Sugárkövető szoftverek használata az optika oktatásában Pálfalvi László Tokodi Levente PTE, Fizikai Intézet MAFIOK - Pécs, 2014. aug. 25. – 27.

Ehhez különféle szoftveres megoldások állnak manapság rendelkezésünkre Modern optikai kutatások során hasznos az optikai rendszerek elrendezéseinek számítógépen való megtervezése, azon való szimulációk elvégzése. Ehhez különféle szoftveres megoldások állnak manapság rendelkezésünkre Ismertebb optikai tervezőrendszerek: OSLO (sugárseregek analizálására és követésére) TracePro (sugarak-, sugárseregek követésére, vizsgálására, szóródás analizálására, összetett optikai rendszerek vizsgálata) Code V (modellezés, optimalizálás, analizálás optikai rendszerekben) OptiWave szoftvercsomag (széleskörű optikai programok) MAFIOK - Pécs, 2014. aug. 25. – 27. 2

Ismertebb általános tervezőrendszerek: SolidEdge SolidWorks CATIA Optikai tervezőrendszerek mellett érdemes használni egy általános tervezőrendszert az elrendezések összeállításához Ismertebb általános tervezőrendszerek: SolidEdge SolidWorks CATIA MAFIOK - Pécs, 2014. aug. 25. – 27. 3

TracePro A program fontosabb funkciói: Egyszerűbb alakzatok, lencsék, csövek, stb. definiálása és beillesztése, akár importálása Beillesztett objektumok anyagtulajdonságának megadása (törésmutató, anyagfajta…) Sugarak, sugárforrások definiálása Sugárkövetés elvégzése, elemzése A program milliméter egységekben kéri és adja vissza az adatokat! Alapértelmezetten a modelltér törésmutatója n = 1, hőmérséklete pedig 25°C, mely paraméterek átállíthatóak. MAFIOK - Pécs, 2014. aug. 25. – 27. 4

TracePro A program korlátjai Nemlineáris optikai jelenségek szimulációja és analízise Gauss nyalábokkal való szimulációk és számolások Műveletek végzése a kinyert adatokkal, ábrázolás, kiértékelés programon belül Hullámoptikai szimulációk, impulzusterjedés közvetlen kezelése Diffrakció kezelése. Pl. optikai rács definiálása körülményesen, ún. RepTile funkciókkal lehetséges (rácsegyenletet nem kezeli) MAFIOK - Pécs, 2014. aug. 25. – 27. 5

Változó törésmutatójú közeg +  n(r) n(r+r) r z A Snellius-Descartes törvény szerint: A szomszédos vékony rétegek törésmutatói közötti kapcsolat: a és a közelítéseket megtéve, valamint a másodrendűen kicsi tagokat elhanyagolva kapjuk: MAFIOK - Pécs, 2014. aug. 25. – 27. 6

Változó törésmutatójú közeg továbbá: A paraxiális közelítést használva: A fentieket alapján, illetve a D mennyiségek helyett differenciális mennyiségeket használva MAFIOK - Pécs, 2014. aug. 25. – 27. 7

A gradiens törésmutatójú közeg Felhasználva a törésmutató parabolikus r – függését: Adódik, aminek megoldásaként a pályára adódik paraxiális közelítésben, ahol a peremfeltételeknek megfelelően MAFIOK - Pécs, 2014. aug. 25. – 27. 8

Szimuláció Készítsünk el egy szálat, melynek gradiens törésmutatója radiálisan szerint változik, legyen n0 = 1,6 A hossza legyen 20 mm, sugara 1 mm. A szál első felületének geometriai középpontjából indítsunk 5 sugarat kis szögben a tengelytől (5° legyen a széttartás) A gradiens törésmutatójú közeget a következőképp definiáljuk! Define menü Edit Property Data / Gradient Index Property opció MAFIOK - Pécs, 2014. aug. 25. – 27. 9

Szimuláció A sugárkövetés eredménye MAFIOK - Pécs, 2014. aug. 25. – 27. 10

Szimuláció Ha nagyítás alatt megfigyeljük jól látszik, hogy a szálban igen jó közelítéssel egy pontban metszik egymást a sugarak. MAFIOK - Pécs, 2014. aug. 25. – 27. 11

