előadások, konzultációk Gazdasági matematika előadások, konzultációk Halmazelmélet, Függvénytani alapfogalmak, Pénzügyi számítások

HALMAZELMÉLET

Fogalmak, jelölések Halmaz és elem: alapfogalmak. Egy halmazt adottnak tekintünk, ha minden objektumról egyértelműen eldönthető, hogy eleme-e a halmaznak, vagy sem. Halmaz megadása: felsorolással, pl. A={Mátyás király, Lúdas Matyi} leírással B={100 és 200 közé eső prímszámok} Jelölések: ;  ; de {} Alaphalmaz: H

Fogalmak Definíció: Két halmaz egyenlő, ha ugyanazok az elemeik. Definíció: Az A halmaz részhalmaza a B halmaznak, ha A minden eleme B-nek is eleme. Jelölése: AB. Megjegyzés: Valódi és nem valódi részhalmazok, . Definíció: A és B diszjunkt, ha nincs közös elemük. Definíció: Az A halmaz hatványhalmaza az összes részhalmazainak halmaza. Jelölése: P(A). Megjegyzés: |A|=n esetén |P(A)|=2n.

Halmazok szemléltetése Véges halmazok esetén Venn-diagram: H A B C

Műveletek halmazokkal Unió: AB={x|xA vagy xB} Metszet: AB={x|xA és xB} Különbség: A\B={x|xA és xB} Komplementer: ={xH|xA}

Műveletek tulajdonságai Idempotencia: AA=A és AA=A Kommutativitás: AB=BA és AB=BA Asszociativitás: (AB)C=A(BC) és (AB)C=A(BC) Disztributivitás: A(BC)=(AB)(AC) és A(BC)=(AB)(AC) AB esetén AB=A és AB=B A = és A =H A\B=A =A, =H és = De-Morgan:

Feladat Legyen H={xZ|-10<x<10}, valamint A={xH|x prímszám} B={xH|x páratlan szám} C={xH|x osztható 3-mal} Szemléltesse ezeket a halmazokat Venn diagramon, majd határozza meg a következő halmazokat: B\A , C\(AB) , , (ABC)(B\C) ! Írjon fel halmazműveletekkel 1, 2, 3, 4 és 5 elemű halmazokat!

Számhalmazok Természetes számok: N Egész számok: Z, Z+, Z- Racionális számok: Q (tizedes tört alak, sűrűség) Irracionális számok: I=Q* (tizedes tört alak, sűrűség) Valós számok: R (számegyenes, axiómák, abszolút érték, intervallumok, sugarú környezet) Halmazok számossága: Megszámlálhatóan végtelen és nem megszámlálhatóan végtelen számosság

Halmazok Descartes szorzata Definíció: A és B nem üres halmazok esetén A és B Descartes szorzata A×B={(a,b)|aA és bB} Megjegyzés: |A×B|=|A|.|B| Kölcsönösen egyértelmű leképezés létesíthető az R×R halmaz és a sík pontjai között.

Feladat Legyen A=[-6,5) , B=(0,7) és C=[-2,2]. Szemléltessük ezeket a halmazokat számegyenesen, majd határozzuk meg a következő halmazokat: A\B , A\C, , C\(AB).

FÜGGVÉNYTANI ALAPFOGALMAK

A függvény definíciója Definíció: Legyen A és B nem üres halmaz. Függvénynek nevezzük az A minden eleméhez B valamelyik elemét rendelő kapcsolatot. Ekkor A elemei az értelmezési tartományt, B elemei a képhalmazt, B-nek azon elemei, melyeket A valamelyik eleméhez hozzárendeltük, az értékkészletet alkotják. Jelölések: Függvény: f, g, h, stb. Értelmezési tartomány: Df Értékkészlet: Rf

Fogalmak Definíció: Az f és g függvények egyenlők, ha Df=Dg és  x Df esetén f(x)=g(x). Definíció: Az f függvény valós-valós, ha Df=R és Rf=R. Jelölés: RR. Definíció: Az f valós-valós függvény grafikonján a graf f={(x,y)R2|xDf és y=f(x)} halmazt értjük. Függvény grafikon és síkgörbe közötti különbség. Elemi függvények: Hatvány, hiperbola, gyök, exponenciális, logaritmus, abszolút érték, trigonometrikus, előjel, egészrész, törtrész.

Hatvány függvények x3 x2 x1 x0 °

Hiperbola

Gyökfüggvények

Exponenciális függvények

Logaritmus függvények log2x log3x

Függvény transzformációk A változóhoz adunk egy aR számot. A függvényértékhez adunk egy aR számot. A változót szorozzuk egy aR, a>0 számmal (a>1 és 0<a<1 esetek) A változót szorozzuk –1-gyel. A függvényértéket szorozzuk egy aR, a>0 számmal (a>1 és 0<a<1 esetek) A függvényértéket szorozzuk –1-gyel.

Műveletek függvényekkel Definíció: Legyenek f és g valós függvények. Ekkor: Az f és g függvény összege (különbsége): h=fg, amelyre: Az f és g függvény szorzata: h=f·g, amelyre: Az f és g függvény hányadosa: , amelyre

Függvények tulajdonságai Legyen fRR. Definíció: Az f függvény alulról korlátos, ha  kR, melyre  xDf esetén kf(x). Az f függvény felülről korlátos, ha  KR, melyre  xDf esetén f(x)K. Az f függvény korlátos, ha alulról és felülről is korlátos. Definíció: Az f függvény az ADf halmazon monoton növekvő, ha  x1,x2A és x1x2 esetén f(x1) f(x2). Ugyanitt monoton csökkenő, ha  x1,x2A és x1x2 esetén f(x1)f(x2). (Szigorú monotonitás). Definíció: Az f függvény páros, ha  xDf esetén -xDf és f(-x)=f(x). Az f függvény páratlan, ha  xDf esetén -xDf és f(-x)=-f(x).

