MATEMATIKAI PARADOXONOK KPSZTI 2011. NOV. 11.

A PARADOXON ÉRTELMEZÉSE Önellentmondás: hétköznapi: „Most hazudok.” (még jobb: „Most őszinte voltál?” – bár ez nem ellentmondás, csak eldönthetetlen) halmazelméleti: katona borbély Mérő László: „Eben a mondatban harom hiba van.” Meghökkentő eredmény Logikai: Minden krétai hazudik – mondja egy krétai. Infinitezimális: nyílvessző és a céltábla Statisztikai/valószínűségi: ezekről lesz szó

10 paradoxon Születésnap Simpson Szerencsejátékok Monty Hall Választási Jákob és Lábán Bertrand Titkárnő-házasodási Kockázási

9 paradoxon – 9 matekóra Egyszerűek: alap matek Meglepőek Célközönség: mérnökpalánták

TITKÁRNŐ-PARADOXON (1966)

A feladat titkárnői álláshirdetésre sok a jelentkező nincs idő mindegyiket meghallgatni Hány jelöltet elég behívni interjúra, hogy a lehető legjobbat vegye föl a cég?

Konkrét feladat 10 jelentkező 5 jelöltet már elutasítottunk megállapodás: a következőt felvesszük, aki jobb minden korábbinál Mekkora a valószínűsége, hogy lesz ilyen?

DOLLY Ő a legjobb Baj lehet: korán döntünk (ál Dolly) pl. a 7. jobb, mint az első 5, de Dolly – aki még jobb – csak a 8. lesz A korai döntést ki kell zárni

Hányadik Dolly?

összesen 37% annak a valószínűsége, hogy a felét elutasítva és a következő legjobbat választva az összes közül a legjobbra találunk.

A feladat módosítása és általánosítása Ha az első 2 titkárnő elutasítása után döntünk: Ha n jelölt közül az első k elutasítása után döntünk:

Hány jelöltet utasítsunk el? p 10 1 28,3 % 2 36,6 % 3 39,9 % 4 39,8 % 5 37,3 % 7 26,5 % 9 10 %

A p(k,10) grafikon

Van-e maximuma a p(k,n) függvénynek? Van (emelt szintű matek):

A megoldás 100 jelentkező közül az első 37-et kell elutasítani, majd ezt követően az első olyat felvenni, aki jobb az első 37-nél VAGY ha nincs ilyen, akkor a 100.-at

Gyakorlati alkalmazhatóság Nyilván nem így választunk titkárnőt (nem hívunk be mindenkit, nem mondunk rögtön nemet, önéletrajz stb.) Matterhorn esete

Házasodási probléma (1984) A feladat átfogalmazása: az első valahány kérő után igent mondunk (magyar szakirodalom: Szindbád-probléma) Baj: nem tudjuk előre a kérők számát

Udvarló-idő függvény Feltételezett görbe esetén: görbe alatti terület 37 % - ánál kell most is dönteni

SIMPSON-PARADOXON (1951)

1. Diszkriminációs probléma Egy nagyvállalatot diszkriminációval vádolnak feminista szervezetek, miszerint kisebb százalékban vettek fel nőt, mint férfit. Védekezésképpen a cég nyilvánosságra hozza két áruházuk kimutatását, melyben az áll, hogy több nőt vettek fel, mint férfit.

Győr-soproni nők és férfiak jelentkezők felvettek % Győr 500 200 40% 100 50 50% Sopron 120 10 8% 10% Összes 620 210 34% 60 30%

Mitől paradoxon? Külön-külön: nők > férfiak („elnőiesedik a szakma”) Együtt: férfiak > nők (feminista érv) Mikor léphet föl? Ha egy csoportot kétféleképpen is felbontunk (Győr-Sopron, ill. férfiak-nők) két vagy akár több részre Leírás: Simpson (1951) Valóság: Berkeley-egyetem (70-es évek) női egyenjogúsági kérdés

