Valószínűségszámítás II. Valószínűségi változók és jellemzőik

Az analízis jól kidolgozott eszközeinek használhatósága érdekében az eseménytéren értelmezünk egy valós értékű függvényt. Definíció: Valószínűségi változónak nevezzük azt a valós értékű függvényt, melynek értelmezési tartománya egy eseménytér elemi eseményeinek halmaza. Ezt a függvényt -vel jelöljük. (Általában görög betűvel.) Megjegyzés: Ha az elemi eseményhez tartozik, akkor jelöli bekövetkezésének valószínűségét.

Diszkrét valószínűségi változó Definíció: Egy valószínűségi változót diszkrétnek mondunk, ha lehetséges értékeinek halmaza véges vagy megszámlálható. A valószínűségi változót adottnak tekintjük, ha valamennyi valószínűség értéket ismerjük. A nevezett valószínűségek a halmazon valószínűségi mezőt alkotnak. Definíció: A halmazon értelmezett függvényt a változó valószínűség eloszlásának nevezzük. Megjegyzés: Az értelmezésből következik a. b. Egy valószínűségi változó valószínűség eloszlását vonaldiagramon ábrázoljuk.

Definíció: A diszkrét valószínűségi változó eloszlásfüggvényének nevezzük azt a F(x) függvényt, melynek értelmezési tartománya a valós számok halmaza és tetszőleges esetén Megjegyzés: Az értelmezésből következik: 1. 2. 3. monoton nő 4. grafikonja úgynevezett lépcsős függvény

Feladatok Egy kockadobás kimenetelei legyenek a valószínűségi változó értékei. Adjuk meg valószínűség eloszlását, eloszlásfüggvényét! Ábrázoljuk a nevezett függvényeket! Megoldás:

2. Egy dobozban négy jó és három hibás tranzisztor van 2. Egy dobozban négy jó és három hibás tranzisztor van. Vegyünk ki a dobozból véletlenszerűen négy tranzisztort. A valószínűségi változó értéke legyen rendre a jó tranzisztorok száma. Adjuk meg a valószínűségi változó eloszlását, eloszlásfüggvényét! Ábrázoljuk a nevezett függvényeket! Megoldás:

Várható érték Független kísérletsorozat során tapasztaljuk, hogy a valószínűségi változó átlaga egy bizonyos szám körül ingadozik. Ezt a számot a valószínűségi változó várható értékének nevezzük. Definíció: Legyen i=1,2,…n a valószínűségi változó valószínűség eloszlása. A összeget a valószínűségi változó várható értékének nevezzük és jelöljük. Szokásos jelölése még:

Feladatok 1. Két szabályos kockával végzett kockadobások esetén az eseményteret 36 rendezett számpár alkotja. értéke legyen az elemeit képező (a;b) számpárokból mindig a nagyobbikkal egyenlő. Ekkor a lehetséges értékeinek halmaza Számítsuk ki eloszlását, várható értékét! Megoldás:

2. Egy kockajátékos a banktól páros szám dobása esetén a pontszám 18 szorosát kapja forintba számolva, páratlan szám dobása esetén pedig a játékos fizet a banknak, éspedig a pontszám 24 szeresét. Számítsuk ki a várható értéket! Megoldás:

3. Tegyük fel, hogy a kockadobás játékszabálya most a következő: prímszám dobásakor a játékos a pontszámmal azonos mennyiségű forintot nyer, nem prímszám dobásakor pedig a pontszámmal azonos mennyiségű forintot veszít. Számítsuk ki a várható értéket! Megoldás:

Szórásnégyzet, szórás Különböző jelenségek jellemzésére gyakran jól használható információt ad az átlag, de esetenként elmossa a szélsőségek közötti különbséget. Fontos tehát a valószínűségi változónak az átlagtól való eltérése, pontosabban az átlagtól való átlagos eltérése, azaz értékeinek szórása az átlag körül. Definíció: A valószínűségi változó szórásnégyzete (varianciája) a valószínűségi változó várható értéke, azaz ahol jelöli a valószínűségi változó várható értékét és bekövetkezési valószínűsége A szórásnégyzet szokásos jelölése még

