előadások, konzultációk Gazdasági matematika előadások, konzultációk Kétváltozós függvények, Integrálszámítás, Lineáris algebra (mátrixok, lineáris tér, lineáris egyenletrendszerek, lineáris programozási feladatok)

Kétváltozós függvények

Alapfogalmak, jelölések Az f(x,y) kétváltozós valós függvény rendezett valós számpárokhoz rendel pontosan egy valós számot. Ekkor az értelmezési tartomány R×R (másként jelölve R2), vagy ennek egy részhalmaza, a képhalmaz pedig R. Pl.

Kétváltozós függvények ábrázolása Mivel kölcsönösen egyértelmű leképezés létesíthető az R×R halmaz és a sík pontjai között, ezért az értelmezési tartomány szemléltethető a síkkal, vagy annak részhalmazával. Az (x,y)z hozzárendelés pedig egy térbeli derékszögű koordináta-rendszerben egy térbeli ponttal. Ezek a pontok egy „felületet” alkotnak térben. A példa esetén az értelmezési tartomány az origó középpontú, 5 sugarú körlappal szemléltethető, a függvénypontok pedig egy origó középpontú, 5 sugarú félgömb felületét alkotják.

Parciális függvények és differenciálhatóságuk Parciális (egyváltozósra szűkített) függvények: Definíció: Az f: R2R függvény az (a,b) belső pontban parciálisan differenciálható az x változó szerint, ha a g1 függvény differenciálható az a pontban. Az f függvény (a,b) pontbeli x szerinti parciális differenciálhányadosának jelölése: fx’(a,b). Tehát fx’(a,b)=g1’(a). Hasonlóan definiálható az y szerinti parciális differenciálhányadosa. Ennek jelölése: fy’(x,y).

Parciális deriváltfüggvények Definíció: Ha az f függvény az A halmaz minden pontjában parciálisan differenciálható az x változó szerint, akkor a függvény x szerinti parciális deriváltfüggvénye az A halmaz minden pontjához hozzárendeli az f függvény x szerinti parciális differenciálhányadosát. Jelölése: fx’(x,y). Hasonlóan definiálható az y szerinti parciális deriváltfüggvény, vagyis fy’(x,y).

Magasabb rendű parciális deriváltak Definíció: Az f függvény másodrendű parciális deriváltfüggvényei, ha léteznek: Feladat: Határozza meg az alábbi függvény első és másodrendű parciális deriváltjait:

Kétváltozós függvények szélsőértéke Tétel: Ha az f(x,y) függvénynek helyi szélsőértéke van az (a,b) pontban, akkor szélsőértéke van a g1(x)=fx(x,b) függvénynek az a helyen, és a g2(y)=fy(a,y) függvénynek a b helyen. Ekkor Tétel: Ha , az (a,b) pontban léteznek a másodrendű parciális deriváltak és a kifejezés értéke (a,b)-ban: - pozitív, akkor f-nek (a,b)-ban helyi szélsőértéke van ( esetén minimum, esetén maximum) - negatív, akkor f-nek (a,b)-ban helyi nincs szélsőértéke - nulla, akkor még további vizsgálat szükséges

Feladat Határozza meg a következő függvények szélsőértékeit:

Integrálszámítás

Primitív függvény, határozatlan integrál Definíció: Az IR intervallumon az F függvény primitív függvénye f-nek, ha I minden belső x pontjában F’(x)=f(x). Tétel: Ha f-nek az I intervallumon van primitív függvénye, akkor végtelen sok primitív függvénye van és ezek csak additív konstansban térnek el egymástól. Definíció: Az f függvény I intervallumon vett határozatlan integrálja az I intervallumon vett primitív függvényeinek halmaza. Jelölése: Tehát:

Elemi függvények határozatlan integráljai

Integrálási szabályok Tétel: Ha f-nek és g-nek létezik a határozatlan integrálja az I intervallumon, akkor cf-nek és f+g-nek is, valamint: Példa: Keresse meg a következő határozatlan integrált: Parciális integrálás Tétel: Ha f és g differenciálható és f’, g’ folytonos az I intervallumon, akkor:

Integrálási szabályok Példák: Helyettesítéses integrálás Tétel: Példák:

Határozott integrál Legyen f az [a,b] intervallumon korlátos. [a,b]-t felosztjuk kisebb részintervallumokra (x). Minden részintervallumból választunk egy tetszőleges elemet (), majd elkészítjük a következő közelítő összeget: Egy felosztás jele legyen , az itteni leghosszabb részintervallum hosszának jele pedig legyen ||. Definíció: A felosztásoknak egy n sorozatát normálisnak nevezzük, ha

