GRÁFOK Marczis Ádám és Tábori Ármin. Kőnig Dénes (1884-1944) Magyar matematikus Az első tudományos színvonalú gráfelmélet könyv írója.

Az előadások a következő témára: "GRÁFOK Marczis Ádám és Tábori Ármin. Kőnig Dénes (1884-1944) Magyar matematikus Az első tudományos színvonalú gráfelmélet könyv írója."— Előadás másolata:

1 GRÁFOK Marczis Ádám és Tábori Ármin

2 Kőnig Dénes (1884-1944) Magyar matematikus Az első tudományos színvonalú gráfelmélet könyv írója

3 Leonhard Euler (1707-1783) - Kőnigsbergi hidag problémájának felvetése és megoldása

4 Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887) - Az első műszaki alkalmazást Kirchhoff dolgozta ki 1847-ban, mikor a gráfelméleti módszereket alkalmazott villamoshálózatok analízisére.

5 Definíció Gráfnak nevezzük a pontokból és – az ezekből alkotható pontpárok közül néhányat (lehet, hogy mindet, lehet, hogy egyiket sem) összekötő – vonalakból álló alakzatot. A pontok a gráf pontjai vagy csúcsai, a vonalak a gráf élei.

6 Jelölések A G gráf pontjainak halmazát V(G)-vel jelöljük. (Az angol vertex = csúcs szóból) A G gráf éleinek halmazát E(G)-vel jelöljük. (Az angol edge = él szóból)

7 Huroknak nevezzük az olyan élt, amelynek két végpontja ugyanaz. Többszörös élt kapunk, ha két pont között egynél több élt húzunk. Egy gráfot egyszerű gráfnak nevezünk, ha pontjainak és éleinek halmaza véges, és a gráfban nincs se hurok, se többszörös él.

8 Egy gráf egy pontjának fokszáma (foka) a pontban találkozó élek száma. Ha a fokszám egy gráfban minden pontban azonos, akkor reguláris. TÉTEL: Minden gráfban a pontok fokszámának összege az élek számának kétszerese. Ha egy pontban nincs él, azt a pontot izolált pontnak nevezzük, fokszáma 0. Minden gráfban a pontok fokszámának összege páros szám. Minden gráfban a páratlan fokú pontok száma páros. Az ábránkon látható gráfnak 5 pontja és 6 éle van. A számok a fokszámokat jelölik. A fokszámok összege: 2+3+3+3+1=12, ez éppen kétszer annyi mint az élek száma (Minden él két pontot kapcsol össze => 6 él tehát 12 fokszámot eredményez.)

9 Definíció: Egy egyszerű gráfot teljes gráfnak nevezünk, ha bármely két pontja össze van kötve éllel. (Az egy izolált pontból álló gráf is teljes gráf.) Tétel: Az n pontú teljes gráf éleinek száma

10 Feladat Igaz-e, hogy egy hattagú társaságnak mindig van vagy három olyan tagja, akik kölcsönösen ismerik egymást, vagy három olyan tagja, akik kölcsönösen nem ismerik egymást?

11 Válasszunk ki egy embert a társaságból, legyen ő Andris (A). I.ESET: Andris legalább 3 másik embert ismer (például Balázst, Csillát és Danit. Ha Balázs, Csilla és Dani közül van kettő, akik ismerik egymást, például Balázs és Csilla, akkor találunk három embert, akik kölcsönösen ismerik egymást (A,B,C). Ha Balázs, Csilla és Dani között nincs kettő, akik ismernék egymást, akkor ők kölcsönösen nem ismerik egymást.

12 II.ESET: Andris legalább 3 másik embert nem ismer (például Balázst, Csillát és Danit. Ha Balázs, Csilla és Dani közül van kettő, akik nem ismerik egymást, például Balázs és Csilla, akkor találtunk 3 embert, akik kölcsönösen nem ismerik egymást (A,B,C). Ha Balázs, Csilla és Dani között nincs kettő, akik nem ismernék egymást, akkor ők kölcsönösen ismerik egymást.

