Algebrai struktúrák: csoport, gyűrű, test

RSA Cryptosystem/ Titkosítási rendszer Rivest, Shamir, Adelman (1978) RSA a neten leggyakrabban használt titkosítási protokoll. A böngészők zöme ezt használja, hogy biztonságos kapcsolatot létesítsen egy adott oldallal. Részletek a szaktárgyakban lesznek, itt a matematikai alapokat tárgyaljuk

Z n = {0, 1, 2, …, n-1} Maradékosztályok n szerint 1.Asszociatív 2.0 az egység 3.Van (additív) inverz

Négyzet forgatása Képzeljük el, hogy a négyzetet bármilyen módon forgathatjuk és utána visszahelyezzük a keretbe.

Hányféleképpen lehet ezt megtenni? R 90 R 180 R 270 R0R0 F|F| F—F— FF

R 90 R 180 R 270 R0R0 F|F| F—F— FF 8-féle mozgatás van, ezek a négyzet szimmetria transzformációi. E mozgatások alkotják az alaphalmazt.

Y SzN = { R 0, R 90, R 180, R 270, F |, F —, F, F }

Művelet: Mozgások kompozíciója “  ” azt jelenti, hogy választunk a fentiek közül egy transzformációt, és utána egy másikat. Példák: R 90  R 180 Ha a,b  Y SzN, akkor a  b  Y SzN ? Igen! először 90˚ -kal negatív irányba forgatunk, majd 180˚ -kal negatív irányba, vagyis ekkor 270 o fokkal forgattunk, tehát R 270 az eredmény. F |  R 90 Függőleges tengelyre tükrözünk először, majd 90˚- kal elforgatunk” = F

R 90 R 180 R 270 R0R0 F|F| F—F— FF R0R0 R 90 R 180 R 270 F|F| F—F— F F R0R0 R 90 R 180 R 270 F|F| F—F— FF R 90 R 180 R 270 F|F| F—F— F F R 180 R 270 R0R0 R0R0 R 90 R0R0 R 180 FFF|F| F—F— F—F— F|F| FF FFF—F— F|F| FF—F— F FF|F| F F—F— FF|F| F|F| FF—F— R0R0 R0R0 R0R0 R0R0 R 90 R 270 R 180 R 270 R 90 R 270 R 90 R 180 R 90 R 270 R 180

Formálisan Ha H halmaz, H  H : H elemeiből alkotott rendezett párok halmaza H  H = { (a,b) | a  H és b  H } Hány eleme van H  H -nak? n2n2 A  művelet egy függvény:  : Y SzN  Y SzN → Y SzN Prefix jelölés helyett  (a,b) inkább a szokásos infix jelölést használjuk: “a  b”

“  ” például bináris művelet Y SzN -en Definíció: bináris művelet a H halmazon egy függvény:  : H  H → H Példa: f:    →  f(x,y) = xy + y Bináris (kétváltozós) műveletek

A négyzet szimmetria transzformációin, az Y SzN halmazon a  művelet asszociatív? A x művelet a H halmazon asszociatív, ha : minden a,b,c  H, (a x b)xc = ax(bxc) Műveleti tulajdonságok Példák: f:    →  f(x,y) = xy + y asszociatív? (ab + b)c + c = a(bc + c) + (bc + c)?NEM! IGEN!

A x művelet a H halmazon kommutatív, ha : minden a,b  H, a x b = b x a Kommutatív A négyzet szimmetria transzformációin értelmezett  művelet kommutatív? NEM ! R 90  F | ≠ F |  R 90

R 0 a helybenhagyás Igaz-e, hogy:  a  Y SzN, a  R 0 = R 0  a = a? R 0 az Y SzN halmazon definiált  művelet egységeleme Általában, a H halmazon definiált bármely x bináris művelet esetén az e  H egységeleme H-nak a x műveletre, ha minden a  H-ra igaz: e x a = a x e = a Egységelem IGEN!

Inverz elem Definíció: Az a  H elem inverze az b  H amelyre: a x b= b x a=e a  b = b  a = R 0 Példa az Y SzN : R 90 inverze: R 270 R 180 inverze: R 180 F|F| inverze: F |

Minden elemnek Y SzN - ben egyértelmű inverze van

R 90 R 180 R 270 R0R0 F|F| F—F— FF R0R0 R 90 R 180 R 270 F|F| F—F— F F R0R0 R 90 R 180 R 270 F|F| F—F— FF R 90 R 180 R 270 F|F| F—F— F F R 180 R 270 R0R0 R0R0 R 90 R0R0 R 180 FFF|F| F—F— F—F— F|F| FF FFF—F— F|F| FF—F— F FF|F| F F—F— FF|F| F|F| FF—F— R0R0 R0R0 R0R0 R0R0 R 90 R 270 R 180 R 270 R 90 R 270 R 90 R 180 R 90 R 270 R 180

