Kvantitatív módszerek 2014 ősz MINTAVÉTEL, LEÍRÓ STATISZTIKA Kvantitatív módszerek 2014. szeptember 30.

Az előadások a következő témára: "Kvantitatív módszerek 2014 ősz MINTAVÉTEL, LEÍRÓ STATISZTIKA Kvantitatív módszerek 2014. szeptember 30."— Előadás másolata:

1 Kvantitatív módszerek 2014 ősz MINTAVÉTEL, LEÍRÓ STATISZTIKA Kvantitatív módszerek 2014. szeptember 30.

2 Kvantitatív módszerek 2014 ősz Valószínűségszámítás - Matematikai statisztika Valószínűségszámítás: a véletlen tömegjelenségekben rejlő statisztikai törvényszerűségek vizsgálata  Tömegjelenség: tetszőlegesen sokszor ismétlődő esemény  Véletlen: többféle kimenetel lehetséges Valószínűségelmélet: ismert az eloszlásfüggvény és annak paraméterei  valószínűséggel kapcsolatos kérdések megválaszolhatók Valóság: a paraméterek ismerete nélkül a kérdéses valószínűségeket nem tudjuk meghatározni A matematikai statisztika célja: következtetés tapasztalati (megfigyelési, mérési) adatokból események ismeretlen valószínűségeire, valószínűségi változók ismeretlen eloszlásfüggvényére vagy azok paramétereire.  mintavétel, adatfeldolgozás, leíró statisztika, következtető statisztika (becslés és hipotézisvizsgálat) 2

3 Kvantitatív módszerek 2014 ősz Sokaság: a vizsgálat tárgyát képező egységek összessége Minta: valamely valószínűségi változóra vonatkozó véges számú független kísérlet vagy megfigyelés (mérés) eredménye Mintavétel Következtetés Matematikai statisztika lényege A megfigyelési eredmények a minta elemei, a megfigyelések száma a minta nagysága vagy elemszáma. 3 Mintavétel: a statisztikai sokaságból információszerzés céljából véletlenszerűen egyedi elemeket emelünk ki A minta elemei az alapsokaság eloszlásával megegyező eloszlású valószínűségi változók.

4 Kvantitatív módszerek 2014 ősz Mintavétel Cél: következtetéseket vonjunk le a teljes sokaságra vonatkozóan a sokaság részleges megismerése által NEM A MINTA KONKRÉT JELLEMZÉSE ÉRDEKEL BENNÜNKET. A MINTA CSAK EGY ESZKÖZ, AMELYNEK SEGÍTSÉGÉVEL KÖVETKEZTETNI KÍVÁNUNK A SOKASÁGRA, ILL. ANNAK TULAJDONSÁGAIRA. Így részleges megfigyelések eredményéből következtetünk a teljes sokaságra  A statisztikai mintavételek és az ebből származó adatokat felhasználó elemzések mindig tartalmaznak hibákat. A statisztikai hiba a statisztika szükségszerű velejárója, és fontos annak számszerűsítési képesssége. 4

5 Kvantitatív módszerek 2014 ősz Mintavételi hiba Mintavétellel kapcsolatos hibák két nagy csoportja:  Adatgyűjtéshez kapcsolódó hibák: pl. definíciós hibák, nemválaszolási hibák, végrehajtási hibák – NEM MINTAVÉTELI HIBA A technika fejlődésével sokféle módon lehet ellene védekezni  A teljes sokaság megismeréséről való lemondás ára – MINTAVÉTELI HIBA olyan eljárásokat keresünk, hogy ez a lehető legkisebb legyen  A mintavételi hiba annál kisebb, minél nagyobb a minta. 5

6 Kvantitatív módszerek 2014 ősz Mintavételi hiba A mintából számított bármely mutató értéke mintáról mintára változik. A mintából számított értékek a megfelelő sokasági jellemző körül szóródnak. Ez a szóródás kisebb minták esetében nagyobb, nagyobb minták esetében kisebb. A mintavételi hiba a vizsgált mutató lehetséges mintákból számított értékeinek átlagos eltérését mutatja a megfelelő sokasági értéktől. 6

