T.5. tétel (minimálpolinom egyértelmű létezése) Tetszőleges F[x] test feletti polinomgyűrűben minden J  0 ideálhoz egyértelműen létezik olyan g  F[x] főpolinom, amire J = g . Bizonyítás. 1. Egzisztencia. Legyen h minimális fokszámú polinom J –ben, h főegyütthatója b, ekkor belátható, hogy a g = b-1h főpolinom jó választás lesz. Maradékos osztás tetszőleges f  J –re : f = gq + r és deg(r) < deg(g) = deg(h) - 1-

Kaptuk: tetszőleges f  J g –nek többszöröse J ideál  r = f –gq  J deg(h) minimális  r = 0 . Kaptuk: tetszőleges f  J g –nek többszöröse  J = g . 2. Unicitás. Tfh  g’  F[x] : J = g’ .   c, c’  F[x] : g = c’g’ és g’ = cg .  g = c’cg  c’c az egységelem c, c’ konstans és g, g’ főpolinom  g = g’ - 2-

J = { f(x)  K[x] f(α) = 0 } = g , Definíció. Legyen F tetszőleges test és K egy részteste F –nek. Ha α  F algebrai elem K felett, akkor az az egyértelműen meghatározott g  K[x] főpolinom, amelyre J = { f(x)  K[x] f(α) = 0 } = g , azaz, g generálja a J K[x] –beli ideált, az α K feletti minimálpolinomja. α K feletti fokszámán deg(g) –t értjük -3-

T.6. tétel (minimálpolinom tulajdonságai) Legyen F tetszőleges test és K egy részteste F –nek, továbbá α  F K felett algebrai elem. Ha α K feletti minimálpolinomja g , akkor (1) g irreducibilis K[x]-ben. (2)  f  K[x] –re f(α) = 0  g osztója f –nek. (3) g a legalacsonyabb fokszámú főpolinom K[x]-ben, amelynek α gyöke. -4-

Bizonyítás. (1) indirekte tfh g nem irreducibilis.   h1, h2  K[x] : deg(g) > 0, hiszen van gyöke  g = h1h2 és 1  deg(hi) < deg(g) i = 1, 2 . 0 = g(α) = h1(α)h2(α)  h1 vagy h2 J –beli és g ‌ h1 vagy g ‌ h2 -5-

(2) a definícióból következik. (3) Legyen f  K[x] –re f(α) = 0  f  J , azaz f a g többszöröse. g főpolinom  f = g vagy deg(f) > deg(g) . Definíció. F : K esetén, ha F mint K feletti vektortér nem véges dimenziós akkor a bővítés végtelen, egyébként véges bővítésről beszélünk. Az F : K testbővítés foka az F K feletti vektortér dimenziója, jelben [F:K] . -6-

T.7. tétel (testbővítések foka) Legyen M : L és L : K véges testbővítés. Ekkor M : K véges bővítés és [M : K] = [M : L][L : K] . Bizonyítás. Legyen [M : L] = m, [L : K] = n bázisok: M : L {a1, …, am} , L : K {b1, …, bn} ahol rij  K, ci  L . -7-

bjai elemből mn db van elég látni, hogy lineárisan függetlenek. Tehát legyen valamely sij  K együtthatókkal : ai –k függetlenek L felett  bj –k függetlenek K felett  -8-

T.8. tétel (véges bővítés algebrai) Tetszőleges K test véges bővítése algebrai K felett. Bizonyítás. Legyen [L : K] = n  az n+1 db 1, a, a2, …, an elem lineárisan összefüggő K felett.  valamely ci K –beli, nem csupa nulla elemekre : c0 + c1a + ...+ cnan = 0 Pontosan azt jelenti, hogy a algebrai K felett. -9-