Szimuláció Láthatjuk azt is (az előző szál esetén), hogy nagyobb (5° helyett 30°) divergenciájú forrás esetén is még jó közelítéssel egy pontban metszik egymást a sugarak. MAFIOK - Pécs, 2014. aug. 25. – 27. 12

Szög függvényében a paraxiális fókusztól való relatív eltérés Kiértékelés Szög függvényében a paraxiális fókusztól való relatív eltérés MAFIOK - Pécs, 2014. aug. 25. – 27. 13

Párhuzamos sugarak becsatolása Kiértékelés Párhuzamos sugarak becsatolása MAFIOK - Pécs, 2014. aug. 25. – 27. 14

Kiértékelés Az optikai tengelytől való távolság függvényében a paraxiális fókusztól való eltérés MAFIOK - Pécs, 2014. aug. 25. – 27. 15

Animáció MAFIOK - Pécs, 2014. aug. 25. – 27. 16

A gradiens törésmutatójú közeg Az előző példa egy speciális esetet mutatott be, amikor is a törésmutató profil forgás paraboloid, és a peremfeltétel egy azimutális komponenstől mentes irányvektorú sugár volt. Általános esetben egy változó törésmutatójú közegben a úgynevezett sugáregyenlet írja le a terjedésért, ami paraxiális közelítésben alakot ölt. MAFIOK - Pécs, 2014. aug. 25. – 27. 17

A gradiens törésmutatójú közeg Keressük a fenti egyenletnek olyan megoldását, hogy a sugár pályája spirál legyen, melynek tengelye a szál szimmetriatengelye. Az (r, f, z) polárkoordináták nyelvén: A részletes levezetést most mellőzzük. A következő feltétel esetén adódik a kívánt megoldás: Ahol n1 a törésmutató értéke az a sugarú szál szimmetriatengelyén. A törésmutató parabolikus profil szerint változik, melynek értéke r = a esetén n2. MAFIOK - Pécs, 2014. aug. 25. – 27. 18

A gradiens törésmutatójú közeg A spirál L menetemelkedése a feltételből adódik. Csatoljuk a sugarat r = r0-ban a szálba! Közvetlenül a szálba belépés után a következő komponensű irányvektorral kell rendelkeznie ahhoz, hogy spirálpályán haladjon: MAFIOK - Pécs, 2014. aug. 25. – 27. 19

Szimuláció Egyetlen sugarat indítsunk úgy, hogy a kezdőpontja a henger bemenő körfelületén legyen Y irányba eltolva a henger sugarának feléig. A sugár normál vektor komponenseit a következőnek adjuk meg: Indítsuk el a sugárkövetést! MAFIOK - Pécs, 2014. aug. 25. – 27. 20

Szimuláció A megfelelő paraméterválasztás miatt a sugár spirál pályára kényszerül a henger belsejében. MAFIOK - Pécs, 2014. aug. 25. – 27. 21

Animáció Gradiens törésmutatójú szálban, speciális beesési szögben, a nyaláb spirálisan halad MAFIOK - Pécs, 2014. aug. 25. – 27. 22

Animáció Gradiens törésmutatójú szálban, speciális beesési szögben, a nyaláb spirálisan halad (ex = 0,15) TÁMOP-4.1.1.C-12/1/KONV-2012-0005 projekt MAFIOK - Pécs, 2014. aug. 25. – 27. 23

Animáció Gradiens törésmutatójú szálban, speciális beesési szögben, a nyaláb spirálisan halad (ex = 0,35) TÁMOP-4.1.1.C-12/1/KONV-2012-0005 projekt MAFIOK - Pécs, 2014. aug. 25. – 27. 24

Maxwell-féle halszem lencse és a Luneburg lencse Luneburg-féle lencse Ahol n0 konstans törésmutató, R a gömb sugara, r pedig a középponttól mért távolság. MAFIOK - Pécs, 2014. aug. 25. – 27. 25