7 Kvantitatív módszerek 2014 ősz Adatfelvételi módok 7 Adatfelvétel Teljes körű – csak véges sokaság esetén (pl. népszámlálás) Részleges Kísérleti eredmények gyűjtése Mintavételes megfigyelés Egyéb részleges megfigyelés Véletlen(szerű) kiválasztás Nemvéletlen(szerű) kiválasztás ismert vagy meghatározható a sokaság elemeinek mintába kerülési esélye reprezentativitás Mintavételi hiba számszerűsítési képessége

8 Kvantitatív módszerek 2014 ősz Véletlen mintavételi eljárások Statisztikai minta definíciója: valamely valószínűségi változóra vonatkozó véges számú független kísérlet vagy megfigyelés (mérés) eredménye Független, azonos eloszlású minta (FAE): a minta elemeknek azonos eloszlásúnak és függetlennek kell lennie  homogén és végtelen nagy sokaságból veszünk véletlen, visszatevéses vagy visszatevés nélküli mintát  vagy véges sokaságból egyenlő valószínűséggel visszatevéses mintát Gyakorlati alkalmazása: tömegtermelés minőségellenőrzése, általában nem áll teljes lista rendelkezésre, ezért részleges listákkal pótoljuk, ritka a gyakorlatban Mintanagyság meghatározása: 8

9 Kvantitatív módszerek 2014 ősz Egyszerű véletlen (EV) mintavétel  Homogén, véges elemszámú sokaság esetén, visszatevés nélküli minta, minden lehetséges n elemű minta kiválasztásának azonos valószínűséget biztosítva  Társadalmi-gazdasági elemzések esetén ritka, de viszonyítási alap EV minta készítése: 1. Komplett lista összeállítása 2. Mintanagyság meghatározása (sokaság szóródása, költségek, pontossági követelmények) 3. Kiválasztás tervezett véletlen módon (véletlenszám-generátor, véletlenszám- táblázat) Szisztematikus kiválasztás  Teljes lista  k=N/n lépésköz meghatározása, k 0 véletlen kiindulópont, a k lépésköz n-szeri felvétele  Egyszerű, gyors eljárás, a minta mechanikusan kiválasztható  Ha a lista a vizsgált ismérv szerint véletlenszerűen van sorba rendezve, akkor megegyezik a véletlen kiválasztással 9 Véletlen mintavételi eljárások

10 Kvantitatív módszerek 2014 ősz Szisztematikus kiválasztás problémái Nem lesz véletlen a minta, ha:  ha a lista a vizsgált tulajdonság, jellemző szerint nem véletlenszerűen van sorba rendezve, hanem van közöttük sztochasztikus kapcsolat  ha a lista a vizsgált ismérv szerint periodikus hullámzást mutat FAE vs. EV minta  FAE visszatevéssel, az EV visszatevés nélkül készül  Az FAE minta kényelmesebb elméleti tulajdonságokkal rendelkezik, az EV minta a gyakorlat számára hasznosabb.  Nagy sokaság esetén e két eljárás közötti különbség elenyésző, egymással helyettesíthetőek 10 Véletlen mintavételi eljárások

11 Kvantitatív módszerek 2014 ősz Rétegzett (R) minta alkalmazása:  Ha a sokaság véges és heterogén, s előzetes információink vannak arra nézve, hogy ezt a sokaságot hogyan lehet homogén csoportokba sorolni  Feltétel a rétegképző ismérv és rétegenkénti listák ismerete  A sokaságot homogén(ebb) részsokaságokra bontjuk (átfedésmentesen és teljesen), majd a rétegeken belül egymástól függetlenül egyszerű véletlen mintavételt végzünk. Előnye:  Azonos mintanagyság mellett kisebb mintavételi hibát eredményez, mint az EV minta (ha jól választunk rétegképző ismérvet)  A sokaság rétegeinek száma: M, az egyes rétegeken belül a sokaság N 1, N 2, …., N j, …, N M elemet tartalmaz.  A minta elemszáma: n, az egyes rétegeken belül n 1, n 2, …., n j, …, n M elemű mintát veszünk: 11 Véletlen mintavételi módok

