Valószínűségszámítás

A valószínűségszámítás feladata: Matematikai módszerek kidolgozása a bizonytalanság mérésére, amelyekkel bizonyos események bekövetkezésének valószínűsége kiszámítható. Kísérlet Tömegjelenség megfigyelése, melynek lefolyása a véletlentől függ. - Determinisztikus modell A megfigyelés szempontjából kiválasztott feltételek egyértelműen meghatározzák az eredményt - Sztochasztikus modell

Esemény, eseménytér Definíció: Egy kísérlet egyes lehetséges kimeneteleit elemi eseménynek nevezzük. Definíció: Az elemi események összessége eseményteret alkot. Definíció: Az eseménytér bármely részhalmazát eseménynek nevezzük. Definíció: Biztos esemény az az esemény, amely a kísérlet során minden esetben bekövetkezik.

Definíció: Lehetetlen esemény az az esemény, amely a kísérlet során soha nem következhet be. Definíció: Az A esemény komplementere az az esemény, amely akkor és csak akkor következik be, ha A nem következik be. Definíció: Két eseményt akkor mondunk egyenlőnek, ha bármelyik bekövetkezése maga után vonja a másik bekövetkezését. (A=B) Definíció: szimbólum jelöli, hogy A bekövetkezése maga után vonja B bekövetkezését.

Műveletek eseményekkel: a. Összegesemény: vagy b. Szorzat esemény: vagy c. Különbség: vagy Definíció: Az A és B események egymást kizáróak, ha AB= Definíció: Az események teljes eseményrendszert alkotnak, ha és

Műveleti tulajdonságok: b. c. d. f. e.

Feladat: Egy üzemben a raktárból piros szalagon és zöld szalagon is beszállítható az alkatrész. Azt az eseményt, hogy egy adott műszakban van beszállítás a piros szalagon A –val jelöljük, hogy a zöld szalagon B-vel. Fogalmazza meg az alábbi eseményeket: a. b. c. d. e. f. g. h. i.

A valószínűség és axiómái Definíció: Az A esemény gyakorisága k n-szer elvégzett kísérlet során, ha az esemény k-szor következik be. Definíció: A hányadost az A esemény relatív gyakoriságának nevezzük. Nyilvánvaló: Ismételt kísérletekkel, n növelésével látható, hogy a relatív gyakoriság egy bizonyos szám körül ingadozik. Definíció: Azt a számot, amely körül A relatív gyakorisága ingadozik, az A esemény valószínűségének nevezzük és P(A)-val jelöljük.

A valószínűségszámítás axiómái Az eseménytér minden eseményéhez egy valós számot rendelünk, azaz -án értelmezünk egy P függvényt. A P-t valószínűségi függvénynek, P(A)-t pedig az A esemény valószínűségének nevezzük, ha teljesülnek az alábbi axiómák: I. Minden eseményre II. azaz a biztos esemény valószínűsége 1 III. Ha A és B egymást kizáró események, akkor IV. Ha az egymást páronként kizáró események sorozata, akkor Ha véges, akkor IV. felesleges.

Tétel: P =0 Tétel: Ha az események páronként kizárják egymást, akkor Tétel: Tétel: Ha ,akkor Tétel: Ha A és B két tetszőleges esemény, akkor Tétel: Ha A és B két tetszőleges esemény, akkor

Valószínűségi mezők Legyen eseménytér. Tegyük fel, hogy ismerjük valamennyi elemi esemény valószínűségét. Definíció: Az eseményeket a hozzájuk tartozó valószínűségekkel együtt valószínűségi mezőnek nevezzük. Megjegyzés: Az A összetett esemény valószínűsége pl. esetén

Klasszikus valószínűségi mező Definíció: Ha egy véges sok elemi eseményből álló eseménytér minden elemi eseményéhez ugyanakkora valószínűség tartozik, klasszikus valószínűségi mezőről beszélünk. Ekkor egy A összetett esemény valószínűsége:

Feladat: 1. Kockadobás esetén határozza meg az eseményteret és a valószínűségi mezőt 2. Három pénzérme ismételt feldobásakor figyeljük meg a fejdobások számát. Határozza meg az eseményteret, a valószínűségi mezőt! Megoldás:

Kombinatorika - permutáció - variáció - ismétléses variáció - kombináció Ismétlés nélküli mintavétel Ismétléses mintavétel

Feltételes valószínűség Azt vizsgáljuk, hogy mi az A esemény bekövetkezésének valószínűsége, ha csak azokat a kimeneteleket vesszük figyelembe, amelyek a B eseményhez is hozzátartoznak. Definíció: Legyen egy eseménytér és , ahol . Az A esemény B feltételre vonatkozó -vel jelölt feltételes valószínűsége: Megjegyzés: A szám azt mutatja meg, hogy A esemény hányadrészben következik be a B bekövetkezésének esetei közül.