T.9. tétel (faktorgyűrű és felbonthatatlan elem) Legyen R tetszőleges főideálgyűrű. R/a test  a felbonthatatlan R –ben. Bizonyítás. 1. eset Ha a egység  R/a egyelemű  nem test . 2. eset Ha a felbontható   b, c  R nem nulla nem egység elemek : a = bc . Kérdés : b  a ? Ha igen, akkor b a többszöröse, azaz b = ad = bcd  b(1 –cd) = 0  cd = 1 : c és d egység  b  a -10-

a maximális ideál R –ben  R/ a test Mivel viszont a többszöröse b –nek : a  b  R  a nem maximális ideál R –ben  R/a nem test. 3. eset Ha a felbonthatatlan, akkor nem egység, tehát a  R Vizsgáljuk a tetszőleges J R –beli ideált, amire a  J = b  R  a  J  b  a  vagy b egység, vagy b ~ a J = a J = R a maximális ideál R –ben  R/ a test -11-

T.10. tétel (egyszerű bővítés izomorfiája) F : K esetén legyen α  F K felett n –edfokú algebrai elem g K feletti minimálpolinommal. Ekkor K(α) izomorf K[x] / g –vel . Bizonyítás.  : K[x]  K(α) : (f) = f(α) gyűrűhomomorfizmus. g = ker = { f  K[x]  f(α) = 0 } Legyen S =  (K[x]) Homomorfizmus-tétel  S izomorf K[x] / g –vel . -12-

K[x] test feletti polinomgyűrű  K[x] főideálgyűrű + minimálpolinom irreducibilis  T.9. tétel  K[x] / g test  S test Kérdés: S = K(α) ? S definíciója  S  K(α) Konstans polinom  melletti képe önmaga  K  S  K(α) és α  S K(α) a legszűkebb test, ami tartalmazza K –t és α –t  S = K(α) -13-

T.11. tétel (egyszerű bővítés bázisa) F : K esetén legyen α  F K felett n –edfokú algebrai elem g K feletti minimálpolinommal. Ekkor [K(α) : K] = n és K(α) K feletti bázisa 1, α , ..., α n-1 . Bizonyítás. S = K(α)   c  K(α) felírható f(α) alakban, ahol f  K(α). Maradékos osztás g –vel : c = f(α) = q(α)g(α) + r(α), ahol deg(r) < deg(g) = n és g(α) = 0  c = f(α) = r(α) = b0 + b1α + ... + bn-1αn-1 , valamely bi  K együtthatókkal. -14-

Tehát  K(α) –beli elem felírható 1, α , Tehát  K(α) –beli elem felírható 1, α , ..., α n-1 -beli elemek K feletti lineáris kombinációjaként .  1, α , ..., α n-1 bázis, ha elemei lineárisan függetlenek. Tehát tfh valamely bi  K együtthatókkal b0 + b1α + ... + bn-1αn-1 = 0 Ez pontosan azt jelenti, hogy a h(x) = b0 + b1x + ... + bn-1xn-1 polinomnak α gyöke, T.6/2 tétel  g  h   deg(h) < n = deg(g)  h = 0   bi = 0 -15-

Következmény. Ha K(α) tetszőleges egyszerű testbővítése K –nak , akkor minden c K(α) elem c = b0 + b1α + ... + bn-1αn-1 alakban írható, valamely bi  K együtthatókkal, azaz c előáll egy legfeljebb n – 1 –edfokú K feletti polinom α helyen vett helyettesítési értékeként. -16-

T.12. tétel (egyszerű bővítés elemeinek fokszáma) F : K esetén legyen α  F K felett n –edfokú algebrai elem g K feletti minimálpolinommal. Ekkor  c  K(α) elem algebrai K felett és c K feletti fokszáma osztója n –nek . Bizonyítás. T.11. tétel  K(α) véges bővítés K felett. T.8. tétel  K(α) algebrai bővítés K felett. K résztest K(c) –ben . K(c) résztest K(α) –ban .  c K feletti fokszáma [K(c) : K] T.7. tétel  n = [K(α) : K] = [K(α) : K(c) ][K(c) : K] -17-

Példa. Legyen K = Q, továbbá -18-

-19-

Tehát: -20-