2. Koordináta-rendszerek és transzformációk 2.2. Az egyenes és a sík egyenlete 2.3. Affin transzformációk 2.4. Projektív transzformációk

Mire használjuk? Transzformációk a grafikában: - tárgyak elhelyezése, - részek összeállítása - tárgyak valószerű átalakításai (GM), - a tárgyak képe: vetítés síkra - egyebek

Milyen transzformációk kellenek? - E 3 –ban és H 3 -ban ( H 3 = E 3  I 3 ) - minden pontnak van transzformáltja, - H 3  H 3 (kölcsönösen egyértelmű) - pontot  pont, - egyenes  egyenes - sík  sík - illeszkedést tartó módon. Ilyenek a kollineációk, (projektív transzformációk)

Kollineációk (projektív transzformációk) Kollineációk a projektív geometriában . . . Itt: a transzformációk geometriai, szemléletes jelentése . . . A transzformációk számítási eljárásai: Pontok transzformációja: X’ = M44  X Egyenes transzformációja: Ha e = ( P, Q ), akkor e’ = ( P’, Q’ ) ; P’ = M44  P , Q’ = M44  Q stb: alakzatok meghatározó pontjait . . .

A kollineációk mátrix alakja H3 pontjai: X = [x1, x2, x3, h] T  H 3; h = 0|1; X  l  X ; l  0; H3 kollineációi: { M44 ; det M44  0}; M  m  M ; m  0 X’ = M44  X = = (m11 m12 m13 m14)  (x1) = (m11x1+m12x2+m13x3+m14h) = (x1’) |m21 m22 m23 m24| |x2| |m21x1+m22x2+m23x3+m24h| |x2’| |m31 m32 m33 m34| |x3| |m31x1+m32x2+m33x3+m34h| |x3’| (m41 m42 m43 m44) (h ) (m41x1+m42x2+m43x3+m44h) (h ’)

X’ = M44  X = = (m11 m12 m13 m14)  (x1) = (m11x1+m12x2+m13x3+m14h) = (x1’) |m21 m22 m23 m24| |x2| |m21x1+m22x2+m23x3+m24h| |x2’| |m31 m32 m33 m34| |x3| |m31x1+m32x2+m33x3+m34h| |x3’| (m41 m42 m43 m44) (h ) (m41x1+m42x2+m43x3+m44h) (h ’) = (m11 m12 m13 m14)  (x1) = m11x1+m12x2+m13x3+m14h = x1’ |x2| |x3| (h )

E3 és H3 kollineációi: csoport E 3 kollineációi: affin transzformációk, alcsoport, E 3  E 3 és I 3  I 3 H 3 kollineációi: a projektív transzformációk csoportja H 3  H 3, egy – egyértelmű leképezés, pont-, egyenes-, sík- és illeszkedést tartó H 3 = E 3  I 3 esetleg egy közönséges sík  I 3 és akkor I 3  egy közönséges síkra

A következő órákon: Affin transzformációk Párhuzamos vetítés Axonometria Projektív transzformáció Középpontos vetítés Perspektíva

2.3.1. Affin transzformációk (a grafikában – szemléletes bevezetés)

Affin transzformációk Szemléletes geometria, ill. analitikus geometria E n  E n pont-, egyenes-, sík- és illeszkedést tartó transzformációk P’ = A33 · P + d P’ = A34 · P ; x’ = a11 · x + a12 · y + a13 · z + a14 y’ = a21 · x + a22 · y + a23 · z + a24 z’ = a31 · x + a32 · y + a33 · z + a34 d

Affin transzformációk Például: eltolás, forgatás, tükrözés, stb Reguláris affinitások: det A  0; E n  E n ; n = 2, 3, … (Ha det A = 0 : vetítés egy síkra, vagy más altérre) Szóhasználat: affin transzformáció, affinitás (?), transzformáció, leképezés Pont-transzformáció: alakzatok pontjait Koordináta-rendszer transzformáció: áttérés új KR-re A tér leképezése egy másik térre pl. VKR  KKR

Affin transzformáció mátrix-szorzással Homogén mátrix alakja: A44 utolsó sora: (0, 0, 0, c) ; c  0; általában = 1 Egy pont homogén alakja: X = [x, y, z, h] T ; h = 0 | 1 X’ = A44  X = (a11 a12 a13 a14 )  (x) = (x’) ; h = 0 | 1 |a21 a22 a23 a24 | |y| |y’| |a31 a32 a33 a34 | |z| |z’| ( 0 0 0 1 ) (h) (h’); h’ = h !!! közönséges pont  közönséges pont, ideális pont  ideális pont: az ideális sík  önmaga.