Határozott integrál Definíció: Az f függvény integrálható, vagyis létezik a határozott integrálja az [a,b] intervallumon, ha minden normális felosztássorozat esetén a megfelelő An közelítő összegek (An) sorozata a  pontok megválasztásától függetlenül konvergens. Tétel: Az (An) sorozatoknak minden normális felosztássorozat esetén ugyanaz a határértéke. Definíció: Az f függvény [a,b] intervallumon vett határozott integrálja a normális felosztássorozatok közös határértéke. Jelölése:

Határozott integrál tulajdonságai Tételek: Definíció: Ha f integrálható [a,b]-n, akkor a függvényt f integrálfüggvényének nevezzük. Tétel: Ha G f-nek integrálfüggvénye és f folytonos [a,b]-n, akkor G’(x)=f(x) minden x(a,b)-re.

Newton-Leibniz formula Területszámítás Feladat: Számítsa ki az f függvény grafikonja és az x tengely által bezárt területet: Feladat: Számítsa ki a g függvénygrafikon alatti területet az [1,3] intervallumon: Feladat: Számítsa ki az f és g függvények grafikonjai által közrezárt területet: f(x)=x2 és g(x)=2x+3

Térfogatszámítás Ha az f függvény [a,b] intervallum feletti grafikonját megforgatjuk az x tengely körül, akkor az igy származtatható forgástest térfogata: Feladatok: és

Lineáris algebra

Mátrixok, vektorok Definíciók: Mátrix, vektor (geometria), skalár, transzponált, nullvektor, egységvektor, kvadratikus mátrixok (főátló, egységmátrix) Műveletek: Összeadás (komm., asszoc.) Skalárral való szorzás (komm., asszoc, disztributív) Vektorok skaláris szorzása (nem komm.) Vektor hossza Mátrixok szorzása (nem komm., asszoc, disztributív), Falk-féle elrendezés, Sor- és oszlopösszeg próba Diadikus szorzat

Lineáris tér Definíció: Az L halmaz lineáris tér, ha L elemein értelmezett egy összeadás és egy valós számmal való szorzás művelet és L zárt ezekre nézve Minden a, b, c L és , 1, 2 R esetén a+b=b+a; a=a; (a+b)+c=a+(b+c); 1(2a)=(12)a; (a+b)=a+b; (1+2)a=1a+ 2a L elemei között van egy 0-val jelölhető elem, melyre minden aL esetén a+0=a (zéruselem) Minden aL esetén található olyan -a-val jelölt -aL, melyre a+(-a)=0. Minden aL esetén 1a=a.

Lineáris tér Bázistranszformáció Definíciók: Ln terek, lineáris kombináció, generátor rendszer, lineáris függetlenség, bázis, egységvektorokból álló bázis, dimenzió, adott bázisra vonatkozó koordináták, kompatibilitás, vektorrendszer rangja, mátrix rangja Bázistranszformáció Legyen adott a1, a2, a3 bázisa az L3 térnek. Legyen x=x1a1+x2a2+x3a3 és b=b1a1+b2a2+b3a3 tetszőleges, nem 0 elemei L-nek, ahol b20. Cseréljük ki a2-t b-re. Kérdés: x koordinátái az a1, b, a3 bázisban?

Feladatok lineáris térben Kompatibilitás vizsgálat Lineáris függetlenség vizsgálata Vektorrendszer rangja Mátrix rangja

Lineáris egyenletrendszerek Általános alak n ismeretlenre és m egyenletre: Vezessük be a következő jelöléseket: Ekkor az egyenletrendszer:

Inhomogén lineáris egyenletrendszer a) Az a1, a2 , …, an vektorok mindegyike bevihető a bázisba: Megoldás: x1=8,5; x2=8,75; x3=6,5; x4=-2,75 Nincs megoldás.

Inhomogén lineáris egyenletrendszer b) Az a1, a2 , …, an vektorok nem mindegyike vihető be a bázisba: Végtelen sok megoldás van Nincs megoldás.

Homogén lineáris egyenletrendszer a) Az a1, a2 , …, an vektorok mindegyike bevihető a bázisba: Csak a triviális megoldás van. Végtelen sok megoldás van.

Lineáris programozás Normál feladat Megoldás: x1=130; x2=20; Zmax=490000 Megoldás: x1=0; x2=25; x3=0; Zmax=125

Módosított normál feladat Végtelen sok megoldás van:(1) x1=0; x2=52,5; x3=12,5; x4=45 (2) x1=0; x2=52,5; x3=12,5; x4=45 Zmax=195 Megoldás: x1=11; x2=0; x3=9; x4=69 Zmax=227

Általános feladat Megoldás: x1=70/3; x2=10/3; x3=40/3; x4=0 Zmax=430/3