Definíció: A szórásnégyzet négyzetgyökét a valószínűségi változó szórásának (standard eltérésének) nevezzük A szórás szokásos jelölése még A szórás tehát a valószínűségi változó várható értéke körüli ingadozásainak átlagos nagyságát jellemzi. Tétel: Tétel:

Feladatok: 1. Az alábbi táblázatban adott a valószínűségi változó eloszlása: Számítsuk ki várható értékét, szórásnégyzetét, szórását! Megoldás:

2. Dobjunk fel két kockát és a valószínűségi változó értéke legyen a két pontszám közül mindig a kisebb pontszámmal egyenlő. Adjuk meg eloszlását, számítsuk ki várható értékét, szórását! Megoldás:

Tételek: a. b. c. ahol ugyanazon az eseménytéren értelmezett valószínűségi változók. d. e.

Folytonos valószínűségi változó Gyakran találkozunk olyan problémával, ahol a valószínűségi változó egy intervallum bármely értékét felveheti (Duna vízállása….) Ezen problémák kezelésére vezetjük be a folytonos valószínűségi változókat. Definíció: Legyen egy valószínűségi változó. A eloszlásfüggvényének nevezzük, ha és tetszőleges esetén tulajdonságai 1. 3. 2. monoton nő 4. minden pontban balról folytonos

Definíció: Ha a valószínűségi változó eloszlásfüggvénye folytonos, akkor a változót és az eloszlását is folytonosnak nevezzük. Tétel: Ha a valószínűségi változó eloszlásfüggvénye, akkor

Feladat Az adott függvények közül melyik lehet eloszlásfüggvény? a. b. Megoldás:

Sűrűségfüggvény Definíció(1) Ha a valószínűségi változó eloszlásfüggvénye folytonos és véges számú pont kivételével deriválható, akkor az függvényt sűrűségfüggvényének nevezzük és f(x)-szel jelöljük. Definíció(2) Ha a valószínűségi változó eloszlásfüggvénye előállítható egy integrálható f(x) függvény integráljaként, akkor f(x) függvényt sűrűségfüggvényének nevezzük. Az eloszlásfüggvény tehát a sűrűségfüggvény integrálfüggvénye.

Tétel: A f(x) sűrűségfüggvény tulajdonságai: 1. 2. 3. Megjegyzés: 1. Ha egy f(x) integrálható függvény rendelkezik az 1.-2. tulajdonságokkal, akkor egy folytonos valószínűségi változó sűrűségfüggvényének tekinthető. 2. Annak valószínűsége, hogy a változó az [a;b] intervallumba esik – a harmadik tulajdonság alapján – az f(x) sűrűségfüggvény gráfja alatti [a;b] intervallumhoz tartozó tartomány területének mérőszámával egyenlő. A folytonos valószínűség eloszlásokat gyakran sűrűségfüggvényükkel adják meg.

Feladatok: 1. Az adott függvények közül melyik lehet sűrűségfüggvény? a. b. Megoldás:

Milyen c érték mellett lesz az függvény valamely folytonos valószínűségi változó sűrűségfüggvénye? A c ismeretében határozza meg értékét! Megoldás:

Várható érték, szórásnégyzet, szórás Definíció: Ha a folytonos eloszlású valószínűségi változónak a sűrűségfüggvénye, akkor várható értéke feltéve, hogy az improprius integrál abszolút konvergens. (Azaz a véges.) Definíció: Ha a folytonos eloszlású valószínűségi változónak a sűrűségfüggvénye, akkor szórásnégyzetét és szórását a képletekkel definiáljuk.

Átalakításokkal a következő képletek is használhatók: azaz Megjegyzés: A várható érték, szórásnégyzet és szórás korábban a diszkrét esetben említett tulajdonságai folytonos valószínűségi változók esetén is igazak maradnak.

Feladat: Legyen a folytonos valószínűségi változó sűrűségfüggvénye: a. Határozzuk meg eloszlásfüggvényét! b. Számítsuk ki c. Számítsuk ki várható értékét, szórásnégyzetét, szórását!

Megoldás: