導線測量中各種誤差估值的推導 導線測量閉合差之計算與分析 導線測量的誤差傳播 導線測量中各種誤差估值的推導 導線測量閉合差之計算與分析

前言 在測量計畫中可能會有不同等級的精度規範，但卻不允許有錯誤觀測量存在。 若有錯誤觀測量，要如何處理？ 本章將考慮這個問題，特別著重在導線測量的分析。 此概念在第19章會有較詳細的討論 第5章已討論函數中各觀測量的誤差傳播，即函數的誤差估值與各觀測量有關 一般平面控制測量(如導線測量)的觀測量，是獨立不相關的 如距離觀測與方位角觀測是獨立不相關的 但根據距離與方位角所計算而得的縱、橫距坐標，卻是相關而非獨立的

前言 若據以計算縱橫距坐標的觀測量獨立不相關，則可利用式(5.15)來計算它們的誤差估值；若觀測量為相關，則必須利用式(5.12) 圖7.1顯示距離與方位角誤差對縱橫距坐標計算之影響 若據以計算縱橫距坐標的觀測量獨立不相關，則可利用式(5.15)來計算它們的誤差估值；若觀測量為相關，則必須利用式(5.12) 其差別在觀測量的協變方矩陣的元素，若觀測量獨立不相關，則協變方為對角矩陣，否則為全矩陣。

縱橫距誤差估值的推導 縱橫距的計算公式如下 由誤差傳播定律知，應先對此公式取偏微分，再利用式(5.15)計算即可求得縱橫距誤差估值 Lat = D cos(Az) Dep= D sin(Az) 由誤差傳播定律知，應先對此公式取偏微分，再利用式(5.15)計算即可求得縱橫距誤差估值

縱橫距誤差估值的推導 例7.1 假設導線邊長139.2540.006m，方位角為23°35´26 9，縱橫距與其誤差估值各若干？ 由式(5.15)得

縱橫距誤差估值的推導 (7.4)式中，211為縱距之變方，222為橫距之變方， 12與21為縱距與橫距之協變方，故縱距之標準偏差：Lat= (211)½ =±0.006m，橫距之標準偏差：Dep= (222)½ =±0.006m 由(7.4)式可見：協變方矩陣之非對角線上元素非為0，故縱橫距之計算值為互相相關，如圖7.1所示

邉方位角標準誤差估值的推導 (7.1)式係由邊方位角來計算縱橫距，實際上，邊方位角常由觀測角度計算而得，而非由直接觀測。由角度值計算而得的方位角存在另一層次的誤差傳播 若導線觀測其內角，且以逆時針方向推算各邉方位角，則其計算公式為 Azc=Azp+180º+i 由誤差傳播定律得 目前推算邊的方位角 觀測內角 前一邊的方位角 觀測內角的誤差

閉合導線閉合差之計算與分析 閉合導線的存在下列幾何約制條件 閉合差的統計分析可決定閉合差是否合理，或是否有錯誤存在 內角=(n-2)×180º  Lats =縱距和= 0  Deps=橫距和= 0 不滿足這些條件就稱為閉合差(misclosures) 閉合差的統計分析可決定閉合差是否合理，或是否有錯誤存在 錯誤的觀測量必須去除，重新觀測 利用下列例子說明閉合差的計算

閉合導線閉合差之計算與分析 表7.1 圖7.2中距離與角度觀測值 測站 覘標 距離(ft) S(ft) 後視 前視 角度 S A B C D E 1435.67 856.94 1125.66 1054.54 756.35 0.020 1102440 873614 1254727 995702 1161456 3.5 3.1 3.6 3.9 例7.2 計算圖7.2所示導線之角度與線性閉合差(位置閉合差)，導線觀測資料如表7.1所列，距離單位為ft，在95％之信心水準下，閉合差估值為若干？是否有任何可能之大錯存在？

閉合導線閉合差之計算與分析 解： 角度檢核：利用誤差傳播定率計算導線閉合差是否在容許誤差規範內 角度和誤差須位於下列公式所計算值之68.3％內 因角度重複觀測4次，每個觀測平均值的自由度為3；其95%信心水準相應的t0.025,3值為3.183(查D.3表)，故其相應的估值為 根據表7.1知，實際的角度閉合差為19  ±24.6，故在95％之信心水準下，沒理由相信存有角度大誤差

閉合導線閉合差之計算與分析 方位角計算：本題並無任何已知方位角，為解決這個問題，可假設第一邊之方位角為000，且無誤差，可以這麼假設，因為問題僅在檢核導線之幾何閉合條件，而非檢核導線的方位，即使觀測了第一個邊方位角，也是如此

閉合導線閉合差之計算與分析 線性閉合差計算：由於縱橫距坐標具有相關性，在計算時應採一般誤差傳播定律式(5.12) 因縱橫距坐標之計算式是非線性函數，應先與以線性化(即取一階導數)，其結果為 A矩陣稱為Jacobian matrix

閉合導線閉合差之計算與分析 因距離與角度觀測為獨立不相關，故其協變方矩陣中非對角元素均為0 由誤差傳播定律知， 縱橫距坐標的協變方矩陣為lat,dep=AAT

閉合導線閉合差之計算與分析 各對角線元素的平方根，即可得每一邊縱橫距之誤差估值，如BC邊之縱距誤差估值為協方差矩陣中第(3,3)元素0.00017之平方根， BC邊之橫距誤差估值為第(4,4)元素0.00040之平方根 其餘各邊縱橫距的誤差估值可同理類推

閉合導線閉合差之計算與分析 閉合導線之線性閉合差(即為位置閉合差)如下 LC=[(LatAB+LatBC++LatEA)2+(DepAB+DepBC++DepEA)2]½ 為了求得該誤差估值，同樣必須利用誤差傳播定律，因位置誤差公式為非線性，故需線性化，如對AB的一階偏導數為 由上式可發現，這些偏導數均與邊無關，且其他邊之偏導數都相同。故一般誤差傳播定律的係數矩陣為

閉合導線閉合差之計算與分析 表7.3 例7.2的縱橫距 縱橫距計算如表7.3所示，由表可見：縱距和為-0.082ft，橫距和為0.022ft，線性閉合差為0.085ft。 將這些值代入誤差傳播定律公式中即可求得位置閉合差的誤差估值 邊 縱距(ft) 橫距(ft) AB BC CD DE EA 1435.67 -35.827 -939.811 -723.829 263.715 =-0.082 -856.191 -619.567 766.894 708.886 =0.022 LC=(-0.082)2+(0.022)2=0.085ft 因導線的位置閉合差為0.085ft，而其容許誤差為0.15ft，故在95%信心水準下，導線並無錯誤觀測量存在。

附合導線閉合差之計算與分析 圖7.3所示為兩端各附合於已知點之附合導線，類此通常為求解如圖中之A、B、C、D等點之位置，另求解角度與線性閉合差，以評估觀測值之接受與否。 例7.3 計算圖7.3所示導線之角度與線性(位置)閉合差，導線觀測數據如表7.4所列，距離單位為m，在95％之信心水準下，預估閉合差為若干？評估是否有任何可能之大錯存在？

附合導線閉合差之計算與分析 解 角度閉合差：附合導線角度閉合差之計算，是先按照方位角推算公式計算各邊之方位角，最後邊的方位角再與已知方位角相減，其結果如表7.4所示。 由表發現，最後邊計算值與其已知值之差為+9(=84º19´22-(264º19´13-180º))，而利用誤差傳播定律，得其預估誤差為(11.02+4.12)1/2=±11.7，實際值小於未乘以t之預估值，沒理由假設角度存有大錯

附合導線閉合差之計算與分析 位置閉合差：先按照縱橫距公式推算各邊導線點的縱橫距，接著計算縱橫距的總和，並與已知控制點的縱橫距相減即可求得(或推算各導線點坐標，最後推算的控制點坐標與已知坐標相減)。 已知控制點1、2兩點之縱橫距差各為：-92.050m與1104.900m，而由表7.6得知：1、2兩點實際之縱橫距差各為：-92.089m與1104.890m，故根據觀測求得之縱橫距閉合差分別為：-0.039m與-0.010m，位置閉合差為此兩者平方和之平方根=0.040m

附合導線閉合差之計算與分析 導線的預估閉合差：其計算類似前述閉合導線，先求縱橫距之A係數矩陣、Σ觀測值協方差矩陣，再求縱橫距誤差之協方差矩陣，最後求位置閉合差誤差之協方差矩陣

將相應的數值代入式(7.19)與(7.20)，再由誤差傳播定律可得縱橫距的協方差矩陣 為了求導線閉合差的誤差估值，由閉合差公式知，應先求Jacobian matrix A，再利用誤差傳播定率計算之 LC=ALat,DepAT=[0.000749]

附合導線閉合差之計算與分析 同例7.2，查表D.3，得α=0.05, 自由度=3之t0.025,3=3.183；在95％之信心水準下，位置閉合差的誤差估值為±3.183 × 0.000749½m = ±0.087m，比實際閉合差0.040m高很多，因此，在95％之信心水準下，沒理由相信導線存有錯誤 利用傳統方式，如羅盤儀法則平差計算附合導線時，常假設控制無誤差；實際上，控制坐標也是由觀測值所推算的，自然包含誤差，對應用式(7.21) 時，也假設控制點坐標沒誤差，嚴謹計算時，應修正相關計算式。 最小自乘法平差的主要優點即因平差計算時可包含控制，詳如第十八章所述

結論 本旨在討論導線測量計算觀測量的誤差傳播。 誤差傳播定律為一非常有用的工具，它可回答： 可接受的導線閉合差為何？

作業 7.8、7.11