12 Kvantitatív módszerek 2014 ősz Rétegzett minta elosztásának formái: a minta teljes elemszámát hogyan osszuk szét az egyes rétegek között?  Egyenletes elosztás: minden rétegbe azonos számú mintaelem kerül egyszerű eljárás ha a rétegek egyforma nagyságúak, akkor egyben arányos is lesz ha az egyes rétegek mutatóira is kíváncsiak vagyunk, akkor az egyes rétegek mintavételi hibáinak összege minimális  Arányos elosztás: a mintába a sokasági arányoknak megfelelően választjuk meg az elemszámot (nagy gyakorlati jelentőség) egyszerű eljárás a mintában ugyanazok a súlyarányok érvényesülnek, mint a sokaságban alapvető mutatók mintavételi hibája minimális (ha a rétegenkénti sokasági szórások nem ismertek, és azonosnak tekinthetők) 12 Véletlen mintavételi módok

13 Kvantitatív módszerek 2014 ősz  Neyman-féle optimális elosztás: Feltételezi a rétegenkénti sokasági szórások ismeretét Rögzített n mellett kedvezőbb mintát kapunk, ha a nagyobb szórású rétegekből nagyobb mintát veszünk. a főátlagot ilyen mintából számítva (adott n mellett) minimális mintavételi hibát kapunk Nehezebb végrehajtás  Költségoptimális elosztás: a sokasági szórások ismerete mellett előre ismerjük az egyes rétegek megfigyelési egységköltségeit is j-edik rétegen belül egy elem átlagos megfigyelési költsége π j A teljes felvétel költségfüggvénye: Előre megadott C esetén az átlag mintavételi hibáját minimalizáló elosztás az azonos rétegnagyság és szórás esetén minél nagyobb a mintavétel egységköltsége, annál kisebb mintát kell venni az adott rétegből 13 Véletlen mintavételi módok

14 Kvantitatív módszerek 2014 ősz Csoportos mintavétel (CS) alkalmazása:  Homogén, véges sokaságok esetén Nem áll rendelkezésre teljes lista, de nagyobb csoportokra igen A csoportok koncentráltságuk miatt olcsóbban megfigyelhetők, mint a hasonló számosságú, de nem koncentráltan előforduló egyedek  Egyszerűbb és olcsóbb, mint az azonos nagyságú EV minta  Ha a csoporton belüli homogenitás nagy, sok felesleges megfigyelést tartalmaz  Ha a csoporton belüli heterogenitás nagy, akkor az EV mintával megegyező pontosságú Lépései:  Csoportok közül választunk egyszerű véletlen mintavétellel  A kiválasztott csoportot teljes körűen megfigyeljük Megjegyzés:  R minta esetén a rétegen belüli homogenitás, CS minta esetén a csoportokon belüli heterogenitás a kedvező tulajdonság  Az R minta azonos elemszám esetén az EV mintánál kisebb hibát eredményez, nagyobb költséggel, a CS minta nagyobb hibákhoz vezet, kisebb költséggel 14 Véletlen mintavételi módok

15 Kvantitatív módszerek 2014 ősz Többlépcsős mintavétel alkalmazása:  Kétlépcsős változata: (1) csoportos mintavétel; (2) csoportokból is egyszerű véletlen minta  Azonos mintanagyság mellett kisebb hibát eredményez, mint a csoportos mintavétel  A mintaelosztás tervezése nem egyszerű feladat 15 Véletlen mintavételi módok Nemvéletlen mintavételi eljárások Ebben az esetben nincs biztosítva, hogy a minta a sokaságra valóban jellemző legyen Nem számszerűsíthető a mintavételi hiba Itt is cél, hogy a mintából a sokaságra következtessünk, van reprezentativitásra való törekvés, de az általánosítás kétes. Egyszerű végrehajtás, olcsó eljárások.

16 Kvantitatív módszerek 2014 ősz Nemvéletlen mintavételi eljárások Szisztematikus mintavétel:  Amennyiben a megfigyelések a listán a vizsgált ismérvtől független sorrendben szerepelnek, akkor egyszerű véletlen mintának is tekinthető. Kvóta szerinti mintavétel:  nem véletlenszerű a kiválasztás, de a sokaság bizonyos ismérvek szerinti megoszlását tartani kell.  Ezen ismérvek szerint reprezentatív lesz, de más ismérvek szerint a választás önkényes, ez torzítja az összetételt. Koncentrált minta:  A sokaságból egy fontosnak tekintett mennyiségi ismérv szerint azokat veszik a mintába, amelyek a sokaság nagy részét az ismérv szerint koncentrálják. Hólabda kiválasztás:  ritka nehezen számba vehető sokaságok esetén  Néhány kiválasztott egyedből indulnak, majd ezek mindegyike ismeretségi körében keresi az újabb mintaelemeket és így tovább Önkényes minta:  Teljesen önkényes kiválasztása az elemeknek. 16

