3. Előadás: Döntés bizonytalanság mellett Valószínűség - Esély Feltételes valószínűség - Bayes-tétel Valószínűség eloszlások Várható hasznossági függvény Kockázatviselő típusok

Bizonytalanság (1) A bizonytalanság és a kockázat megkülönböztetése (Knight) Valószínűség: a priori és a posteriori A nagy számok törvénye és annak következményei érvényesül-e az „átlag törvénye”? Valószínűségi mérték definíciói szubjektív valószínűség A Kolmogorov-féle valószínűség-elmélet hazárd-játékok: relatív gyakoriság valószínűség és esély:

Valószínűségi szabályok Ha egy eseményre Prob(X=x)=0 akkor az soha nem következik be, míg ha egy eseményre Prob(X=z)=1 , az minden esetben bekövetkezik Az összes lehetséges esemény együttes valószínűségére Prob(X=Σx) = 1 Ha Prob(X = x) = π, akkor Prob(X = nem x)= (1–π) Két esemény független, ha Prob(A or B) = Prob(A+B) = = Prob(A)+Prob(B) Két esemény nem független egymástól, ha Prob(A+B) = Prob(A)+Prob(B) –Prob(A and B) Ha két esemény független, akkor Prob(A and B)= Prob(A)*Prob(B)

Bizonytalanság (2) Egy teljes információs döntési modell bizonytalanság mellett: profitmaximalizáló versenyző vállalat bizonytalan árinformációval Az ár helyett annak várható értéke a termelő számára fontos jelzés A megoldás:

Feltételes valószínűség (1) Példa: tegyük fel, hogy egy kosárban 10 alma van: 6 piros és 4 sárga. Ha úgy választunk egy almát, hogy azt visszatesszük, a piros alma választásának valószínűsége = 0.6, a sárgáé 0.4. Ha nem tesszük vissza:

Feltételes valószínűség (2) Általános szabály: , amiből Venn diagram A: 1.– (1. and 2.) B: 1. and 2. – C C: 1. and 2. and 3. D: 2.– (1.+3.) + C E: 2.– (1. and 3.)–C F: 3. – (2. and 3.) A B C D E F 1. 2. 3.

Feltételes valószínűség (3) Még egy példa: 3 selejtes villanykörte összekeveredett 6 jóval. Mi a valószínűsége, hogy 2, egymás után véletlenszerűen kiválasztott villanykörte egyaránt jó? Ha a jó villanykörtét G-vel jelöljük:

Függetlenség (1) A statisztikai függetlenség egy szigorú, a valószínűségi modellben definiált fogalom. Két esemény, A és B függetlenek, ha A bekövetkezésének valószínűsége – illetve a valószínűség ismerete – nem befolyásolja B bekövetkezésének valószínűségét és Példa: két kockát dobunk és a következő kimeneteleket figyeljük meg: (A) az első kocka 5-t mutat; (B) a kettő összege 7; (C) a kettő összege 10. Mi a valószínűsége, hogy a kettő összege 7 lesz, feltéve, hogy az első 5?

Függetlenség (2) A független eseményekre tehát Független esemény-e (c) (a)-tól?

Bayes tétele: előzetes és utólagos valószínűségek (1) Bayes analízis: a valószínűségek meghatározásához felhasználjuk a szakértői becsléseket is Példa: használt autó vásárlása az autószerelő előzetes véleménye nélkül, vagy a szerelő véleményének figyelembe vételével. Feltevések: nagyon sok használt autó megfigyeléséből a jó autók (G) előzetes valószínűsége 70%, a rosszaké (F) 30%. Egy autószerelő az általa átnézett rossz kocsik 90%-a esetében helyesen minősítette azokat rossznak és a jó kocsiknál 80%-os volt a helyes minősítések aránya. Mi a valószínűsége annak, hogy rossz autót vásárolunk, ha (a) a szerelő rossznak („F”) minősítette azt; (b) ha a szerelő jónak („G”)minősítette azt?

Bayes tétele: előzetes és utólagos valószínűségek (2) A feltételes valószínűségek matrixa

Bayes tétele: előzetes és utólagos valószínűségek (3) Folytatás: A Bayes analízis logikája Előzetes valószínűség Statisztikai adat Utólagos valószínűség

Bayes tétele: előzetes és utólagos valószínűségek (4) A Bayes-szabály általános alakja: legyen p(ω) a döntéshozó kezdeti vélekedése az ω állapot bekövetkezésének valószínűségéről; legyen E(ω’) olyan esemény, amely további információt közöl ω bekövetkezésének esélyéről és amelyet a döntéshozó megismer; így ismeri a p(E(ω’)) valószínűséget is; mekkora a feltételes valószínűség? Tudjuk, hogy Átrendezve:

Teljes és tökéletes információjú dinamikus játékok (1) Teljes információ: a játékosok tisztában vannak az adott szituáció minden körülményével Tökéletes információ: a játékosok ismerik az adott helyzethez vezető játék-történetet Köztudott tudás A stratégia hitelessége (hihetősége) A fordított indukció elve

Teljes és tökéletes információjú dinamikus játékok (2) Az 1. játékos választása: A 2. játékos megfigyeli a1-t és úgy választ: A kifizetések: A második játékos optimum-feladata a második lépcsőben: Az első játékos optimum-feladata az első lépcsőben: A részjáték-tökéletes Nash egyensúly A Stackelberg duopólium modellje