Maxwell-féle halszem lencse Definiáljunk két alapértelmezett hullám-hosszú (546,1 nm) sugárforrást a Z = 10 mm pontba, egyiket fordítsuk el +15, másikat -15°-al az X tengely körül. Ha elvégezzük a sugárkövetést, már láthatjuk is, hogy a lencse tökéletesen a kiindulóponttal szemben lévő pontba „vezette” a két sugarat. Próbáljuk ki a szögek változtatásával is (Nem muszáj egyenlőnek lenniük) MAFIOK - Pécs, 2014. aug. 25. – 27. 26

Standard-Luneburg lencse Alkalmazzuk a törésmutatókat a gömbön! A gradiens törésmutató origója legyen ezúttal is a gömb geometriai középpontja (Z = 15) Végül definiáljunk két sugárforrást 546,1 nm-es hullámhosszal és Z = 10 mm kezdőponttal. X körül forgassuk el egyiket +35°-al, másikat -35°-al. Végezzünk sugárkövetést. Láthatjuk, hogy a széttartó nyalábokat lencse párhuzamossá tette. A források szögeit változtatva láthatjuk, hogy különböző szögeknél is párhuzamosak lesznek a nyalábok. MAFIOK - Pécs, 2014. aug. 25. – 27. 27

Közeg, melyben a fény pályája kör Szimuláljuk a fényterjedést törésmutatójú közegben! Elméleti megfontolással belátható, hogy a sugár pályája ilyen közegben KÖR! A levezetést most mellőzzük. A szimuláció során legyen n0 = 1.5 (546,1 nm), r = 10 ! Készítsünk egy planparalell lemezt! Szélessége X irányban legyen 5 mm, Y irányban 1 mm és Z irányban 20 mm. Középpontjaik X koordinátái legyen 2,5, Y pedig 0,2 Ebből helyezzünk egymás „fölé” összesen 3 azonos darabot! MAFIOK - Pécs, 2014. aug. 25. – 27. 28

Közeg, melyben a fény pályája kör A programban nem áll módunkban ilyen típusú törésmutató változást megadni, ezért fejtsük Taylor-sorba a függvényt z = 0 körül! A Taylor-koefficiensek rendre a következők:. MAFIOK - Pécs, 2014. aug. 25. – 27. 29

Közeg, melyben a fény pályája kör A bal oldali ábrán az egzakt törésmutató és közelítései, a jobb oldalin az egzakt értéktől való eltérések láthatók. Megállapíthatjuk, hogy a harmad rendű polinom már kellő pontosságú közelítést ad. MAFIOK - Pécs, 2014. aug. 25. – 27. 30

Közeg, melyben a fény pályája kör Az eredményt az alábbi képen láthatjuk: MAFIOK - Pécs, 2014. aug. 25. – 27. 31

Közeg, melyben a fény pályája kör Az fénysugár pályája és a simulókör MAFIOK - Pécs, 2014. aug. 25. – 27. 32

Köszönetnyilvánítás Ezúton köszönjük a TÁMOP-4.1.1.C-12/1/KONV-2012-0005 projekt támogatását. MAFIOK - Pécs, 2014. aug. 25. – 27. 33

2) Vastag lencse leképezése P: Adott egy d = 10 cm hosszú és 2R = 2 cm átmérőjű üvegrúd, melynek mindkét domború vége egy-egy félgömb. Az üvegrúd törésmutatója n = 1,5 Milyen messzire tegyünk pontszerű fényforrást a rúd tengelyétől, ha azt szeretnénk, hogy a túloldalon a) ugyanakkora, b) kétszer akkora távolságban találkozzanak a forrásból kilépő, tengellyel kis szöget bezáró sugarak? TÁMOP-4.1.1.C-12/1/KONV-2012-0005 projekt 34

Analitikus mo. Megoldás: A sugár-transzfer mátrix módszerrel könnyedén megoldható a probléma (nem kell hozzá leképezéseket végrehajtani, nem kell ismerni a vastag lencsék összefüggéseit stb…) Legyen a forrás a rúd bal oldali végétől balra x távolságra! A forrás képe pedig legyen a jobb oldali végtől távolságra, ahol a feladat kérdéseinek megfelelően , illetve . Balról jobbra haladva öt transzformáció történik, ami öt mátrixot jelent Szabad terjedés a forrástól az első görbült felületig (n = 1) Törés az első görbült felületen Szabad terjedés az n törésmutatójú közegben Törés a második görbült felületen Szabad terjedés a második görbült felülettől a képpontig (n = 1) TÁMOP-4.1.1.C-12/1/KONV-2012-0005 projekt 35

