Végeselemes modellezés matematikai alapjai

Az előadások a következő témára: "Végeselemes modellezés matematikai alapjai"— Előadás másolata:

1 Végeselemes modellezés matematikai alapjai
Szerkezet-építőmérnök MSc 1V. Előadás: Geometriai finitizálás. Szempontok, technikák, lokális koordináta rendszerek Előadó: Dr. Pomezanski Vanda Olimpia

2 Geometriai finitizálás
A vizsgált Ω tartomány véges elemekre való felosztása: A globális koordináta-rendszerhez illeszkedő felosztás. Ponthálózatra illeszkedő felosztás. Szimplexekre való felosztás. Koordináta-rendszerek: Célszerű minden elemre egy-egy lokális 𝜉, 𝜂, 𝜁 koordináta rendszer felvétele mely megkönnyíti az egyetlen elemre vonatkozó összefüggések felírását. → KOORDINÁTA TRANSZFORMÁCIÓ

3 A koordináta-rendszerhez illeszkedő felosztásmód
Akkor alkalmazzuk amikor a vizsgált alakzat jól „simul” a globális koordináta-rendszerhez, vagyis a határa olyan részekből áll, melyeknél egy koordináta állandó értékű: 3D tartománynál koordinátafelületre → kubusokra 2D tartománynál koordinátavonalakra illeszkedik → téglalapokra 1D tartománynál → szakaszokra osztjuk. Kerülni kell az olyan elemek létrejöttét, melyeknél az elem oldalainak egymáshoz viszonyított aránya túl nagy (nagyságrendi különbség van)!

4 A koordináta-rendszerhez illeszkedő felosztásmód
A kapott elemeken kitüntetett pontokat ún. csomópontokat veszünk fel sarokpontok további pontokat vehetünk fel: éleken, lapokon, az elem belsejében 𝜉 𝜂 𝜉 𝜂 𝜉 𝜂 𝜉 𝜂 𝜉 𝜂 A csomópontok meghatározzák a bázisfüggvények milyenségét!

5 A ponthálózatra illeszkedő felosztásmód
Ez a mód lehetőséget ad görbeoldalú elemek kijelölésére.

6 Szimplexekre osztás Ponthálózat melyben csak sarokpontok jelölhetőek ki. Az elemek típusa is kötött: 𝑛D → 𝑛+1 pont határozza meg. 1D → 2 pont → szakasz 2D → 3 pont → háromszög 3D → 4 pont → tetraéder

7 Elemsűrítés Ha a szomszédos elemek igénybevételei között nagy különbség adódik és ezt a terhelés nem indokolja, akkor e rész sűrítése után az újbóli futtatás pontosabb eredményt adhat.

8 Elemsűrítés Átmeneti elemek: az oldalain nem ugyanannyi csomópontot veszünk fel. Végtelen véges elem: pl. geotechnikai feladatoknál a végtelen féltér modellezésére Hézagmentes illeszkedés: az elemeket látszólag csak a kitüntetett pontokban illesztjük, de a bázisfüggvények tulajdonságai biztosítják, hogy valójában a teljes oldalél vagy oldallap illeszkedjen! 𝜉 𝜂

9 Lokális koordináta-rendszerek A globális koordináta rendszer merev test szerű elmozdítása
𝑃 𝑥 𝑦 𝜂 𝜉 𝑦 0 𝑦 𝑃 𝑥 𝑃 𝑥 0 𝜉 𝑃 𝜂 𝑃 𝑥 𝑦 𝑧 =𝐓 𝜉 𝜂 𝜁 + 𝑥 0 𝑦 0 𝑧 0 𝛼 𝜉 𝜂 𝜁 = 𝐓 T 𝑥 𝑦 𝑧 − 𝑥 0 𝑦 0 𝑧 0 𝐓 T = 𝐓 −1 𝑇= cos⁡ 𝑥, 𝜉 cos⁡ 𝑥, 𝜂 cos⁡ 𝑥, 𝜁 cos⁡ 𝑦, 𝜉 cos⁡ 𝑦, 𝜂 cos⁡ 𝑦, 𝜁 cos⁡ 𝑧, 𝜉 cos⁡ 𝑧, 𝜂 cos⁡ 𝑧, 𝜁

10 Lokális koordináta-rendszerek Paraméteres koordináta rendszer
A lokális koordináta-rendszert úgy vesszük fel, hogy pontosan illeszkedjen az elemre és a kitüntetett pontok kitüntetett értékűek 0, 1, −1 legyenek.

11 Lokális koordináta-rendszerek Paraméteres koordináta rendszer
Egy tetszőleges pont lokális koordinátáiból a globális koordinátái egyértelműen meghatározhatóak! E kapcsolat kölcsönösen egyértelmű legyen!