Mi az oka? Most: egyenetlen volt a jelentkezés Győr: 250 hely, 600 jelentkező 2,4-szeres túljelentkezés A jelentkezők 17%-a nő Sopron: 20 hely, 220 jelentkező 11-szeres túljelentkezés A jelentkezők 45%-a nő: „bátrabbak” voltak a soproni nők

2. H1N1-probléma Nem oltatta be magát Beoltatta magát férfiak 500 200 összesen nem fertőződött % férfiak 500 200 40% 100 50 50% nők 120 10 8% 10% Összes 620 210 34% 60 30%

Mitől paradoxon? Nyilván nem reprezentatív a minta: férfi (500) > nő (120), aki nem oltatta be magát beoltott (620) > nem beoltott (200) Férfinak és nőnek egyaránt megéri, de „embernek” nem! (Orosz Gyula)

Példagyár A nem A X n 200 * 100 50 50% Y 120 10 8% 10% Összes n+120 rész % X n 200 * 100 50 50% Y 120 10 8% 10% Összes n+120 210 * * 60 30%

Mekkora lehet n? Ahonnan 400 < n < 580 adódik.

Koordináta-rendszer Meredekség: felvételi arány

SZÜLETÉSNAP-PARADOXON

Alapfeladat: Hány fős társaság esetén lesz valószínűbb az, hogy a társaságból két embernek ugyanazon a napon van a születésnapja? Tippelj!

1. segédfeladat: Hány fő esetén lesz biztos, hogy lesz két olyan ember, akinek egy napon van a születésnapja? (Számoljunk 365 nappal!) Skatulyaelv alapján nyilván: 366 fő esetén

2. segédfeladat: Egyszerűsítsük le a feladatot egy hétre: Hány fő esetén lesz biztos, hogy a hét ugyanazon napjára (hétfő, kedd stb.) esik két ember születésnapja? Hasonlóan, nyilván: 8 fő esetén

3. segédfeladat Mi a valószínűsége annak, hogy 6 fő közül 2-nek ugyanarra a napra (a hét ugyanazon napjára) esik a születésnapja? Értelmezés: legalább 2-nek

Megoldás kedvező eset: összes – rossz

Táblázat a p(n) függvényhez 8 1 7 0,99 6 0,96 5 0,85 4 0,65 3 0,39 2 0,14

A p(n) grafikon

4. segédfeladat Vissza az eredeti éves feladathoz: Hány fős társaság esetén lesz 96% a valószínűsége annak, hogy a társaságból két embernek ugyanazon a napon van a születésnapja? (Számoljunk 365 nappal!)

Összes – rossz

Ábrázolás helyett táblázat

Próbálgatás n 100 0,9999997 65 0,998 57 0,99 48 0,96 40 0,89 37 0,85 25 0,57 23 0,51

Megoldás éves feladat: 48 fő esetén lesz 96 % a valószínűsége annak, hogy ketten ugyanazon a napon születtek hetes feladat: 6 fő esetén lesz 96 % ez a valószínűség

A p(n) grafikon

Mitől paradoxon? Nagy n-re: p(n) közelítőleg konstans p = 100%: n = 366 esetén p = 99%: n = 57 esetén (84%-kal kisebb!) Kis n-re: p(n) függvény nagyon meredek Az eredeti feladat (p > 50%) megoldása is meglepő: 23 fő (ellenőrizhető egy osztályban vagy egy konferencián)

VÁLASZTÁSI PARADOXONOK

1. Családi kirándulás Az apának van kedve kirándulni, de ideje nincs, a gyereknek fordítva, az anyának kedve és ideje is van. Hogyan döntsenek „demokratikusan”?

Kiértékelés kedv idő kirándulás anya igen apa nem gyerek együtt vagy

Bíró-paradoxon kollektív döntések meghozatala esetén probléma: mi szerint összegezzünk? premisszák (kedv, idő) konklúziók (voks)

2. Elnökválasztás 3 jelölt (A, B, C) közül választunk 7 szavazó 4 ABC, 3 BCA szavazat Kérdés: lehetséges-e, hogy bizonyos pontozásnál A nyer, B nyer, C nyer, A és B holtversenyben nyer?

