Az inverzió Adott egy O középpontú, r sugarú kör, ez az inverzió alapköre Az O pont az inverzió pólusa Az r2 érték az inverzió hatványa Az O ponthoz nem lehet inverz pontot rendelni A P (O-tól különböző) ponthoz hozzárendeljük az OP félegyenesnek azt a P’ pontját, amelyre OP · OP’ = r2

Az inverzió Ha P inverze P’, akkor P’ inverze P. Az alapkör pontjai önmaguk inverzei. Ha egy pont az alapkörön belül van, akkor az inverze kívül lesz; ha kívül, akkor az inverze belül lesz. A póluson nem átmenő egyenes inverze póluson átmenő kör. A póluson átmenő egyenes inverze ugyanaz az egyenes. A póluson nem átmenő kör inverze póluson nem átmenő kör. A póluson átmenő kör inverze póluson nem átmenő egyenes.

Pont inverzének szerkesztése csak körzővel Adott egy kör (az inverzió alapköre) O középponttal és r sugárral Adott P (O-tól különböző) pont, aminek meg kell szerkeszeni az inverz pontját

Pont inverzének szerkesztése csak körzővel Rajzoljuk meg a P középpontú, OP sugarú kört. A 2 körvonal metszéspontjai: M1, M2 Ha OP ≤ r/2, akkor viszont nem pontosan 2 metszéspont adódik, tehát ez esetben meg kell szerkeszteni a 2 · OP hosszú, OP-vel párhuzamos, O kezdetű szakaszt (aminek végpontját nevezzük Q- nak, tehát 2 · OP = OQ lesz)

Pont inverzének szerkesztése csak körzővel Először nézzük azt az esetet, hogy két metszéspont van. Ezekből r sugarú köröket rajzolva, a metszéspontjuk megadja a P pont inverzét.

Pont inverzének szerkesztése csak körzővel Kétszeres hosszúságú szakasz szerkesztése: Ha r/4 < OP ≤ r/2, akkor meg kell szerkeszteni a már korrában leírt OQ szakaszt. Ehhez két körvonalat kell megrajzolni: O középpontú OP sugarút és P középpontú OP sugarút. A 2 körvonal metszéspontjai: N1, N2

Pont inverzének szerkesztése csak körzővel N2 középpontú N1N2 sugarú kör és a P középpontú előzőleg megrajzolt körvonal (N1-től különböző) metszéspontja a keresett Q pont. Mivel r/4 < OP ≤ r/2 és OQ = 2 · OP, ezért r/2 < OQ, és így megszerkeszthető Q inverze. De nekünk P inverze kell!

Pont inverzének szerkesztése csak körzővel Az inverzió definícióját felhasználva: r2 = OP · OP’ = OQ · OQ’ OP · OP’ = 2 · OP · OQ’ OP’ = 2 · OQ’ Ez azt jelenti, hogy a Q inverz pontja (Q’) és az O által alkotott szakaszt kell megkétszerezni (O marad a kezdőpont) úgy, mint az OQ szerkesztésénél, és az új szakasz végpontja lesz a P pont inverze. Tehát most már meg tudjuk r/4 < OP esetén P inverzét szerkeszteni. Kisebb OP távolság esetén ezen szerkesztési lépések ismétlésével megszerkeszthető P inverze, ha r/8 < OP, r/16 < OP, r/32 < OP, és így tovább (mindig felezve a távolságot).

Kör inverzének megszerkesztése Egy kör inverzének megszerkesztéséhez elegendő 3 különböző pontjának inverzét megszerkeszteni, amik meghatározzák majd a kör inverzét, ami vagy kör vagy egyenes. Ha a kör metszi az alapkört, akkor a metszéspontokat is felhasználva abban az esetben kevesebbet kell szerkeszteni, mivel az ha egy pont az alapkörön van, akkor inverze önmaga. Ellenkező esetben két lehetőség van: a pont az alapkörön belül, vagy azon kívül van. Szerkeszthetünk a néhány diával ezelőtt bemutatott körzős módszerrel is. De itt egy rövidebb, vonalzót is igénylő módszert közlök.

Kör inverzének megszerkesztése – ha a pont az alapkörön belül van Adott az alapkör O középponttal és a P pont Húzzunk egyenes O-n és P-n keresztül Erre az egyenesre állítsunk merőlegest P-ben Ez a körvonalat két pontban: A-ban és B-ben metszi Húzzuk meg az OA, OB szakaszt Állítsunk ezekre merőlegest Ezek metszéspontja a P inverze

Kör inverzének megszerkesztése – ha a pont az alapkörön kívül van Adott az alapkör O középponttal és a P pont Rajzoljuk meg az OP szakaszt Szerkesszük meg OP felezőpontját Rajzoljunk M középpontú, OM sugarú kört Ez az alapkört két pontban: A-ban és B-ben metszi Rajzoljuk meg az AB szakaszt. Az AB és az OP metszéspontja a P pont inverze

Kör inverzének megszerkesztése - példa Zöld kör: alapkör Lila kör: az eredeti kör Piros: a kör inverze Az ábrán látható 1 alapkörön belüli és egy azon kívüli pont inverzének megszer- kesztése

Egy egyszerű feladat Adott egy kör és középpontja, illetve egy egyenes, ami érinti ezt a kört. Feladat: szerkesszünk olyan kört, aminek az átmérője a megadot kör középpontja és az érintési pont által meghatározott szakasz.

Euklidészi szerkesztés (csak körzővel) Inverzió Euklidészi szerkesztés (csak körzővel)

I. 324. Fényes Balázs 10. o. t. Budapest, Szerb A. Gimn.