2 𝜕𝑥𝜕𝑦 Hogy ne kelljen az N mátrixot integrálni: 𝐍= 𝐱 𝑇 𝐁 −1 𝐁=𝐋𝐍=𝐋 𝐱 𝑇 𝐁 −1 = 𝐁 0 𝐁 −1 𝐊 𝑒0 =ℎ 𝑥 1 𝑥 2 𝑦 1 𝑦 2 𝐁 0 𝑇 𝐃 𝐁 𝟎 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐊 𝑒 = 𝐁 T 𝐊 𝑒0 𝐁 −1 𝛆= 𝜅 𝑥 𝜅 𝑦 𝜅 𝑥𝑦 𝛔= 𝑚 𝑥 𝑚 𝑦 𝑚 𝑥𝑦 𝐃= 𝐸 ℎ 3 12(1− 𝜈 2 ) 1 𝜈 𝜈 −𝜈 2

8 Lemez: Mindlin-féle elmélet alapján
𝛆= 𝜅 𝑥 𝜅 𝑦 𝜅 𝑥𝑦 𝛾 𝑥𝑧 𝛾 𝑥𝑧 𝛔= 𝑚 𝑥 𝑚 𝑦 𝑚 𝑥𝑦 𝑞 𝑥𝑧 𝑞 𝑥𝑧 𝐮= 𝑤 𝑥,𝑦 𝜑 𝑥 𝑥,𝑦 𝜑 𝑦 𝑥,𝑦 𝐩= 𝑝 𝑥,𝑦 𝑤 𝑥 𝑥,𝑦 𝑤 𝑦 𝑥,𝑦 𝐋= − 𝑑 𝑑𝑥 − 𝑑 𝑑𝑦 − 𝑑 𝑑𝑦 − 𝑑 𝑑𝑥 − 𝑑 𝑑𝑥 1 − 𝑑 𝑑𝑦 1 𝐃= 𝐸 ℎ 3 12(1− 𝜈 2 ) 𝜈𝐸 ℎ 3 12(1− 𝜈 2 ) 𝜈𝐸 ℎ 3 12(1− 𝜈 2 ) 𝐸 ℎ 3 12(1− 𝜈 2 ) 𝐸 ℎ 3 24(1−𝜈) 𝐸ℎ 2,4(1−𝜈) 𝐸ℎ 2,4(1−𝜈)

9 3D elemek 𝛆= 𝜀 𝑥 𝜀 𝑦 𝜀 𝑧 𝛾 𝑥𝑦 𝛾 𝑥𝑧 𝛾 𝑦𝑧 𝛔= 𝜎 𝑥 𝜎 𝑦 𝜎 𝑧 𝜏 𝑥𝑦 𝜏 𝑥𝑧 𝜏 𝑦𝑧
𝛆= 𝜀 𝑥 𝜀 𝑦 𝜀 𝑧 𝛾 𝑥𝑦 𝛾 𝑥𝑧 𝛾 𝑦𝑧 𝛔= 𝜎 𝑥 𝜎 𝑦 𝜎 𝑧 𝜏 𝑥𝑦 𝜏 𝑥𝑧 𝜏 𝑦𝑧 𝐮= 𝑢 𝑥,𝑦,𝑧 𝑣 𝑥,𝑦,𝑧 𝑤 𝑥,𝑦,𝑧 𝐩= 𝑝 𝑥 𝑥,𝑦,𝑧 𝑝 𝑦 𝑥,𝑦,𝑧 𝑝 𝑧 𝑥,𝑦,𝑧 𝐋= 𝑑 𝑑𝑥 𝑑 𝑑𝑦 𝑑 𝑑𝑧 𝑑 𝑑𝑦 𝑑 𝑑𝑥 𝑑 𝑑𝑧 𝑑 𝑑𝑥 𝑑 𝑑𝑧 𝑑 𝑑𝑦 𝐃= 1−𝜈 𝜈 𝜈 𝜈 1−𝜈 𝜈 𝜈 𝜈 1−𝜈 −𝜈 −𝜈 −𝜈 2

10 Lemezművek 𝐊 𝑐𝑠 =0,03𝐸ℎ𝐴 1 -0,5 Tárcsa Lemez kapcsolat 𝐊 𝑙𝑚 = 𝐊 𝑡 = 𝑢
𝑣 𝑝 𝑥 𝑝 𝑦 𝐊 𝐿 = 𝑤 𝜑 𝑥 𝑝 𝑧 𝑚 𝑦 𝜑 𝑦 𝑚 𝑥

11 Irodalom Dr. Bojtár Imre, Dr. Gáspár Zsolt: Tartók Statikája IV. Műegyetemi Kiadó, 1993. Bojtár Imre, Gáspár Zsolt: A végeselemmódszer matematikai alapjai, BME Tartószerkezetek Mechanikája Tanszék, Budapest, 2009. Bojtár Imre, Gáspár Zsolt: Végeselemmódszer építőmérnököknek, TERC Kiadó Budapest, 2003.