Affin transzformációk A mátrix megadása: geometria jelentése alapján: szemléletes elemi affinitások szorzataként vagy 4 meghatározó pont-párból: a „határozatlan együtthatók módszere”

„Elemi” affin transzformációk „elemi”: szemléletes és egyszerű a mátrixa Eltolás (T) , forgatás (R), léptékezés (S) , nyírás (N) Tükrözés, báziscsere, Tétel: Ha A affin traanszformáció, akkor van olyan T, R1, R2, R3, S, N, a amelyekkel: A = N  S  O  T; O = R1  R2  R3 azaz: P ’ = A  P = (N  S  O  T)  P Minden A ilyenekből áll !

A mátrix vizsgálata A mátrix jellemző elemei: A44 = (sx a12 a13 dx ); det A  0 ; > 1 | < 1 |a21 sy a23 dy | |a31 a32 sz dz | ( 0 0 0 1 )

Egyszerű affinitások: 1. Eltolás Adott: d = (dx, dy, dz) eltolás-vektor Minden pontra: X’ = X + d = (x + dx, y + dy, z + dz) d X’ = T  X = (X + d) (x’) = ( 1 0 0 dx ) · (x) = ( x + dx ) |y’| | 0 1 0 dy | |y| | y + dy | |z’| | 0 0 1 dz | |z| | z + dz | (1 ) ( 0 0 0 1 ) (1) ( 1 ) T2  (T1  P) = (T2  T1)  P = T3  P

Egysz. aff. 2. Forgatás a Z tengely körül x’ = x  cos a - y  sin a y’ = x  sin a + y  cos a z’ = z; A síkban: a kezdőpont (origó) körül: a 3. sor és 3. oszlop nélkül a Z tengely körüli forgatások kommutatív csoportja: Ortonormált transzformáció, determinánsa 1. Rz = (co –si 0 0 ) | si co 0 0 | | 0 0 1 0 | ( 0 0 0 1 ) co = cos a si = sin a

Forgatás az X és az Y tengely körül Rx = (1 0 0 0) |0 co –si 0| |0 si co 0| (0 0 0 1) Ry = (co 0 –si 0) |0 1 0 0| |si 0 co 0| ( 0 0 0 1) co = cos a si = sin a x’ = x y’ = y  cos a - z  sin a z’ = y  sin a + z  cos a illetve: x’ = x  cos a – z  sin a y’ = y z’ = x  sin a + z  cos a egyazon tengely körüli forgatások kommutatív csoportot alkotnak

Forgatás és eltolás egymásutánja (R  T) ≠ (T  R) ! Egy pont: P(1,1) egy forgatás: R (-900) (CLW) egy eltolás: T(1,1) T  P = (2,2); R  (T  P ) = (2,-2) R  P = (1,-1); T (R  P ) = (2,0)

Forgatások a térben az origón átmenő (ferde) tengely körül: X’ = R*  X = [ (R z-1  R x-1)  R y (a)  (R x  R z) ]  X A ferde tengely (a terem sarkán át) 1. a Z körül a ZY síkba : R z 2. itt az X körül az Y-tengelybe : R x 3. Az Y körül a kívánt forgatást: R y (a) 4-5. Végül az 1.-2. fordítottját (fordított sorrendben). X Y Z

Forgatások a térben - 2 Forgatás tetszőleges tengely körül. A tengely (egy pontját) eltoljuk O-ba: T és ekörül forgunk (mint előbb): R*(a) Végül az eltolás fordítottja: X’ = (T-1  R*(a)  T)  X Transzformációk megadása: szemléletes elemi geometria transzformációk sorozatával !!