17 Kvantitatív módszerek 2014 ősz Mintavétel Következtetés Mintavétel LEÍRÓ STATISZTIKA KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA 17

18 Kvantitatív módszerek 2014 ősz Statisztikai módszertan ágai LEÍRÓ vagy DESKRIPTÍV statisztika  A vizsgálat tárgyát képező jelenség tömör, számszerű jellemzését adja.  Nem lép túl a megfigyelés körén, de a megfigyelt adatok legjobb megértésére, bemutatására, összefoglaló jellemzésére törekszik. Például:  Népszámlálási adatok feldolgozása, elemzése, a népesség számával, összetételével kapcsolatos jellemzők közzététele, megjelenítése  Gazdasági szervezetek legfontosabb adatainak közzététele statisztikai évkönyvekben  Lakásépítésről, oktatásról készített statisztikai összefoglaló  Vállalat gazdálkodásának vizsgálata 18

19 Kvantitatív módszerek 2014 ősz KÖVETKEZTETŐ statisztika  Fő célja a mintából való következtetés, általánosítás a teljes sokaságra vonatkozóan. Például:  Minőségellenőrzés  Lakosság jövedelmi különbségeinek elemzése  Ingatlan árbecslések  Befektetési tanácsadások  Könyvvizsgálat  Mezőgazdaság 19 Statisztikai módszertan ágai

20 Kvantitatív módszerek 2014 ősz Leíró statisztika Feladatai: 1. adatgyűjtés 2. adatok ábrázolása 3. adatok csoportosítása, osztályozása 4. adatokkal végzett egyszerűbb aritmetikai műveletek 5. eredmények megjelenítése 20

21 Kvantitatív módszerek 2014 ősz 1. Adatgyűjtés Az egyedi mérésekből származó adatok (mennyiségi ismérvek) lehetnek diszkrétek és folytonosak. Egy diszkrét mennyiségi ismérv csak véges vagy megszámlálhatóan sok, egymástól jól elkülöníthető értéket vehet fel.  Háztartások nagysága  Gazdálkodó szervezetek nagysága  Balesetek száma  Mogyorós csokiban a mogyorók száma  Adott időszak alatti meghibásodások száma Egy folytonos mennyiségi ismérv valamely adott intervallumon belül bármilyen értéket felvehet.  Háztartások jövedelme  Lakások alapterülete  Gépkocsi abroncsok futásteljesítménye  Bux index havi hozamadata 21

22 Kvantitatív módszerek 2014 ősz 2. Az adatok ábrázolása Eszközei: 22 oszlopdiagram vonaldiagram kördiagram sávdiagram

23 Kvantitatív módszerek 2014 ősz 3. Adatok csoportosítása, osztályozása Egy mennyiségi ismérv szerinti rendezés és osztályozás  X mennyiségi ismérv (X i változatai különbségi vagy arányskálán mért, valamilyen mértékegységgel rendelkező számértékek)  X a továbbiakban változó, X i (ismérv)érték Rangsor  A rangsor a megfigyelési egységeknek és/vagy azokhoz tartozó X i ismérvértékeknek monoton nemcsökkenő sorrendben történő felsorolása.  Készítésének célja: megkönnyítse a sokaság egységeinek X változó szerinti osztályozását Osztályozás eredménye  Gyakorisági sor, gyakorisági eloszlás 23

24 Kvantitatív módszerek 2014 ősz 24 3. Adatok csoportosítása, osztályozása Az X szerint képzett osztály Osztály- közép Tapasz- talati Relatív alsófelsőgyakoriság határa X 10 X 11 X1*X1* f1f1 g1g1 X 20 X 21 X2*X2* f2f2 g2g2 X i0 X i1 Xi*Xi* fifi gigi …………… X k0 X k1 Xk*Xk* fkfk gkgk ÖsszesenN1 Osztályközhosszúság:

25 Kvantitatív módszerek 2014 ősz X ismérv szerinti osztályozás kérdései:  Az X változó diszkrét, és az általa felvehető értékek száma kicsi Annyi osztályt képezünk ahány különböző X érték lehetséges az i-edik osztály esetében fennáll az alsó és felső osztályhatár egybeesése  Az X változó folytonos, vagy diszkrét ugyan, de az általa felvehető különböző értékek száma nagy X lehetséges értékeinek tartományát osztályközökre bontjuk az i-edik osztályköz X i1 felső határa nem eshet egybe az (i+1)-dik osztályköz X i+1,0 alsó határával Hány osztályt képezzünk?  A gyakorlatban ehhez 5-15 osztály használata szinte mindig elegendő.  Osztályok számának meghatározása: 25 3. Adatok csoportosítása, osztályozása

26 Kvantitatív módszerek 2014 ősz A mennyiségi sorok grafikus ábrázolásának alapját a gyakorisági táblázat készítése jelenti. 1. Osztályba sorolás (folytonos adatok és nagyszámú diszkrét megfigyelés esetén); 2. gyakoriságok (f i ) megállapítása; 3. relatív gyakoriságok (g i ) megállapítása 4. összegzett (kumulált) gyakoriságok (fi’), illetve összegzett relatív gyakoriságok (gi’) megállapítása; 5. gyakorisági táblázat készítése (fi, gi, fi’, gi’ adataiból); 6. gyakorisági (relatív gyakorisági), illetve összegzett gyakorisági (relatív gyakorisági) hisztogramok (folytonos adatok esetén a poligon és az ogiva) felvétele (tapasztalati eloszlások elkészítése); 7. grafikus ábrázolás 26 3. Adatok csoportosítása, osztályozása

27 Kvantitatív módszerek 2014 ősz Példa – kevés számú diszkrét adat A Gazdaságstatisztika c. tárgyat a 2012 őszi félévben felvett hallgatók érdemjegyeinek gyakorisági táblázata 27 pálcikadiagram Diszkrét ismérv által felvehető értékek lépcső alakú diagram

28 Kvantitatív módszerek 2014 ősz Pálcikadiagram – diszkrét adat 28 ÉrdemjegyTapasztalati gyakoriság (f i ) Relatív gyakoriság (g i ) 1680,089 22800,368 32740,361 4910,120 5470,062 Összesen7601

29 Kvantitatív módszerek 2014 ősz Lépcső alakú diagram 29 ÉrdemjegyKumulált tapasztalati gyakoriság (f i ) Kumulált relatív gyakoriság (g i ) 1680,089 23480,458 36220,818 47130,938 57601

30 Kvantitatív módszerek 2014 ősz Nagyszámú folytonos adat A Budapesti Értéktőzsde Részvényindexének (BUX) 2005 márciusától 2013 júniusáig tartó időszak havi hozamainak értékeit az alábbi táblázatban foglaltuk össze. 30

31 Kvantitatív módszerek 2014 ősz Gyakorisági táblázat 31 alsó határfelső határ osztály közép fifi g i [%]f’ i g’ i [%] -20,00%-15,00%-17,5%22,02%2 -15,00%-10,00%-12,5%99,09%1111,11% -10,00%-5,00%-7,5%99,09%2020,20% -5,00%0,00%-2,5%2323,23%4343,43% 0,00%5,00%2,5%3232,32%7575,76% 5,00%10,00%7,5%1515,15%9090,91% 10,00%15,00%12,5%88,08%9898,99% 15,00%20,00%17,5%11,01%99100,00% összesen 99100,00% Gyakorisági hisztogram v. Gyakorisági vonaldiagram Kumulált (rel.) gyakorisági hisztogram v. Kumulált (rel.) gyakorisági vonaldiagram

32 Kvantitatív módszerek 2014 ősz Gyakorisági hisztogram 32 alsó határfelső határ osztály közép g i [%] -20,00%-15,00%-17,5%2,02% -15,00%-10,00%-12,5%9,09% -10,00%-5,00%-7,5%9,09% -5,00%0,00%-2,5%23,23% 0,00%5,00%2,5%32,32% 5,00%10,00%7,5%15,15% 10,00%15,00%12,5%8,08% 15,00%20,00%17,5%1,01% összesen 100,00% GYAKORISÁGI HISZTOGRAM (tapasztalati (empirikus) sűrűségfüggvény) Gyakoriság vonaldiagramja

