Módosított normál feladat

Oldjuk meg a következő feladatot: 2x1 + x2 + x3  48 x1 + x2 + x3  45 x1 + 2x3 = 30 x1 + 2x2 = 36 Induló tábla: I. x1 x2 x3 b u1 u2 u3* u4* -z z* 2 1 48 ---------------------------------------- z = 3x1 + x2 + 2x3  max 1 45 1 2 30 - A 3. és 4. sorban egyenlőségjel van, az egységes tárgyalás miatt bevezetett ui-k értéke itt csak 0 lehet. 1 2 36 - Ezeket az ui-ket *-gal jelöljük. Esetünkben: u3* és u4*. 3 1 2 2 66 - z*-gal jelöljük a másodlagos célfüggvényt, amelyet a 3. és 4. feltételből összeadással nyertünk!

Generáló elem választás 1. fázis z* sorában levő pozitív elem felett választunk generáló elemet. Induló tábla: A generáló elem csak pozitív szám lehet. I. x1 x2 x3 b u1 2 1 48 u2 45 u3* 30 u4* 36 -z 3 z* 66 Oszlopban a minimális hányadosnál kötelező választani! (Hányados: az oszlop pozitív elemeivel elosztjuk a b oszlop megfelelő elemeit.) 48/1 45/1 Mivel z* sorában most minden elem pozitív bármelyik oszlopból választhatunk generáló elemet. Ha pl. a 2. oszlopból választunk a fenti követelményeket az u4* sorában levő 2 elégíti ki. 36/2 Ilyen esetben lehetőség szerint *-os sorban választunk, hogy a szükséges feltételek minél hamarabb teljesüljenek.

z Báziscsere I. x1 x2 x3 b u1 2 1 48 u2 45 u3* 30 u4* 36 -z 3 z* 66 30 u4* 36 -z 3 z* 66 1. A generáló elemnek vesszük a reciprokát. 2. A generáló elem sorának az elemeit elosztjuk a generáló elemmel. Esetünkben a 2-vel. z 3. A generáló elem oszlopát a generáló elem (-1) szeresével osztjuk el. 4. Az új tábla többi elemét úgy kapom meg, hogy az adott elem oszlopának és a generáló elem sorának a kereszteződésében található elemet elosztom a generáló elemmel és ezt szorzom a generáló elem oszlopának és az adott elem sorának a kereszteződésében található elemmel, és az így kapott eredményt kivonom az eredeti számból.

Z 1. bázistranszformáció u4* ↔ x2 I. x1 x2 x3 b u1 2 1 48 u2 45 u3* 30 Ha a generáló elem sorában vagy oszlopában 0 található, akkor az említett 0-hoz tartozó oszlop vagy sor nem változik, mert az eredeti számból kivonandó érték 0 (pl.: u3* sora és x3 oszlopa). I. x1 x2 x3 b u1 2 1 48 u2 45 u3* 30 u4* 36 -z 3 z* 66 II. x1 u4* x3 b u1 u2 u3* x2 -z z* 3/2 -1/2 -1 30 1 2 1/2 27 Z A többi elem bázistranszformációja lépésről lépésre: 1 2 30 x1 ↔ u1  2 – 1/2 × 1 = 3/2 1/2 18 x1 ↔ u2  1 – 1/2 × 1 = 1/2 x1 ↔ -K  3 – 1/2 × 1 = 5/2 5/2 -18 x1 ↔ K*  2 – 1/2 × 2 = 1 u 1↔ b  48 – 36/2 × 1 = 30 1 30 u2 ↔ b  45 – 36/2 × 1 = 27 -K ↔ b  0 – 36/2 × 1 = -18 K* ↔ b  66 – 36/2 × 2 = 30

Z 2. bázistranszformáció b III. x1 u4* u3* II. x1 u4* x3 b u1 u2 u3* -1/2 -1 1/2 -1 15 3/2 -1/2 -1 1 2 30 1/2 12 Z 27 1 2 30 1/2 15 1/2 18 1/2 18 A bázistranszformációt azzal a módszerrel hajtjuk végre mint az előző esetben: 3/2 -48 5/2 -18 1 30 Mivel mindhárom szükséges feltétel teljesül - z* sorában nem található pozitív elem, - minden csillagos sor felment - z* = 0 –vá vált Így a feladat megoldásának első fázisa véget ért. x1 ↔ u1  3/2 – 1/2 × 1 = 1 u1 ↔ b  30 – 30/2 × 1 = 15 x1 ↔ u2  1/2 – 1/2 × 1 = 0 u2 ↔ b  27 – 30/2 × 1 = 12 x1 ↔ -z  5/2 – 1/2 × 2 = 3/2 -z ↔ b  -18 – 30/2 × 2 = -48 x1 ↔ z*  1 – 1/2 × 2 = 0 z* ↔ b  30 – 30/2 × 2 = 0

Feladat „egyszerűsítése” Mivel most a duál feladat megoldására nincs szükségünk a *-os oszlopok elhagyhatók. A *-os változók értékének 0-t kell adniuk, mert egyenlőséghez tartoznak. A megoldás második fázisában már csak az eredeti célfüggvényre kell figyelni, ezért z* sora is elhagyható. b III. x1 u4* u3* III. x1 b u1 1 15 u2 12 x3 1/2 x2 18 -z 3/2 -48 u1 u2 x3 x2 -z z* 1 -1/2 -1 -1/2 -1 15 12  1/2 15 1/2 18 3/2 -48

3. bázistranszformáció z  III. x1 b u1 1 15 u2 12 x3 1/2 x2 18 -z 3/2 Most -z sorából választott szám fölött keresünk generáló elemet. Esetünkben a szűk keresztmetszet alapján ez a jelölt 1 lesz. III. x1 b u1 1 15 u2 12 x3 1/2 x2 18 -z 3/2 -48 IV. u1 b z x1 ↔ u1 1 15 x1 u2 x3 x2 -z -1/2 -3/2 12  15/2 x3 ↔ b  15 – 15/1 × 1/2 = 15/2 21/2 x2 ↔ b  18 – 15/1 × 1/2 = 21/2 -z ↔ b  -48 – 15/1 × 3/2 = -141/2 -141/2

Tehát ez a tábla tartalmazza a végeredményt: IV. u1 b Tehát ez a tábla tartalmazza a végeredményt: 1 15 x1 u2 x3 x2 -z -1/2 -3/2 12 xT = [ 15 , 21/2 , 15/2 ]T 15/2 21/2 eltérés  uT = [ 0 , 12 ]T -141/2 zmax = 141/2 -z sorában negatív szám van ezért a kapott eredmény már nem javítható.

Vissza a tartalomjegyzékhez Ellenőrzés a 2x1 + x2 + x3  48 x1 + x2 + x3  45 x1 + 2x3 = 30 x1 + 2x2 = 36 2 × 15 + 21/2 + 15/2 = 48 a a 15 + 21/2 + 15/2 = 33 a ---------------------------------------- Itt található az eltérés (u2=12). a z = 3x1 + x2 + 2x3  max 15 + 2 × 15/2 = 30 xT = [ 15 , 21/2 , 15/2 ]T 15 + 2 × 21/2 = 36 eltérés  uT = [ 0 , 12 ]T z = 3 × 15 + 21/2 + 2 × 15/2 = 141/2 zmax = 141/2 Vissza a tartalomjegyzékhez