Megoldás 1. hely 2. hely 3. hely A B C A nyer 10 pont 3 pont 2 pont 46 42 17 B nyer 5 pont 50 23 C nyer nem lehetséges A és B 4 pont 20

Mitől paradoxon? majdnem tetszőleges sorrend előállítható utólag befolyásolhatjuk a választás eredményét, ha nem tisztázzuk előre a pontozást megnyugtató: C nem nyerhet

3. Osztálytitkár 3 jelölt (A, B, C) közül választanak 30 szavazó 10 ABC, 10 BCA, 10 CAB szavazat Kérdés: hogyan összegezzünk?

Többségi szavazás A > B B > C C > A 10 ABC igen nem 10 BCA 10 CAB Többségi szavazat

Condorcet-paradoxon Körbeverési jelenség: kő-papír-olló Nem tranzitív: A > B, B > C, de C > A! Pontrendszer: mindenkinek ugyanannyi pontja lenne

MONTY HALL-PARADOXON (1975)

Mit rejt a három ajtó?

A tévés játék megfogalmazása Van három ajtó, kettő mögött kecske van, egy mögött a főnyeremény: egy autó A játékos választ egyet a három ajtó közül A műsorvezető még mielőtt azt kinyitná, kinyit egy másik ajtót, amely mögött kecske van Megkérdezi a játékost: akar-e változtatni első választásán, és egy másik ajtót választani?

Kérdés Érdemes-e változtatni az eredeti választáson? Paradoxonnak tűnik: Nem befolyásolhatja az eredményt, ha változtatok (előtte is, utána is 1/3 a valószínűség) Most 1/2, előtte 1/3 volt a valószínűség

Az 1. ajtót választjuk 1. ajtó 2. ajtó 3. ajtó váltunk nem váltunk K A nyerünk vesztünk nyerési valószínűség 2/3 1/3

Megoldás Érdemes tehát változtatni: Egyszerűbben: Hogyan nyerhetünk? 2/3 valószínűséggel nyerünk Egyszerűbben: Hogyan nyerhetünk? Ha nem váltunk: el kell találni az autót (1/3) Ha váltunk: valamelyik kecskét kell eltalálni (2/3)

… A feladat módosítása 100 ajtó van, Monty kinyit 98-at Nyilván most is érdemes váltani (99/100)

2 játékos, 3 ajtó Mindkettő választ egy-egy (különböző) ajtót (mondjuk egymás után) Az, amelyik kecskét választott, kiesik (ha mindkettő kecskét választott, a játékvezető tetszőlegesen dönt, ki esik ki) A kecskés ajtót Monty kinyitja Érdemes-e váltania a bennmaradt játékosnak?

Az első 2 ajtóra tippelünk B Ha a bennmaradó 1. ajtó 2. ajtó 3. ajtó vált nem vált K nyer veszít nyerési valószínűség 1/3 2/3

Megoldás Nem érdemes váltani Egyszerűbben: Így nyerünk 2/3 valószínűséggel Egyszerűbben: Most mindkét játékosnak kecskére kell tippelnie, hogy a váltás megérje: 1/3 A vegyes tipp esélye 2/3

Forrás Drösser, Christoph: Csábító számok (Athenaeum, 2009) Ferguson, Thomas S.: Who Solved the Secretary Problem? (Statistical Science, 1989. Vol. 4. No. 3.) Orosz Gyula: Valószínűség-számítási érdekességek (Fazekas Mihály Gimnázium honlapja, Matematika portál) Székely J. Gábor: Paradoxonok a véletlen matematikájában (Typotex, 2004) Wikipedia-szócikkek (Monty Hall, Simpson)

Dolgozat és prezentáció www.phbences.hu oktatás oldal, matematika Használják egészséggel, közkincs!

További jó konferenciát és szép napot!