Becslés gyakorlat november 3.

Az előadások a következő témára: "Becslés gyakorlat november 3."— Előadás másolata:

1 Becslés gyakorlat 2016. november 3.
Gazdaságstatisztika Becslés gyakorlat 2016. november 3.

2 1. példa Egy elektronikai gyártósoron egy alkatrész nyomtatott áramkörre történő beültetési pozíciójának x-irányú koordinátáját vizsgálták. Korábbi elemzésekből ismert, hogy az x-irányú beültetési pozíció normális eloszlású valószínűségi változó 0,03mm szórással. 10 mérést elvégezve az x-irányú beültetési koordináta átlaga 10,34mm-re adódott. Adjunk 95%-os megbízhatósági szintű intervallumbecslést az alkatrész x-irányú beültetési koordinátájának várható értékére! Legalább hány elemű mintát vegyünk, hogy az alkatrész x-irányú beültetési koordinátájának várható értékét 95% valószínűséggel 0,01mm-nél kisebb eltéréssel tudjuk becsülni? Megoldás: Várható érték becslése ismert elméleti szórás esetén Mintaelemszám meghatározása adott pontosság eléréséhez

3 1. példa Adjunk 95%-os megbízhatósági szintű intervallumbecslést az alkatrész x-irányú beültetési koordinátájának várható értékére! Az x-irányú beültetési koordináta normális eloszlású valószínűségi változó ismeretlen μ várható értékkel és ismert σ0=0,03 mm elméleti szórással. n=10 95%-os megbízhatósági szinten az alkatrész x-irányú beültetési koordinátájának várható értéke 10,321mm és 10,359mm között van. 

4 1. példa Legalább hány elemű mintát vegyünk, hogy az alkatrész x-irányú beültetési koordinátájának várható értékét 95% valószínűséggel 0,01mm-nél kisebb eltéréssel tudjuk becsülni? Ahhoz tehát, hogy a várható értéket 95%-os valószínűséggel legfeljebb 0,01mm eltéréssel tudjuk becsülni, legalább 35 elemű minta szükséges.

5 1. példa - kiegészítés Legalább hány elemű mintát vegyünk, hogy az alkatrész x-irányú beültetési koordinátájának várható értékét 95% megbízhatósággal, és negyedakkora hibával szeretnénk becsülni? Ahhoz tehát, hogy a várható értéket 95%-os valószínűséggel negyedakkora eltéréssel tudjuk becsülni, legalább 160 elemű minta szükséges.

6 1. példa - kiegészítés Legalább hány elemű mintát vegyünk, hogy az alkatrész x-irányú beültetési koordinátájának várható értékét 99% megbízhatósággal, de ugyanakkora hibával szeretnénk becsülni? Ahhoz tehát, hogy a várható értéket 99%-os valószínűséggel és ugyanakkora eltéréssel tudjuk becsülni, legalább 18 elemű minta szükséges.

7 2. példa Egy kávéautomata ellenőrzése során az automata által adagolt eszpresszó kávé térfogatát vizsgálták. Korábbi tapasztalatok alapján az adagolt kávé térfogata normális eloszlású valószínűségi változónak tekinthető. A vizsgálat során 10 mérést végeztek, a mérési eredmények értékei ml-ben a következők voltak: 101; 97; 103; 99; 102; 98; 104; 101; 97; 100. Adjunk 95%-os megbízhatósági szintű intervallumbecslést az eszpresszó kávé adagolt térfogatára! Megoldás: Az adagolt kávétérfogat normális eloszlású valószínűségi változó, melynek elméleti várható értékét és elméleti szórását nem ismerjük. Mivel az elméleti szórás ismeretlen, így az következő összefüggést használhatjuk:

8 2. példa Mintaátlag: A minta korrigált tapasztalati szórása:
Az eszpresszó kávé adagolt térfogata 95%-os valószínűséggel a (98,454ml; 101,946ml) intervallumba esik. DF=n-1=9

9 2. példa - kiegészítés Ha az előző becslés hibáját a harmadára szeretnénk csökkenteni ugyanekkora (95%) megbízhatóság mellett, akkor mekkora mintára lenne szükségünk? Ahhoz tehát, hogy a várható értéket 95%-os valószínűséggel harmadakkora eltéréssel tudjuk becsülni, legalább 90 elemű minta szükséges.