Egyszerű. aff.: Áttérés új KR-re; báziscsere KR-transzformáció egy új KR tengelyirányai: u, v, w egységvektorok. X’ = B  X B = (ux uy uz 0) x’ = uxx + uyy + uzz |vx vy vz 0| y’ = vxx + vyy + vzz |wx wy wz 0| z’ = wxx + wyy + wzz ( 0 0 0 1) Az origó áthelyezésével a ( cx, cy, cz) pontba: X’ = ( T(-cx, -cy, -cz)  B )  X

Egysz.aff.: 3. Léptékezés (skálázás) Léptékezés (skálázás) az origóból kiindulva: X’ = S  X S = ( sx 0 0 0 ) x’ = sx  x | 0 sy 0 0 | y’ = sy  y | 0 0 sz 0 | z’ = sz  z ( 0 0 0 1 ) Determinánsa: D = sx  sy  sz ; (egyik sem nulla). Egyenletes (izotrop) léptékezés: sx= sy= sz Egyenlőtlen (anizotrop) különben

Tükrözések: si < 0 x’ = -1 · x, y’ = y, z’ = z : tükrözés az YZ síkra. Tükrözések: S(1,1,1) Ha 1 tényező negatív: tükrözés koordináta-síkra, (det = -1) ha 2 koordináta tengelyre, (det = +1) ha 3 a kezdőpontra. (det = -1) Ha det = -1, a tér irányítása megfordul ! Általános helyzetű tükrözés: X’ = (ÁTHELYEZÉS -1  TÜKRÖZÉS  ÁTHELYEZÉS )  X Mozgatás: eltolások és forgatások; méret és alaktartó

Tengelycsere (A teljesség kedvéért :) Permutációs mátrixok; például: Cyz = ( 1 0 0 0 ) · [ x ] = [ x ] | 0 0 1 0 | | y | | z | | 0 1 0 0 | | z | | y | ( 0 0 0 1 ) [1 ] [ 1] az Y és Z tengelyt fölcseréli determinánsa = -1 !!!

Egysz.aff.: 4. Nyírás Merev test alakjának változása terhelés hatására. Az „elcsúszó kártyacsomag” Az XZ síkkal párhuzamosan, X irányban, az y összetevővel arányos nyírás: x’ = x + a  y ; X’ = Nxy  X; Nxy = ( 1 a 0 0 ) y’ = y | 0 1 0 0 | z’ = z | 0 0 1 0 | ( 0 0 0 1 ) Nyírás a tengelyek más szereposztásával: más háromszög mátrix

Az affin transzformációk néhány tulajdonsága A baricentrikus koordináták affin-invariánsak: ha valamilyen t-vel: R = (1 - t)  P + t  Q, akkor ugyanezzel : R’= (1 - t)  P’ + t  Q’ (P’, Q’, R’) = A  (P, Q, R) Az egyenes pontjainak osztóviszonya affin-invariáns: (P’Q’R’) = (PQR); (PQR) = PR / RQ; R  Q Párhuzamos szakaszok hossza egyforma arányban változik: P’Q’ / PQ = R’S’ / RS, ha PQ || RS (Különböző irányokban az arány különböző lehet)

Az affin transzformációk osztályozása csoportot alkotnak Alcsoport: hasonlósági transzformációk : T  R  S(s,s,s) Alcsoport: mozgás transzformációk : T  R = egybevágósági transzformációk „Másodfajú” egybevágóság: a tükrözés is. Ha det A = 0: a tér vetítése egy síkra, vagy egyenesre

Elhelyező transzformáció: hasonlóság SKR  VKR; M = T  S  R

Affin transzformáció megadása: 4-4 pont E 3 egy affinitását meghatározza 4 „független” pont és képe. (E 2 -ben 3) „független”: kifeszítik a teret egyik három sem esik egy egyenesbe.

Pl.: Izometria - 4 független pont és képe: {O A B C}  {O’ A’ B’ C’} 0 1 0 0 0 –f f 0 0 0 1 0 0 –g –g h 0 0 0 1 m 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 a = OA = 1, AB = 2 f = AB/2 = 2/2, g = AB (3/2)/3, h = 2g; m = akármi, de  0

A határozatlan együtthatók módszerével- olv: A44  ( O A B C ) := ( O’ A’ B’ C’) ! ( a11 a12 a13 a14 )  ( 0 1 0 0 ) = | a21 a22 a23 a24 | | 0 0 1 0 | | a31 a32 a33 a34 | | 0 0 0 1 | ( 0 0 0 1 ) ( 1 1 1 1 ) = ( a14 a11+a14 a12+a14 a13+a14 ) := ( 0 –f f 0 ) | a24 a21+a24 a22+a24 a23+a24 | | 0 –g –g h | | a34 a31+a34 a32+a34 a33+a34 | | m 0 0 0 | ( 1 1 1 1 ) ( 1 1 1 1 ) 3 x 4 = 12 egyenlet, 12 ismeretlen: aik Van megoldás, ha det A44  0 (ha független pontok)