33 Kvantitatív módszerek 2014 ősz Gyakorisági vonaldiagram 33 Gyakorisági görbe

34 Kvantitatív módszerek 2014 ősz Kumulált relatív gyakorisági hisztogram 34 alsó határfelső határ osztály közép g’ i [%] -20,00%-15,00%-17,5%2,02% -15,00%-10,00%-12,5%11,11% -10,00%-5,00%-7,5%20,20% -5,00%0,00%-2,5%43,43% 0,00%5,00%2,5%75,76% 5,00%10,00%7,5%90,91% 10,00%15,00%12,5%98,99% 15,00%20,00%17,5%100,00% összesen KUMULÁLT RELATÍV GYAKORISÁGI HISZTOGRAM Kumulált relatív gyakoriság vonaldiagramja

35 Kvantitatív módszerek 2014 ősz Kumulált relatív gyakoriság vonaldiagramja 35 Ogiva KUMULÁLT RELATÍV GYAKORISÁG VONALDIAGRAMJA (tapasztalati eloszlásfüggvény)

36 Kvantitatív módszerek 2014 ősz Tapasztalati eloszlások jellegzetességei Középérték mutatók:  Helyzeti és számított (Kvantilisek) Ingadozásmutatók:  Abszolút és relatív (Momentumok) Alakmutatók:  Aszimmetria és lapultság (csúcsosság) Középértékekkel szembeni elvárások:  Közepes helyzetűek  Tipikusak  Egyértelműen meghatározhatóak  Könnyen értelmezhetőek 36

37 Kvantitatív módszerek 2014 ősz Medián helyzeti középérték mutató a változó azon számértéke, amelynél az összes előforduló számérték fele kisebb, fele pedig nagyobb, így a rangsorba állított sokasági számértékeket két egyenlő gyakoriságú osztályra bontja Becsülhető osztályközös gyakorisági sorból is: Előnye:  Mindig egyértelműen meghatározható  Érzéketlen a szélsőértékekre, és nem függ a többi ismérvértéktől sem. Hátránya:  Nem használható, ha az adatsorban sok az egyforma ismérvérték Egyéb tulajdonsága : 37 ha A mediánt tartalmazó osztály bal végpontja. me annak a legelső osztályköznek a sorszáma, amelyre igaz, hogy A mediánt tartalmazó osztály hossza.

38 Kvantitatív módszerek 2014 ősz Módusz helyzeti középérték, a tipikus ismérvérték diszkrét ismérv esetén a módusz a leggyakrabban előforduló ismérvérték, folytonos ismérv esetén a gyakorisági görbe maximumhelye. Előnye:  érzéketlen a szélsőértékekre,  nem függ sem az összes, sem a kiugró ismérvértékektől. Hátránya:  nem mindig határozható meg egyértelműen, és nem is mindig létezik  nagy bizonytalansággal becsülhető Egyéb tulajdonsága: nyers módusz, osztályköz megválasztása Becsülhető osztályközös gyakorisági sorból is: 38 mo a legnagyobb gyakoriságú osztály(ok) sorszáma A móduszt tartalmazó osztály bal végpontja. A móduszt tartalmazó osztály hossza.

39 Kvantitatív módszerek 2014 ősz Számtani átlag számított középértékfajta az a szám, amellyel az átlagolandó számértékeket helyettesítve azok összege változatlan marad. Számítása: Előnye:  bármely alapadathalmazból egyértelműen meghatározható, minden alapadatot felhasznál Hátránya:  érzékeny a szélsőértékekre  nyesett átlag 39

40 Kvantitatív módszerek 2014 ősz Számtani átlag Egyéb fontos tulajdonsága: 40 minimális, ha

41 Kvantitatív módszerek 2014 ősz Harmonikus átlag számított középértékmutató, az a szám, amellyel az átlagolandó értékeket helyettesítve azok reciprokainak összege változatlan marad Alkalmazása: ha az értékek reciprokainak összege értelmezhető, leíró statisztikai viszonyszámok és indexszámítás 41

42 Kvantitatív módszerek 2014 ősz Mértani átlag számított középértékmutató, az a szám, amellyel az átlagolandó értékeket helyettesítve azok szorzata változatlan marad Alkalmazása:  ha az értékek szorzata értelmezhető, illetve az átlagolandó értékek exponenciálisan nőnek vagy csökkennek  az időbeli fejlődés átlagos ütemének vizsgálatakor  idősor-elemzés 42