10 3. példa Egy forgácsoló üzemben esztergált tengelyek átmérőjét vizsgálták. A vizsgálat során 30 darab tengely átmérőjét mérték meg. A tengelyek átmérőjének a mintából számított átlaga 55mm, korrigált tapasztalati szórása 0,2mm. A tengelyek átmérőjéről feltételezhető, hogy normális eloszlású valószínűségi változó. Adjunk 99%-os megbízhatósági szintű intervallumbecslést a.) a tengelyek várható átmérő méretére! b.) a tengelyek átmérőjének szórására! Megoldás: várható érték becslése ismeretlen elméleti szórás esetén sokasági szórás becslése

11 3. példa Adjunk 99%-os megbízhatósági szintű intervallumbecslést a tengelyek várható átmérő méretére! A feladat az, hogy 99%-os megbízhatósági szintű konfidencia-intervallumot adjunk egy normális eloszlású valószínűségi változó várható értékére ismeretlen elméleti szórás esetén. DF= n-1=30-1=29 A tengelyek átmérőjének várható értéke 54,8994mm és 55,1006mm között van

12 3. példa - kiegészítés ∆≈0,1 ∆új≈0,05
Ha a becslés hibáját a felére szeretnénk csökkenteni, akkor mekkora mintára lenne szükségünk? ∆≈0,1 ∆új≈0,05 Kb. 122 elemű mintára van szükség ahhoz, hogy a becslés hibáját harmadára csökkentsük.

13 3. példa Adjunk 99%-os megbízhatósági szintű intervallumbecslés a tengelyek átmérőjének szórására! A feladat az, hogy 99%-os megbízhatósági szintű konfidencia-intervallumot adjunk egy normális eloszlású valószínűségi változó várható szórására. DF=n-1=30-1=29 A tengelyek átmérőjének szórása 99%-os megbízhatósági szinten 0,1489mm és 0,2973mm között van.

14 3. példa - kiegészítés Tegyük fel, hogy a megadott 0,2mm a mintából számított tapasztalati szórás (és nem korrigált): DF=30-1=29 A tengelyek átmérőjének szórása 99%-os megbízhatósági szinten 0,1684mm és 0,3018mm között van. SZÉLESEBB AZ INTERVALLUM

15 4. példa Megoldás: várható érték becslése, sokasági szórás ismeretlen
Megbízhatósági elemzések során a 60W-os izzók élettartamát vizsgálták. Összesen 60 darab izzó élettartamát figyelték meg, a megfigyelések eredményeit az alábbi gyakorisági táblázatban rögzítették. Az izzók élettartamáról feltételezhető, hogy normális eloszlást követ. Adjunk 95%-os megbízhatósági szintű intervallumbecslést az izzók várható élettartamára! Megoldás: várható érték becslése, sokasági szórás ismeretlen Élettartam (hónap) Izzók száma (db) 0≤t<6 5 6≤t<12 7 12≤t<18 18 18≤t<24 22 24≤t<30 30≤t<36 1

16 4. példa Élettartam (hónap) Izzók száma (db) 0≤t<6 5 6≤t<12 7
18 18≤t<24 22 24≤t<30 30≤t<36 1

17 4. példa Mivel n>30, így két lehetőségünk van, mivel a mintából számított korrigált tapasztalati szórás használható a sokasági szórás közelítésére: 1. lehetőség: várható érték becslése ismert sokasági szórás esetén Az izzók várható élettartama 95%-os megbízhatósággal a (15,455hónap; 18,945 hónap) intervallumba esik.

18 4. példa Az izzók várható élettartama 95%-os valószínűséggel a (15,42 hónap; 18,98 hónap) intervallumba esik. 2. lehetőség: a várható érték becslése ismeretlen elméleti szórás esetén

19 4. példa - kiegészítés Adjunk 95%-os becslést a sokasági szórásra!
DF=60-1=59 Az izzók élettartamának szórása 95%-os megbízhatósággal a (5,839 hónap; 8,325 hónap) intervallumba esik.

20 5. példa Az előző feladat adatai alapján adjunk 95%-os megbízhatósági szintű intervallumbecslést a legalább 18 hónap élettartamú izzók arányára! Megoldás: sokasági arány becslése A legalább 18 hónap élettartamú izzók aránya a gyakorisági táblázatból (a konkrét mintából): A legalább 18 hónap élettartamú izzók aránya 95%-os valószínűséggel a 37,35% és 62,65% intervallumba esik. Élettartam (hónap) Izzók száma (db) 0≤t<6 5 6≤t<12 7 12≤t<18 18 18≤t<24 22 24≤t<30 30≤t<36 1

21 5. példa - kiegészítés Ha az előző becslés pontosságát a negyedére kívánjuk csökkenteni, akkor mekkora mintára lenne szükségünk? Kb. 961 elemű mintára van szükség ahhoz, hogy a becslés hibáját negyedére csökkentsük.

22 5. példa Adjunk 95%-os megbízhatóságú intervallumbecslést a 12 hónapnál rövidebb élettartamú izzók arányára a gyakorisági táblázatból (a konkrét mintából): Élettartam (hónap) Izzók száma (db) 0≤t<6 5 6≤t<12 7 12≤t<18 18 18≤t<24 22 24≤t<30 30≤t<36 1 A 12 hónapnál rövidebb élettartamú izzók aránya 95%-os valószínűséggel a 9,88% és 30,12% intervallumba esik.

23 5. példa - kiegészítés Ugyanilyen pontosság eléréséhez 99%-os megbízhatósággal mekkora mintára lenne szükségünk? Kb. 104 elemű mintára van szükség ahhoz, hogy ugyanezt a pontosságot 99%-os megbízhatósággal érjük el.