FÜGGŐLEGESEN REZGETETT INGA Kuczmann Imre

A mozgásegyenletben használt jelölések  – szögkitérés A – a rezgetés amplitúdója  – a rezgetés szögsebessége g – gravitációs gyorsulás L – az inga hossza  – súrlódási együttható

A mozgást leíró egyenlet Függőleges rezgetés nélkül az inga mozgásegyenlete súrlódásmentes esetben d2 / dt2 = – g  sin / L Ehhez egy szögsebességgel arányos –   d / dt tag járul, ha fellép a súrlódás. Ha a függőleges rezgetést az A cos ( t) összefüggés írja le, akkor fellép egy 2  A cos ( t) gyorsulás, amit a gravitációs gyorsulás mellett vehetünk figyelembe. Így a függőlegesen rezgetett inga mozgásegyenlete d2 / dt2 = [ 2  A cos ( t) – g]  sin  / L –   d / dt

Alkalmazott paraméterek L = 2 m az inga hossza g = 9,81 m/s2 a gravitációs gyorsulás 2 rad az inga kezdő szögkitérése 0 s-1 az inga kezdő szögsebessége  = 2 PI s-1 a rezgetés szögsebessége ( T =1s) A a rezgetés amplitúdója (m, változó)  a súrlódási együttható (s-1 ,változó)

A szögkitérés időtől való függése (függőlegesen rezgetett inga) A=24m L=2m alfa=1s-1

A szögsebesség időtől való függése (függőlegesen rezgetett inga) A=24m L=2m alfa=1s-1

Fázistérben való mozgás (függőlegesen rezgetett inga) A=24m L=2m alfa=1s-1

Fázistérben való mozgás – nagyítás (függőlegesen rezgetett inga) A=24m L=2m alfa=1s-1

Stroboszkopikus ábrázolás (függőlegesen rezgetett inga) A=24m L=2m alfa=1s-1

A szögkitérés időtől való függése (függőlegesen rezgetett inga) A=8 m L=12 m alfa=1.4s-1

A szögsebesség időtől való függése (függőlegesen rezgetett inga) A=8 m L=12 m alfa=1.4s-1

Fázistérben való mozgás (függőlegesen rezgetett inga) A=8 m L=12 m alfa=1.4s-1

Stroboszkopikus ábrázolás (függőlegesen rezgetett inga) A=8 m L=12m alfa=1.4s-1

A szögkitérés időtől való függése (függőlegesen rezgetett inga) A=1.185 m L = 2 m alfa= 1.795s-1

A szögsebesség időtől való függése (függőlegesen rezgetett inga) A=1.185 m L = 2 m alfa= 1.795s-1

Fázistérben való mozgás (függőlegesen rezgetett inga) A=1.185 m L = 2 m alfa= 1.795s-1

Stroboszkopikus ábrázolás (függőlegesen rezgetett inga) A=1.185 m L = 2 m alfa= 1.795s-1

Vízszintesen rezgetett ingával (Szakmány Csaba eredményei) való összehasonlítás A vízszintesen rezgetett inga mozgásegyenlete a következő: d2 / dt2 = 2  A cos 2( t) / L – g  sin  / L –   d / dt A függőlegesen rezgetett inga mozgásegyenlete az alábbi egyenlet volt: d2 / dt2 = [ 2  A cos ( t) – g]  sin  / L –   d / dt A két mozgás egymástól csak abban különbözik, hogy vízszintesen rezegett inga esetén a rezgetés által kiváltott gyorsulás nem egyirányú a „g“ gyorsulással, hanem merőleges rá. Így a mozgásegyenletben az 2  A cos ( t) gyorsulást nem sin  szorozza, hanem cos .

A szögkitérés és a szögsebesség időtől való függése (vízszintesen rezgetett inga) A=1.185 m L = 2 m alfa= 1.795s-1

Fázistérben való mozgás (vízszintesen rezgetett inga) A=1.185 m L = 2 m alfa= 1.795s-1

A vízszintesen rezgetett inga attraktora A=1.185 m L = 2 m alfa= 1.795s-1

A kétféle mozgás összahasonlítása attraktorok által Fekete – vízszintesen rezgetett, piros – függőlegesen rezgetett inga A=24m L=2m alfa=1s-1

A kétféle mozgás összahasonlítása attraktorok által Fekete – vízszintesen rezgetett, kék – függőlegesen rezgetett inga A=8 m L=12m alfa=1.4s-1

Összefoglalás Függőlegesen rezgetett ingánál A=24m, =1s-1, L=2m esetén kaotikus mozgás lép fel, de azonos kaotikus attraktor tapasztalható ugyanezen paraméterek esetén a vízszintesen rezgetett inga esetén is. Ezt a két attraktor egymásravetített képe mutatja. Hasonló egyezés lép fel A=8m, =1.4s-1, L=12m esetén is a kétféle inga közt. A=1.185m, =1.795s-1, L=2m esetén csak a függőlegesen rezgetett inga mutat kaotikus mozgást, a vízszintesen rezgetett inga mozgása rövid időn belül periodikussá válik. Ekkor az attraktor egy pontra korlátozódik – lásd a hárommal korábbi ábrát.