3. Inverz: minden a  H-hoz van egy olyan b  H hogy : Csoport A G csoport egy rendezett pár (H,x), ahol H halmaz és x bináris művelet H-n a következő tulajdonságokkal: 1. x asszociatív 2. Egység: van egy olyan e  H hogy minden a  H -ra e x a = a x e = a, a x b = b x a = e Ha x kommutatív is, akkor G-t kommutatív csoportnak hívjuk

Példák ( ,+) csoport? Asszociatív-e a + az  halmazon? IGEN! Van-e egység?IGEN: 0 Van-e minden elemnek inverze? ( ,+) NEM Csoport

Példák (Z,+) csoport? Asszociatív a + a Z halmazon?IGEN! Van egységelem?IGEN: 0 Minden elemnek van inverze?IGEN! (Z,+) CSOPORT

Példák Az (Y SzN,  ) csoport? A  asszociatív az Y SzN halmazon? IGEN! Van egység? IGEN: R 0 Van-e minden egyes elemnek inverze?IGEN! (Y SzN,  ) CSOPORT

PÉLDÁK (Z n,+) csoport (maradékosztályok)? (Z n, +) CSOPORT

Tétel: A G csoportnak legfeljebb egy egységeleme van. Biz: TFH., e és f két egységelem a G=(H,x)- ban. Ekkor: f = e x f = e Az egység egyértelmű

Tétel: A G csoport minden egyes elemének van inverze. Ez az inverz egyértelmű. Biz.: Az inverzelem egyértelmű TFH. b és c mindketten az a inverzei. Ekkor : b = b x e = b x (a x c) = (b x a) x c = e x c

A G=(H,x) csoport véges, ha H véges halmaz Definíció: |G| = |H| a csoport rendje (a csoport elemeinek száma) Melyik a legkisebb elemszámú csoport?? Hány másodrendű csoport van? G = ({e},x) ahol e x e = e e f ef e f f e

Részcsoport HA a G = (H, x) csoport, H’  H részcsoportja, ha = G’=(H’, x) eleget tesz a csoport tulajdonságoknak: H’ zárt az x csoportműveletre tartalmazza az egységelemet minden H’-beli elemnek az inverze is H’- ben van

Példa: Y rot = { R 0, R 90, R 180, R 270 } részcsoportja Y SzN - nek Zárt? Egység? Inverzek? Y SzN = { R 0, R 90, R 180, R 270, F |, F —, F, F }

Példa Z 8,párosak = {0, 2, 4, 6} és + a művelet részcsoportja Z 8- nak Z 8 = {0,1,2,3,4,5,6,7} Zárt? Egység? Inverzek?

Egy halmazon több műveletet is lehet definiálni. Pl.: - vektorok: + és vektoriális szorzat -Z n ben + és * A gyűrű kétműveletes halmaz, egyiket +-nak, másikat * -nak nevezzük. GYŰRŰ

Definíció: Az R gyűrű olyan halmaz, amin két művelet van értelmezve. A + és *, amelyek a követlező tulajdonságokat teljesítik: 1. (R,+) kommutatív csoport 2. * asszociatív 3. A disztributív szabály igaz : (a + b) * c = (a * c) + (b * c) a * (b + c) = (a * b) + (a * c)

Példa: Az egészek gyűrűt alkotnak-e? ( , +) kommutatív csoport * asszociatív * disztributív…

Definíció: Az F halmaz test, ha két művelet van rajta Melyek teljesítik a következő tulajodnságokat: 1. (F,+) kommutatív csoport 2. (F-{0},*) kommutatív csoport 3. A disztributív szabály érvényes: (a + b) * c = (a * c) + (b * c) Test

Példák: Az egészek testet alkotnak-e? ( , +) kommutatív csoport (  \{0}, *) nem csoport! ugyanis nincsen mindenkinek (multiplikatív) inverze

Példa: Z p (ha p prím) test, hiszen: (Z p, +) (Z p * = Z p \{0}, *) kommutatív csoport. A disztributív szabály érvényes

Példák A valós számok (R) testet alkotnak (R, +) kommutatív csoport. (R\{0}, *) *) kommutatív csoport. A disztributív szabály érvényes

Miért fontos? A csoport, a gyűrű, a test absztrakt struktúrák. A példákban látott halmazok tulajdonságait néhány tulajdonságban ragadtuk meg. Ha ezek teljesülnek, akkor minden más, amit ezekre igazoltunk, is teljesül. A kryptográfiában és sok más területen is Nagyon fontos ezen struktúrák szerepe.