Analitikus mo. A sugár-transzfer mátrixok rendre: TÁMOP-4.1.1.C-12/1/KONV-2012-0005 projekt 36

Analitikus mo. Az eredő sugár-transzfer mátrix B eleme: A forrásból kis szögben induló fénysugarat reprezentáló vektor: TÁMOP-4.1.1.C-12/1/KONV-2012-0005 projekt 37

Analitikus mo. A numerikus megoldás x = 5 ill 2 cm, ha  = 1, ill. A bemeneti és kimeneti vektorok közti kapcsolat: Ez alapján adódik. A probléma feltétele ami B = 0 -t követel A numerikus megoldás x = 5 ill 2 cm, ha  = 1, ill. x = 4 ill 1.25 cm, ha  = 2

szimuláció Ez a probléma a 2012-évi Eötvös verseny kitűzött feladata volt. Természetesen a hivatalos, megoldó kulcs szerinti megoldás elemi ismeretekre épül, de mint láttuk a sugártranszfer-mátrix formalizmussal gyorsan adódnak a megoldások. Szemléltessük TraceProban a problémát! Az objektum megszerkesztése után definiáljunk egy síkban lévő, 1°-os szögtartományban széttartó sugársereget szolgáltató sugárforrást! ( Beam Setup – Beam Orientation / Diverge from point (Fans)-nél állítsunk be a Virtual Focal point-hoz megfelelő értéket, ami összhangban a sugárforrás méretével a számunkra kívánatos sugársereget eredményezi) TÁMOP-4.1.1.C-12/1/KONV-2012-0005 projekt 39

szimuláció 5 cm metszéspont Párhuzamos sugarak 2 cm A sugárforrás távolsága 5 cm Ebben az esetben a sugarak a henger mögött ~5cm-rel fogják metszeni a tengelyt 5 cm metszéspont Illetve ha a forrás távolsága 2 cm a henger mögött ~2cm-rel fogják metszeni a tengelyt 2 cm Párhuzamos sugarak TÁMOP-4.1.1.C-12/1/KONV-2012-0005 projekt 40

szimuláció b) A sugárforrás távolsága 1,25 cm Ebben az esetben a sugarak a henger mögött ~2,5 cm-rel fogják metszeni a tengelyt 1.25 cm 2.5 cm Illetve ha a sugárforrás távolsága 4 cm Ebben az esetben a sugarak a henger mögött ~8 cm-rel fogják metszeni a tengelyt 4 cm 8 cm TÁMOP-4.1.1.C-12/1/KONV-2012-0005 projekt 41

3) Kvázi-ekvivalens leképező rendszerek A paraxiális optika határain belül bizonyos optikai leképező rendszerek helyettesíthetők másikkal, amennyiben adott bemenő nyaláb esetén ugyan azt a kimenő nyalábot eredményezik. A következőben annak elemzését tesszük meg, hogy egy lencséből, és egy síktükörből álló rendszer helyettesíthető-e (ha igen hogyan) egyetlen homorú tükörrel. Az analízis során kapott összefüggéseket felhasználva egy konkrét elrendezés esetén sugárkövetéses demonstrációt teszünk meg. Hasonló helyettesítéses alapelvvel élünk később a rezonátorok sugároptikai tárgyalása során is, amikor egy a gömbtükörrel ekvivalens lencsékből felépülő periodikus struktúrával helyettesítjük a tükröket. Ennek részletes analízise későbbi fejezetben történik. TÁMOP-4.1.1.C-12/1/KONV-2012-0005 projekt 42

