Többdimenziós valószínűségi eloszlások

Valamely kísérlettel kapcsolatban két valószínűségi változót tekintünk: valószínűségi vektorváltozó lehetséges megvalósulásai az alakú számpárok. Ha diszkrét valószínűségi változók, akkor a vektorváltozó is diszkrét. A lehetséges értékeket számpárral jelöljük.

Annak valószínűsége, hogy az értékpárt veszi fel A valószínűségek összességét a kétdimenziós valószínűségi vektor valószínűségeloszlásának nevezzük. – Együttes eloszlás események teljes eseményrendszert alkotnak, így

csak véges sok értéket vehet fel, akkor azt az alábbi táblázatba foglaljuk Ha

Feladat: Egy kísérletben 1….10-ig választunk ki egy számot véletlenszerűen. legyen a parítás indikátora, azaz ha a kiválasztott szám páros, ha páratlan, pedig jellemezze a szám oszthatósági tulajdonságait, azaz ha a kihúzott szám prímszám, ha összetett és ha a kihúzott szám nem prím és nem összetett. Adja meg a valószínűségi változók együttes eloszlását.

Megoldás: Az eloszlás táblázata:

Az együttes eloszlás ismeretében meghatározhatók külön-külön a egyes valószínűségi változók eloszlásai. Ekkor beszélünk peremeloszlásról. ismeretében meghatározzuk a Például eloszlásokat. azt mutatja meg, hogy a milyen valószínűséggel veszi fel az értéket tól függetlenül. Rögtön látható, hogy hasonlóan

Feladatunkban:

Valószínűségi vektorváltozók eloszlásfüggvénye Definíció: kétváltozós függvény együttes eloszlásfüggvénye.

Feladatunk együttes eloszlása: Határozza meg az együttes eloszlásfüggvényt!

Az eloszlásfüggvény tulajdonságai: 1. A függvény mindkét változójában monoton nő. 2. 3. legalább egyik változójában balról folytonos. 4.

Peremeloszlás: diszkrét valószínűségi vektor Tekintsük az alábbi függvényeket: hez tartozó , hoz tartozó peremeloszlásfüggvények.

Feladatunkban:

Valószínűségi változók függetlenége Definíció: függetlenek, ha minden valós ra fennáll, hogy azaz

Tétel: Ha valószínűségi változók függetlenek, akkor bárhogyan is választjuk ki az és intervallumokat, az és események szorzatának valószínűsége egyenlő ezen események valószínűségének szorzatával.

Tétel: Ha diszkrét valószínűségi vektor, akkor függetlenségéhez szükséges és elégséges legyen, ahol végigfutnak és összes lehetséges értékén.

Tétel: Ha diszkrét valószínűségi vektor és tetszőleges függvény (pl. összegzés), akkor a valószínűségi változó eloszlását a alakú összegek adják, ahol az összegzést minden olyan számpárra el kell végezni, amelyre (Az értékpárok lehetséges értékei.)

Valószínűségi változók összege Legye diszkrét valószínűségi változó, melynek lehetséges értékei x1=0, x2=1, x3=2 p1=0,5; p2=0,2; p3=0,3 valószínűségekkel. Legyen a második valószínűségi változó is diszkrét és teljesen független -től. Lehetséges értékei y1=0 és y2=2 q1= 0,4 és q2= 0,6 valószínűségekkel. Határozza meg eloszlását. Legyen

A valószínűségi változó tehát a következő értékeket veheti fel: Tudjuk, hogy a valószínűségi változó eseményei függetlenek a valószínűségi változó eseményeitől, így

A valószínűségi változó lehetséges értékei a megfelelő valószínűségekkel Az összeg eloszlása

Várható érték és szórás diszkrét valószínűségi változók és tetszőleges függvény, akkor a várható értéke (Az számpárok lehetséges értékeit jelentik. Tétel:

Feladatunkban: Világos, hogy:

Tétel: Független valószínűségi változók esetén Feladatunkban: Fordítva nem igaz az állítás, azaz, ha teljesül az egyenlőség nem biztos, hogy függetlenek a valószínűségi változók. Erre mutatunk példát a következőkben.

Példa: Legyenek diszkrét valószínűségi változók lehetséges értékei Tegyük fel, hogy egyenlő valószínűséggel veheti fel ezek bármelyikét. Határozza meg értékeket és vizsgálja a változók függetlenségét. Eloszlástábla:

Tétel: Független valószínűségi változók esetén Feladatunkban:

Korrelációs együttható A valószínűségi változók között többnyire sztochasztikus kapcsolat van. Definíció: Legyenek valószínűségi változók, melyeknek létezik várható értéke. A szorzat várható értékét, ha ez létezik, nevezzük a szóban forgó valószínűségi változók kovarianciájának. A kovariancia képet ad a változók átlagos együttes változásáról.

A kovariancia tulajdonságai: 1. 2. Eloszlások összehasonlíthatósága miatt nem a kovarianciával, hanem a korrelációs együtthatóval mérjük a kapcsolatok erősségét.

Definíció: és korrelációs együtthatója: A korrelációs együttható tulajdonságai: 1. Az egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha a változók között lineáris kapcsolat van. 2. Ha és valószínűségi változók függetlenek, akkor A korrelációs együttható a linearitástól való eltérés mértékét adja meg, azaz hogy a valószínűségi változók közötti kapcsolat milyen erősen lineáris jellegű.

Feladatok: 25 db 40 W-os és 75 db 60 W-os Philips, valamint 60 db. 40 W-os és 140 db 60 W-os Tungsram márkájú villanykörte összekeveredett. Véletlenszerűen kiválasztunk közülük egy darab villanykörtét. Valószínűségi változó értéke legyen 0, ha 40 W-os izzót választunk és legyen 1, ha 60 W-osat.! Valószínűségi változó értéke legyen 0, ha a kiválasztott izzó Philips és legyen 1, ha Tungsram márkájú! a. Adja meg és együttes és peremeloszlásait b. Adja meg a perem és együttes eloszlások eloszlásfüggvényét! c. Fogalmazza meg, mit jelentenek a következő kifejezések és meg adja értéküket! d. Függetlenek-e a valószínűségi változók? Számítsa ki kovarianciájukat és korrelációs együtthatójukat!