Feladatok: 1. Tegyük fel, hogy egy iskola 230 tanulójáról az alábbi kimutatás készült egy járványos betegség időszakában: A nyilvántartó kartonok rendezetlenül vannak letéve. Mi annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiemelt karton a. fiúé? b. betegségen átesett tanulóé? c. betegségen átesett fiúé? Megoldás:

Ha előzetesen a fiúk és lányok kartonját rendezetlenül külön-külön tették, akkor mi a valószínűsége annak, hogy d. a fiúk kartonjából egyet kiválasztva az betegségen átesett fiú kartonja? e. lányok kartonja közül egyet kiválasztva az olyan lányé, aki nem volt beteg? Megoldás:

2. Egy üzem A-val és B-vel jelölt két célgépén ugyanazt az alkatrészt gyártja. Az A gépen naponta 500 darabot, melyből 20 darab selejt, a B gépen naponta 650 darabot, melyből 30 a selejt. Ha az egyik nap gyártott alkatrészek közül kiveszünk egyet és az selejtes, akkor mi annak a valószínűsége, hogy ez a kivett selejtes alkatrész az A gépen készült? Megoldás

Szorzási tétel: A feltételes valószínűség következménye: Általános szorzási tétel: Ha események, akkor

Feladat Egy dobozban 16 tranzisztor közül 4 hibás. Mi annak a valószínűsége, hogy visszatevés nélkül három egymás után kivett tranzisztor a. hibátlan? b. az első hibátlan, a második hibás, a harmadik ismét hibátlan? Megoldás:

A teljes valószínűség tétele Tegyük fel, hogy a események az eseménytér egy teljes eseményrendszerét alkotják pozitív valószínűségekkel és az eseménytér egy tetszőleges eseménye. Ekkor azaz

Feladat Az évfolyam matematika szakos hallgatóinak 90%-a, a fizika szakos hallgatóknak a 70%-a sikeresen vizsgázott. A fizika szakosok az évfolyam 18%-át teszik ki. (Az évfolyam csak fizika szakos és matematika szakos hallgatókból áll.) Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy véletlenül kiválasztott hallgató a sikeresen vizsgázott hallgatók közül való? Megoldás

Bayes tétele A teljes eseményrendszerrel kapcsolatban gyakran az a kérdés, hogy az A esemény bekövetkezésében milyen szerepük van a feltételeknek, azaz a bekövetkezésének valószínűségét kérdezzük, ha tudjuk, hogy A bekövetkezett: A fenti formulát nevezzük Bayes-tételnek, ahol természetesen a események i=1,2,…n az eseménytér egy teljes eseményrendszerét alkotják pozitív valószínűségekkel és A az egy tetszőleges pozitív valószínűségű eseménye.

Feladatok 1. Egy műhelyben gyártott összes alkatrész 50%-át a gép 3%-os selejttel, 30%-át a gép 4%-os selejttel, 20%-át pedig a gép 5%-os selejttel gyártja. a. Mi annak a valószínűsége, hogy egy véletlenül kiszemelt alkatrész selejtes? b. Ha a véletlenül kiválasztott alkatrész selejtes, mi annak a valószínűsége, hogy az a gép terméke? Megoldás

2. Egy kórházban 50 nőt és 10 férfit ápolnak 2. Egy kórházban 50 nőt és 10 férfit ápolnak. A férfiak 8%-a, a nők 0,45%-a szívbeteg. A betegségeket leíró kartonok közül véletlenszerűen egyet kiválasztva azt látjuk, hogy az szívbetegé. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a karton nő betegé? Megoldás:

Események függetlensége Két eseményt akkor mondunk függetlennek egymástól, ha az egyik bekövetkezése nincs hatással a másik bekövetkezésére. Definíció: Legyen A és B két tetszőleges véletlen esemény. Az A és B egymástól független események, ha Általában n eseményt függetlennek mondunk, ha akárhányat kiválasztva közülük, azok együttes bekövetkezésének valószínűsége egyenlő valószínűségeik szorzatával.

Feladat: Két szabályos pénzérme feldobása az eseményteret alkotja. Az események egyenlő valószínűségűek. Vizsgáljuk meg az A , B , és C események függetlenségét, ha Megoldás:

Megjegyzések: Ha az A és B független események, akkor a. és események is függetlenek. b. az A és valamint az és B események is függetlenek

Feladatok: 1. Egy irodában két számítógép egymástól függetlenül működik. Az egyik számítógép műszakonkénti meghibásodásának valószínűsége 0,3, a másik számítógépé pedig 0,2. Mi a valószínűsége annak, hogy legalább egy műszak időtartama alatt egyik számítógép sem hibásodik meg? Megoldás:

2. Egy üzem raktárában gumicsizmák és bakancsok vannak 2. Egy üzem raktárában gumicsizmák és bakancsok vannak. Annak valószínűsége, hogy egy munkás tevékenységéhez csizmát illetve bakancsot igényel 0,8 illetve 0,5. Ha mindegyik munkás csak egy lábbelit visz el, mennyi a valószínűsége annak az A eseménynek, hogy 6 munkás egymás után csak csizmát vagy 6 munkás egymás után csak bakancsot visz el? Megoldás:

Megjegyzés Ha két esemény független, azaz és mindkét esemény pozitív valószínűségű, akkor A és B nem lehet egymást kizáró esemény.