A helyettesítés P: Vizsgáljuk meg, hogy helyettesíthető-e egy vékony gyűjtőlencséből és egy vele párhuzamos síktükörből álló optikai rendszer egyetlen homorú tükörrel! Legyen a gyűjtőlencse fókusztávolsága f, és tőle l távolságban legyen a síktükör. Ha megtehető a helyettesítés, akkor határozzuk meg a tükör f* fókusztávolságát, illetve, hogy mekkora x távolságra kell elhelyezni a tükröt a lencse eredeti helyétől! ≡ f f f l 2l x f* TÁMOP-4.1.1.C-12/1/KONV-2012-0005 projekt 43

megoldás mátrixoptika segítségével A lencsés elrendezéshez tartozó optikai mátrix: TÁMOP-4.1.1.C-12/1/KONV-2012-0005 projekt 44

megoldás mátrixoptika segítségével Az ekvivalens, szférikus tükröt tartalmazó rendszer optikai mátrixa: A lencse-síktükör, illetve a gömbtükrös rendszer ekvivalens, ha Az feltételből következik: TÁMOP-4.1.1.C-12/1/KONV-2012-0005 projekt 45

megoldás mátrixoptika segítségével A feltételből felhasználva a korábbi eredményt következik: valamint adódik a tükör fókusztávolságára, illetve a lencse eredeti helyétől mért távolságára. TÁMOP-4.1.1.C-12/1/KONV-2012-0005 projekt 46

megoldás mátrixoptika segítségével Diszkusszió: A kapott összefüggések nevezői kizárják az f = l esetet, fizikailag ekkor a gömbtükör átmegy síktükörbe, hiszen az | f - l | → 0 határátmenetben a gömbtükör fókusztávolsága ±∞-hez tart. Ha f > l , akkor f* > 0-t, azaz homorú tükröt kapunk, melynek x-szel megadott helyére is pozitív szám adódik, azaz az előzetesen feltételezett irányba kell elhelyeznünk. Speciálisan, ha l = 0, akkor f* = f/2 és x = 0 adódik. megoldás menetének részletezése megtalálható: Kömal / Eötvös-verseny 2007-évi verseny harmadik feladatához tartozó mátrixoptikai megoldás. TÁMOP-4.1.1.C-12/1/KONV-2012-0005 projekt 47

Szimuláció Szimuláció a TraceProban P: a gyűjtőlencse fókusztávolságát vegyük f = 30 cm-nek. Az első és második felület görbületi sugara legyen 30 cm. Vastagságát vegyük 1 cm-nek és helyezzük el úgy, hogy a lencse közepe legyen az origóban. (Position Z = -0,5) Törésmutatójának adjunk meg pontosan n = 1,5 –t. Ezek után a lencse második felületének geometriai középpontjától 20 cm-re helyezzünk el egy sík testet, melynek lencse felőli lapjának anyagminőségét állítsuk tükör típusra. Sugárforrás beállításai az egyszerűség kedvéért a következők: Forrás sugara 5 cm, kereszt mintájú, Y tengelyről 2, X tengelyről 1 sugár indul. Toljuk el Z mentén a negatív tartományba, hogy ne a lencséből induljanak a sugarak (pl.: -4 –re) TÁMOP-4.1.1.C-12/1/KONV-2012-0005 projekt 48

Szimuláció A probléma végeredményének megfelelően illesszünk be egy szférikus tükröt. Vastagsága legyen 0,01 cm, és a hossza 1cm. X tengelyen toljuk el 20 cm-re, majd a megoldás szerint toljuk el Z tengely mentén 60 cm-re. A gömbtükör fókuszpontja 45 cm a számolások alapján és ebből a képlet alapján, a beillesztendő tükör sugara 90 cm. Utolsó lépésben adjuk meg a felületi tulajdonságot tükörnek és forgas-suk el a tükröt 180°-al Y tengely körül, így homorú tükröt kapunk. (a forrásra nézve) TÁMOP-4.1.1.C-12/1/KONV-2012-0005 projekt 49

Szimuláció Sugárforrásként az eredeti rendszernél használt forrással megegyezőt használjunk, természetesen X tengely mentén megfelelő helyre eltolva. A sugárkövetést elvégezve a következőt láthatjuk: A helyettesítő rendszerhez tartozó sugarak kék színnel vannak ellátva. TÁMOP-4.1.1.C-12/1/KONV-2012-0005 projekt 50

Szimuláció Ahogy látjuk is, a rendszert elhagyó sugarak együtt haladnak tovább, vagyis igaz, hogy alkalmas f* és x választással kvázi ekvivalens a két optikai rendszer. TÁMOP-4.1.1.C-12/1/KONV-2012-0005 projekt 51