43 Kvantitatív módszerek 2014 ősz Négyzetes átlag számított középérték-mutató, az a szám, amellyel az átlagolandó értékeket helyettesítve azok négyzetösszege változatlan marad Hátránya: a kiugróan magas értékekre érzékenyen reagál Alkalmazása:  ha az előjeleknek nincs jelentősége  szórásszámítás 43

44 Kvantitatív módszerek 2014 ősz Kvantilisek a rangsorban olyan osztópontok (osztályhatárok), amelyek egyenlő relatív gyakoriságokat fognak közre Az X i/k i-edik k-ad rendű kvantilis az a szám, amelynél az összes előforduló ismérvértékek i/k-ad része kisebb, (1-i/k)-ad része pedig nagyobb, ahol k≥2 és i=1, 2,…, k-1. 44

45 Kvantitatív módszerek 2014 ősz Ingadozásmutatók Csoportosításuk:  Az adathalmazban szereplő értékek változékonyságát az egyes értékek egymás közötti különbségein, vagy egyes értékeknek egy kitüntetett értéktől (középérték) való eltérésein keresztül ragadja meg.  Mértékegységüket tekintve: Abszolút mutatók: mértékegysége megegyezik az alapadatokéval Relatív mutatók: mértékegység nélküli 45

46 Kvantitatív módszerek 2014 ősz Terjedelem a szóródást az adathalmazban szereplő legnagyobb és legkisebb adat különbségeként jellemzi abszolút ingadozásmutató Előnye: a könnyű számítás Hátránya: értéke csak a két legszélsőségesebb ismérvértéktől függ, amelyeket sokszor a véletlen szeszélyeinek köszönhetünk. Interkvantilis terjedelem  csökkenti a véletlen szélsőértékeket (legkisebb és legnagyobb értéket) alakító szerepét  az adathalmaz két szélső k-adrendű kvantilisének különbsége 46

47 Kvantitatív módszerek 2014 ősz (Korrigált) tapasztalati szórás a szóródást az alapadatoknak egy kitüntetett értéktől (számtani átlagtól) való eltérésein keresztül méri abszolút ingadozásmutató A szórás az egyes X i ismérvértékek átlagtól vett d i eltéréseinek négyzetes átlaga: azt mutatja, hogy az egyes értékek átlagosan mennyire térnek el a számtani átlagtól. Olyan átlagos hiba, amit akkor követünk el, ha minden alapadatot a számtani átlaggal helyettesítünk. A számtani átlag tulajdonsága szerint ez a hiba minimális. 47

48 Kvantitatív módszerek 2014 ősz Relatív szórás relatív ingadozásmutató az ismérvértékek átlagtól vett átlagos eltérése százalékos formában kifejezve minél kisebb a relatív szórás, a számtani átlag annál jobban jellemzi az alapadatokat a szórás és a számtani átlag hányadosa, csak pozitív értékű alapadatok esetében számítható Alkalmazása: különböző sokaságok vagy ismérvek szóródásának összehasonlítására használják 48

49 Kvantitatív módszerek 2014 ősz Átlagos abszolút különbség (G) A szóródást az ismérvértékek egymás közötti különbségein keresztül méri, abszolút ingadozásmutató Azt mutatja meg, hogy az X ismérv értékei átlagosan mennyire különböznek egymástól. A minden lehetséges módon párba állított ismérvértékek különbségeinek abszolút értékéből számított számtani átlag. Kényelmetlen a számítása Alkalmazási területe: koncentráció elemzés 49

50 Kvantitatív módszerek 2014 ősz Átlagos abszolút eltérés (Δ) A szóródást az értékeknek egy kitüntetett értéktől való eltéréseire támaszkodva jellemzi abszolút ingadozásmutató Az egyes ismérvértékek és a számtani átlag különbségeinek abszolút értékeiből számított számtani átlag 50

51 Kvantitatív módszerek 2014 ősz Momentumok Y i ismérvértékek vagy a d i eltérések helyett a alakú eltérések hatványait átlagolják, ahol A egy tetszőleges állandó. az Y ismérv vagy gyakorisági eloszlás A körüli r-edik momentumai: 51

52 Kvantitatív módszerek 2014 ősz Alakmutatók Csúcsosság: 52

53 Kvantitatív módszerek 2014 ősz Aszimmetria Pearson-féle mutatószám: 53