13 Séta Vonal Út Kör Összefüggő Gráf Euler-vonal Euler-kör Hamilton-kör Fagráfok Mire jó a gráf?

14 Séta Sétának nevezzük a gráf éleinek egymáshoz csatlakozó sorozatát, amelyben ugyanazok az élek és pontok többször is előfordulnak. ABCDEFGDEFK

15 Vonal Vonalnak nevezzük a gráf éleinek egymáshoz csatlakozó sorozatát, amelyben minden él legfeljebb egyszer fordulhat elő, de lehetnek olyan pontok, amelyek többször is előfordulnak. ABEFKGHJKGD

16 Út Útnak nevezzük a gráf éleinek egymáshoz csatlakozó sorozatát, amely egyetlen ponton sem megy át egynél többször. ABEFGKJHDC

17 Kör Körnek nevezzük a gráf éleinek egymáshoz csatlakozó sorozatát, amelyben a kiindulási pont megegyezik a végponttal, egyébként minden él és minden más pont legfeljebb egyszer fordulhat elő. ABEFGKJHDCA

18 Összefüggőnek nevezünk egy gráfot, ha bármely pontjából bármely pontjába úton eljuthatunk. Nem összefüggő gráf összefüggő részeit komponenseknek nevezzük. Összefüggő Gráf 3 komponensből álló n. ö. g.

19 Ha egy gráf két pontja között Van vonal, akkor van út is Ha egy gráf két pontja között van séta, akkor van vonal is. Ha egy összefüggő gráfban egy kör tetszőleges élét kihagyjuk, a gráf összefüggő marad. Ha egy gráfban van kör, akkor van két olyan pontja, amelyeket két különböző út köt össze. Ha egy gráfnak van két olyan pontja, amelyeket két különböző út köt össze, akkor a gráfban van kör. Ha egy összefüggő véges gráfban minden pont fokszáma legalább kettő, akkor a gráfban van kör.

20 Euler-vonalnak nevezünk a gráfban egy vonalat, ha az a gráf minden élén áthalad. Az Euler-vonal lehet nyitott, ha a kezdőpontja nem egyezik meg a végpontjával. Egy gráfban nyitott Euler-vonal létezésének szükséges feltétele, hogy két pont fokszáma páratlan, a többi páros legyen Lehet zárt, ha a kezdőpontja megegyezik a végpontjával. Egy gráfban zárt Euler-vonal létezésének szükséges feltétele, hogy minden pont fokszáma páros legyen. Euler-vonal

21 A gráf minden élén pontosan egyszer áthaladó kör Euler-kör Az Euler-kör 9 pontja: - a háromszög 3 oldalfelező pontja - a csúcsból a szemközti oldalra állított merőlegesek talppontjai - a merőlegesek metszéspontja és a csúcspontok közötti szakaszok felezőpontjai... mind egy körön, az úgynevezett Euler-körön fekszenek.

22 A gráf minden pontján pontosan egyszer áthaladó kör Hamilton-kör Az ábrán az öt test egy-egy Hamilton-körének éleit megvastagítottuk. Öt szabályos test (tetraéder, kocka, oktaéder, dodekaéder és ikozaéder) élhálói által alkotott gráfokban keressünk egy-egy Hamilton-kört

23 FAGRÁFOK Fagráfnak nevezzük azt az összefüggő gráfot, amelyik nem tartalmaz kört. o Egy adott pontjából induló élét és az él túlsó csúcsát ágnak nevezzük. o Elsőfokú pontjait levélnek nevezzük. Több fából álló gráfot erdőnek vagy ligetnek nevezzük.

24 *Tétel: Fagráfban a pontok száma eggyel nagyobb az élek számánál. *Tétel: Minden fagráfban, ha két csúcsot éllel összekötünk, akkor kör keletkezik. *Tétel: Egy összefüggő gráf csak akkor fagráf, ha bármely élét elhagyva már nem lesz összefüggő. A 42 prímtényezős felbontása fagráffal

25 Mire jók a gráfok? feladat Egy hattagú társaságban mindenkinek pontosan 3 barátja van. Egyszer kapnak 6 db mozijegyet 3 különböző moziba, mindegyikbe kettőt. Mindegyikük csak egyik barátjával hajlandó moziba menni. Meg tudják e szervezni a mozilátogatást?

26 A megoldást szemlélteti az alábbi ábra

27 Köszönjük szépen a figyelmet!