2. hét: Síkbeli erőrendszerek eredője Készítette: Pomezanski Vanda Mechanika I. - Statika 2. hét: Síkbeli erőrendszerek eredője Készítette: Pomezanski Vanda

Eredő erő Definíció: Két erőrendszert (az (FA1, FA2, … FAm) és az (FB1, FB2, … FBn) erőrendszert) egyenértékűnek nevezzük, ha ugyanarra a merev testre hatva ugyanazt a mechanikai hatást fejtik ki (a test mozgását ugyanúgy változtatják). Definíció: Azt az egyetlen erőt (R), amellyel valamely erőrendszer egyenértékű, az erőrendszer eredőjének nevezzük.

Erővektorok összeadása közös metszéspontú erők esetében Geometriai ábra M=1:….. Vektor ábra 1 cm (=) … kN F1x F1y F1 Rx Ry F1x F1y F2x F2y x y F1 F2 R Rx Ry R Vetületi egyenletek: F2x F2y F2 Eredő erő

Erő és az ellentettje Geometriai ábra M=1:….. Vektor ábra 1 cm (=) … kN F F zéruserő F F

Zéruserő több erővel Ex Ey Geometriai ábra M=1:….. Vektor ábra 1 cm (=) … kN x y F1 F2 F1x F1y F2x F2y E F1x F1y F1 Ex Ey E F2x F2y F2

Szétszórt, síkbeli erőrendszerek Ha a síkbeli erőrendszer nem közös metszéspontú: az erők síkjába kerüljön az x, y tengely, az erők közös síkjára merőleges z tengely pedig felénk mutasson, esetleg néhány kiválasztott erő szempontjából legyen speciális helyzetű. F2 y x F1 F3 F4

Erők helyhez kötöttsége Definíció: A mechanikában az erők kötött vektorok, a hatásvonalukról nem mozdíthatók el, Ugyanekkor viszont a hatásvonalukon bárhová eltolhatóak. F -F F

Erők eltolása hatásvonalukon y x F2 F3 F1 F4

Az erő megadása egy hely- és egy erővektorral Egy általános helyzetű erő megadásának módja: meg kell adni támadáspontjának helyét (r helyvektor), és az erő vektorát (F tehervektor) Fy Fx rx ry x r F z y

Matematika rx, ry, Fx, Fy csak a nagyságot jelölik (koordináták). i, j, k a vektorok koordináta tengelyekkel párhuzamos összetevői (egységvektorok): Műveletek: Skalárral való szorzás: Fxi Skaláris szorzat: rF = rFcosφ, ahol φ a két vektor által bezárt kisebbik szög Vektoriális szorzat: rxF = rFsin φk, ahol φ a két vektor által bezárt kisebbik szög x y z számot ad eredményül vektort ad eredményül

Matematika a φ szög vagy 0° vagy 90°, ezért Skaláris szorzat: ii = jj = kk =1 ij = ik = ji = jk = ki = kj = 0 pl. a vektorok hosszának kiszámításakor: Vektoriális szorzat: ixi = jxj = kxk = 0 ixj = k, jxi = -k jxk = i, kxj = -i kxi = j, ixk = -j

A nyomatékvektor, a forgató hatás Definíció: Az M0 = rxF összefüggéssel megadott vektort az F erő 0 pontra (origóra) vonatkozó nyomatékvektorának nevezzük. Mivel ez a nyomatéki hatás a test forgását, forgó mozgását befolyásolja precízen forgatónyomatéknak kellene nevezni. x y F r Fy Fx rx ry z M0

A nyomatékvektor, a forgató hatás x y F r φ k M0 k r M0 φ z F y

A nyomatékvektor, a forgató hatás x x F F r r M0 φ φ z y y

Az erő redukálása az origóra (Erő megadása egy erő- és egy nyomatékvektorral) x x M0 F0 F y y

Origóra redukálás, ‘eredő’ számítása F4 Vetületi egyenletek: y x F2 F1 M10 M40 F3 társerő Nyomatéki egyenlet: társerőpár

Az erőpár Definíció: Két egymással párhuzamos, azonos nagyságú, ellentett irányú de nem egy hatásvonalon levő erőt erőpárnak nevezünk. F1 k>0 F1 = F2 = F F2

Az erőpár nyomatéka Definíció: Egy erőpár valamely pontra vonatkozó nyomatékán az erőpárt alkotó erők nyomatékösszegét értjük: k1 M=rAxF1+rBxF2 x rA rB mivel F2 = -F1 k2 M=rAxF1-rBxF1=(rA-rB)xF1= rxF1 F1 B k>0 r M0=k2F2-k1F1=(k2-k1)F1= kF1 A F2 y

Szétszórt erőrendszer eredőjének meghatározása Tétel: Az M nyomatékvektor egyenértékű egy erőpárral. M F1 k1>0 F2 k2>0 x y F0 M0 x y F0 Eredő erő F0 k0 M0=k0F0

Irodalom Dr. Bárczi István, Bán Tivadarné, „Szilárdságtan I. az Építőipari szakközépiskola II. osztálya számára”, Tankönyv, 9. kiadás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest 2002. BME, Építőmérnöki statika oktatói segédanyagok (silabusz) Gáspár Zsolt, Tarnai Tibor: Statika, egyetemi jegyzet, Műegyetemi Kiadó, Budapest 2006.