Variációs elvek (extremális = min-max elvek) a fizikában A fizika törvényei megfogalmazhatók DIFFERENCIÁLEGYENLETEKKÉNT, megfogalmazhatók VARIÁCIÓS ELVEKKÉNT (szélsőérték, min-max elvek). Geometriai optika Fermat elve: Legyen adott a térben tetszés szerinti folytonos vagy ugrásszerűen változó törésmutatójú, optikailag átlátszó közeg. A fény a közeg P1 pontjából indulva, valamilyen pályát leírva a P2 pontba jut ds/v kifejezés azt az időt jelenti, amely alatt a fény a ds utat befutja Fermat-elv: a fény a tér egyik pontjából a másikba a legrövidebb idő alatt jut. A mechanika törvényei is megadhatók extremalis (min-max) illetve variációs elvként.

A variációszámítás alapjai Keresendő azon függvény, amely az kifejezést („funkcionált”) szélső értékké teszi. Vagyis keresendő az = extrémum követelményeknek eleget tevő függvény Tegyük fel, hogy ismerjük a fenti követelményeknek eleget tevő, és a pontokon átmenő görbét. „Variáljuk” az függvényt . egy tetszés szerinti paraméter, egy folytonosan differenciálható, egyébként tetszés szerinti függvény, azzal a megszorítással, hogy Ez annyit jelent, hogy az görbesereg minden egyes tagja átmegy a pontokon .

Hogy az integrál valóban extremális értéket adjon az megoldásnál szükséges, hogy bármely (x) függvény esetén az = 0 értéknél kapjunk szélsőértéket, Érvényesítsük most az =0 feltételt: Alakítsuk át parciális integrálás segítségével az integrandusz második tagját:

A variációszámítás Euler – Lagrange-egyenlete : A variációszámítás alap-lemmája szerint ha egy adott függvénynek egy tetszés szerinti függvénnyel való szorzata egy megadott tartományban integrálva nullát ad, akkor maga a függvény is nulla. A variációszámítás Euler – Lagrange-egyenlete : = extremum Az extremum követelményt kielégítő megoldást az Euler–Lagrange- differenciálegyenlet azon megoldásai között kell keresnünk, amelyek keresztülmennek a megadott pontokon.

Példa: Síkban két pontot összekötő vonalak közül melyik a legkisebb ívhosszúságú.

Extremizálandó kifejezés Euler-egyenletek

A mechanika elvei Az n számú tömegpontból álló rendszer helyzetét n számú vektor, azaz 3n számú helykoordináta határozza meg. Ha a tömegpontok mozgását k számú holonom kényszer korlátozza, akkor a rendszer független koordinátáinak száma f =3n–k amit a rendszer szabadsági fokának nevezünk. Az f szabadsági fokú rendszer általános helykoordinátái q1, q2, ..., q f, és segítségükkel a tömegpontok helykoordinátái Mivel a potenciális energia az helykoordináták függvénye, ezért az általános koordinátákkal a potenciális energia mindig kifejezhető.

Az általános koordináták idő szerinti differenciálhányadosait , ahol i =1, 2, ..., f) általános sebességeknek nevezzük. Ha az ri Descartes-koordinátái xi, yi, zi, akkor a pontrendszer kinetikus energiája A kinetikus energia az általános koordináták és az általános sebességek függvénye. A potenciális energia csak az általános koordinátáktól függ Fontos definiciók: Lagrange-függvény Általános impulzus Hamilton-függvény

A Newton-törvényekkel egyenértékű a Hamilton-elv, amelyet a legkisebb hatás elvének is szokás nevezni. Egy tömegpont esetén a P1 pontból induló és a P2 pontba tartó részecske a két pontot összekötő pályák közül azon halad, amelyre a Lagrange-függvény időintegrálja extremum, azaz az időintegrál variációja zérus. Ez a több tömegpontból álló rendszer esetén is érvényes. Euler–Lagrange-egyenletek A Newton mozgásegyenletekkel egyenértékűek a Hamilton-egyenletek:

A pontmechanika alaptörvényeit három különböző formában adhatjuk meg. A Newton-féle mozgásegyenletek, a Lagrange-féle mozgásegyenletek és a Hamilton-egyenletek a fentiek szerint egyenértékű alaptörvények. Egyetlen tömegpont általános koordinátái legyenek q1=x, q2=y és q3=z, potenciális energiája Wp(x, y, z), kinetikus energiája pedig A Lagrange-függvény A Lagrange-féle mozgásegyenletek a Newton-mozgásegyenleteket kaptuk vissza.

Newton mozgásegyenletek Hamilton elv Lagrange-egyenletek Hamilton egyenletek

Lineáris és nemlineáris rezgések. Ingamozgás, rugók, harmonikus oszcillátorok, rezgő húr, stb. 1. Egydimenziós, szabad és „kis” rezgések Stabil egyensúlyi állapot, amelyben a potenciális energiának minimuma van : Az egyensúlyi helyzetből való kitérés esetén erő lép fel. (A Taylor sor első el nem tűmő tagja) A továbbiakban A kinetikus energia A Lagrange függvény: A mozgásegyenlet: Amplitúdó Fázis

A kis rezgést végző rendszer összenergiája q p Az általános impulzus „Fázistér” : a hely és impulzuskoordináták által kifeszitett tér Egydimenziós térbeli mozgás esetén Phase space (fázistér) Mozgás szabadságfoka f Phase space (fázistér) „Fázisgörbe” p = p(q)