Függvények tulajdonságai Definíció: Legyen (a,b)Df. Az f függvény konvex (a,b)-n, ha  x1,x2(a.b) esetén a függvény grafikonja az (x1,f(x1), (x1,f(x2) pontokat összekötő szakasz alatt helyezkedik el. Ugyanitt a függvény konkáv, ha függvény grafikonja a szakasz felett helyezkedik el. Definíció: Az f függvény periodikus, ha  pR, melyre  xDf esetén x+pDf és f(x+p)=f(x). p a függvény periódusa. Definíció: Az f függvénynek az aDf helyen globális minimuma van, ha  xDf esetén f(x)f(a). Az f függvénynek az aDf helyen globális maximuma van, ha  xDf esetén f(x)f(a).

Függvények tulajdonságai Definíció: Az f függvénynek az aDf helyen lokális (helyi) minimuma van, ha  R+, melyre  xDf(a-, a+) esetén f(x)f(a). Az f függvénynek az aDf helyen lokális (helyi) maximuma van, ha  előbbi  és x esetén f(x)f(a). Definíció: Az f függvény aDf helye zérushely, ha f(a)=0.

Összetett függvény Legyen f,gRR és RgDf. Dg Rg Df Rg A g g(x) f f(g(x)) x fg A={x|xDg, g(x)Df} esetén definiálható egy új h függvény, melyre Dh=A és h(x)=(f(g(x)). Ekkor h összetett függvény, ahol g belső, f külső függvény. Pl.

Inverz függvény Definíció: Az f függvény kölcsönösen egyértelmű hozzárendelést valósít meg, ha x1x2 esetén f(x1)f(x2) és Rf a teljes képhalmaz. Definíció: Ha az f függvény kölcsönösen egyértelmű hozzárendelést valósít meg, akkor f invertálható. Az f függvény inverz függvénye f-1: RfDf és f-1(y)=x, ahol f(x)=y. Feladat: Határozza meg az f: Df=[2,5], f(x)=x2-4x-1 függvény inverz függvényét és ábrázolja közös koordináta rendszerben.

PÉNZÜGYI SZÁMÍTÁSOK

Alapfogalmak, jelölések Betét, vagy kölcsön értéke: T0. Kamat: K. Betét esetén a bank, kölcsön esetén az adós által fizetett használati díj. Arányos a betét, illetve a kölcsön értékével és az idővel. Kamatidő: Egységnyi idő a kamat kiszámításakor (általában egy év). Kamatláb: P. 100 pénzegységnek a kamatidőre vonatkozó kamata. Segédváltozók:

Banki betét Ha a banki betét ideje: Egy év (vagyis a kamatidő, jan. 1-től jan. 1-ig): n év (jan. 1-től jan. 1-ig): Éven belüli:

Feladat 2000. március 1-én beteszünk a bankba 70 000 Ft-ot. A kamatláb 8,2%. Mennyi a követelésünk: 2000. augusztus 1-én? 2001. március 1-én? 2005. október 1-én?

Diszkontálás Diszkontált érték kiszámítása: Diszkonttényező:  Diszkontláb: D Összegezve:

Feladat Mennyi pénzzel kell most rendelkeznem, hogy 10 év múlva P=7,3%-os banki kamatozás mellett 1500000 Ft-om legyen? Tehát =0,9320, így d=1-0,9320=0,068 és D=6,8%

Infláció szerepe P%-os banki kamatláb és I%-os infláció esetén T0 tőkénk vásárlóértéke szeresére nő n év alatt.

Feladat 8,1%-os banki kamat és 6%-os infláció mellett 3 év alatt hányszorosára nő a pénzünk vásárlóértéke? 1,061-szeresére, vagyis 6,1%-al nő.

Gyűjtőjáradékok Azonos időközönként, ugyanakkora összegeket fizetünk be. A) Éves gyűjtőjáradék: A Ft befizetés minden év január 1-én, P%-os kamatláb mellett, n éven át: B) Havi gyűjtőjáradék: H Ft befizetés minden hónap elején, P%-os kamatláb mellett, n éven át:

Feladat Hány évig kell évente 100000 Ft-ot elhelyezni a bankban ahhoz, hogy 7,2%-os kamatozás mellett 1000000 Ft összegyűljön?

Feladat Mekkora összeget vehetünk ki a bankból a 8. év végén, ha minden hó elején 5000 Ft-ot elhelyezünk és a kamatláb az első 5 évben 6%, majd 7%?

Kölcsön felvétel Azonos időközönként, ugyanakkora összegeket törlesztünk. A) Éves törlesztés: T0 kölcsön felvétele január 1-én, P%-os kamatra, majd törlesztés a következő év január 1-től. A tartozásunk az n. év.végén: B) Havi törlesztés: T0 kölcsön felvétele január 1-én, P%-os kamatra, majd törlesztés február 1-től. A tartozásunk az n. év.végén:

Feladat Mekkora lesz a havi törlesztő részlet, ha 2000000 Ft kölcsönt vettünk fel 6%-os kamatra és 10 évre?

Feladat Március 1-én felveszünk 750000 Ft kölcsönt 14%-os kamatra, amit augusztus 1-től 4 havi egyenlő részletben szeretnénk visszafizetni. Mekkora legyen ez a havi törlesztő részlet?