12 Lokális- és Globális koordináta-rendszerek Bázisfügvények
Lokális koordinátákból a globális koordináták minden koordináta esetén ugyanazon 𝑁 𝑖 𝜉, 𝜂, 𝜁 𝑖=1, 2, …,𝑛 bázisfüggvények segítségével számíthatóak: 𝑥= 𝑖=1 𝑛 𝑁 𝑖 𝜉, 𝜂, 𝜁 𝑥 𝑖 𝑦= 𝑖=1 𝑛 𝑁 𝑖 𝜉, 𝜂, 𝜁 𝑦 𝑖 𝑧= 𝑖=1 𝑛 𝑁 𝑖 𝜉, 𝜂, 𝜁 𝑧 𝑖 𝑥 𝑦 𝑧 = 𝑁 1 𝑁 2 … 𝑁 𝑛 𝑥 1 𝑦 1 𝑧 1 𝑥 2 𝑦 2 𝑧 2 ⋮ ⋮ ⋮ 𝑥 𝑛 𝑦 𝑛 𝑧 𝑛

13 Lokális- és Globális koordináta-rendszerek Egyértelmű megfeleltetés
Az egyértelmű megfeleltetés feltétele, hogy az ún. Jacobi- mátrix invertálható legyen: 𝐉= 𝜕𝑥 𝜕𝜉 𝜕𝑦 𝜕𝜉 𝜕𝑧 𝜕𝜉 𝜕𝑥 𝜕𝜂 𝜕𝑦 𝜕𝜂 𝜕𝑧 𝜕𝜂 𝜕𝑥 𝜕𝜁 𝜕𝑦 𝜕𝜁 𝜕𝑧 𝜕𝜁 = 𝜕 𝜕𝜉 𝜕 𝜕𝜂 𝜕 𝜕𝜁 𝑁 1 𝑁 2 ⋯ 𝑁 𝑛 𝑥 1 𝑦 1 𝑧 1 𝑥 2 𝑦 2 𝑧 2 ⋮ ⋮ ⋮ 𝑥 𝑛 𝑦 𝑛 𝑧 𝑛 𝐉 −1 = 𝜕𝜉 𝜕𝑥 𝜕𝜂 𝜕𝑥 𝜕𝜁 𝜕𝑥 𝜕𝜉 𝜕𝑦 𝜕𝜂 𝜕𝑦 𝜕𝜁 𝜕𝑦 𝜕𝜉 𝜕𝑧 𝜕𝜂 𝜕𝑧 𝜕𝜁 𝜕𝑧

14 Természetes koordináta-rendszer Szimplexek
1D: hossz 2D: terület 3D: térfogat

15 Természetes koordináta-rendszer Lokális és globális koordináták közötti kapcsolat
1 𝑥 𝑦 𝑧 = 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 𝑥 4 𝑦 1 𝑦 2 𝑦 3 𝑦 4 𝑧 1 𝑧 2 𝑧 3 𝑧 𝐿 1 𝐿 2 𝐿 3 𝐿 4 𝐱=𝐀𝓵 𝓵= 𝐀 −𝟏 𝐱

16 A végeselemháló automatikus generálása Mozaikgenerálási technika

17 A végeselemháló automatikus generálása Mozaikgenerálási technika

18 A végeselemháló automatikus generálása Fastruktúrák alkalmazása
1D elemnél:

19 A végeselemháló automatikus generálása Fastruktúrák alkalmazása
2D elemnél

20 A végeselemháló automatikus generálása Fastruktúrák alkalmazása
3D elemnél

21 A végeselemháló automatikus generálása Elemfelosztás utáni teendők
Túl nagy elemek tovább osztása. A peremeken megmaradt vegyes, a tartományból kilógó elemek más típusú elemekké alakítása. Szabálytalan elemek helyén átmeneti elemek vagy elemsűrítés alkalmazásával a hibákat ki kell küszöbölni. Az egyenletrendszer-megoldó típusának megfelelően a csomópontok/elemek átszámozása. A hálógenerálás különleges kérdéseinek megoldása szinte önálló tudománnyá fejlődött.

22 A végeselemháló automatikus generálása Peremek illesztése

23 Irodalom Dr. Bojtár Imre, Dr. Gáspár Zsolt: Tartók Statikája IV. Műegyetemi Kiadó, 1993. Bojtár Imre, Gáspár Zsolt: A végeselemmódszer matematikai alapjai, BME Tartószerkezetek Mechanikája Tanszék, Budapest, 2009. Bojtár Imre, Gáspár Zsolt: Végeselemmódszer építőmérnököknek, TERC Kiadó Budapest, 2003.