Teljes de nem tökéletes információjú játékok Részjáték-tökéletes egyensúly Ismételt játékok Véges alkalommal ismételt játékok Végtelen időhorizontú játékok – az időbeni diszkontálás jelentősége

Hiányos információjú dinamikus játékok A játék extenzív formája A tökéletes bayesi egyensúly A játékosoknak rendelkezniük kell valamiféle vélekedéssel a másik játékos lehetséges választásaira vonatkozóan

A normális és a standard normális eloszlás (1) Sűrűségfüggvény: X px xi pxi

A normális és a standard normális eloszlás (2) Eloszlásfüggvény: a X px b

A normális és a standard normális eloszlás (3) A normális eloszlás sűrűségfüggvénye: px x átlag szórás

A normális és a standard normális eloszlás (4) A standard normális eloszlás sűrűségfüggvénye

Másfajta eloszlások A binomiális eloszlás: amennyiben n számú eseményeknek két kimenetele lehet – siker (s) vagy kudarc – és ezek valószínűsége π illetve 1–π, akkor A Student (t-) eloszlás: két mintaátlag összegének vagy különbségének eloszlása N1 + N2 – 2 szabadságfokkal F-eloszlás: két átlag hányadosa N1, N2 szabadságfokokkal Exponenciális eloszlás sűrűség- és eloszlásfüggvénye:

A χ2 eloszlás Amennyiben X1, X2, …, Xn standard normális eloszlású valószínűségi változók, akkor a valószínűségi változó χ2 eloszlású n szabadságfokkal

Várható hasznossági függvény (1) A neoklasszikus elmélet: a racionális viselkedés következményeinek szisztematikus vizsgálata – bizonytalanság esetén csak közelítés A várható hasznossági hipotézis: legyen az a valószínűségi mező, amely a „természeti állapotok” terét reprezentálja, ahol a lehetséges elemi események (természeti állapotok, tehát a modell exogén változóinak) teljes listája; Θ a véges Ω összes lehetséges részhalmazainak halmaza és így olyan esemény, amely az Ω részhalmaza, μ pedig az E esemény bekövetkezésének objektív valószínűségi mértéke Az a(.) akció-függvény az teret képezi le a következmények C terébe és egyúttal a következmény valószínűségét is meghatározza a összefüggésnek megfelelően Példa: a lottószelvény, mint akció-függvény. Tekintsünk egy olyan lottójátékot, amely 100 Ft-ot fizet, ha az 1,…,10 számok közül páratlan számot húznak ki. Ekkor

Várható hasznossági függvény (2) és . A lottójátékot a lehetséges kimenetelek (események) és az azokhoz tartozó valószínűségek együttesen definiálják. Tehát egy lottójátékot általánosságban az a = [x,π] szabály határoz meg, ahol [x1,…,xS] az S számú elemi eseményhez rendelt pénzkifizetés nagysága, [π1,…, πS] pedig az események bekövetkezésének valószínűsége, amely valószínűségekre . A kérdés: egy racionális gazdasági szereplő hogyan határozza meg a lottószelvény értékét? A 100 Ft-os nyeremény valószínűsége 50%, és 50% az esélye a 0 Ft-nyi nyereménynek. Ezek alapján a szelvény egy lehetséges értéke: . Csakhogy ezzel a következő paradoxonba ütközünk: tekintsünk egy olyan ismétlődő pénzfeldobási játékot, amely 2n Ft-ot fizet abban az esetben, ha a „fej” először az n. dobásnál jelenik meg. Ekkor: , ám aligha akadna olyan ember, aki 1000 Ft-ot fizetne a játékért. Ezt a „Szt. Pétervár paradoxonnak” nevezik

Várható hasznossági függvény (3) A paradoxon lehetséges feloldása: a gazdasági szereplők határhaszna csökkenő tehát (pl. Bernoulli szerint) A csökkenő határhaszon feltevése azonban nem zárja ki az ún. Szt. Pétervár-paradoxon létét. Ehhez olyan u(.) függvényre van szükségünk, amely felülről korlátos A várható hasznossági hipotézis: a bizonytalanság mellett döntéseket hozó racionális szereplőt a következő feladat megoldása írja le Ez a Neumann-Morgenstern várható hasznossági függvény maximuma

A Neumann-Morgenstern várható hasznossági függvény A N-M várható hasznossági függvény esetében a gazdasági szereplő racionális döntését bizonytalanság mellett 3 axióma jellemzi: (1) A szereplő teljes rendezést képes végrehajtani a várható következmények M terében: (2) Folytonosság: bármely esetén létezik olyan , hogy (3) Függetlenség: ha , illetve , akkor A fenti 3 axiómából következik a várható hasznossági hipotézis

A kockázatkerülő gazdasági szereplő (1) A várható (vNM) hasznossági függvény segítségével vizsgálhatjuk a gazdasági szereplők attitűdjét a kockázattal szemben Definiáljuk a bizonytalan kimenetelű „játékok” (esemény-halmazok) biztos ekvivalensét a következő módon: legyen x valószínűségi változó ([x1,…,xs,π1,…, πs]), amelyre . Az x biztos ekvivalense (ECx): az a kifizetés, amelyre u(ECx) = Eu(x) A gazdasági szereplő kockázat-kerülő, ha u(ECx) = E(u(xs)) < u(E(xs)) Példa: egy lottójáték két lehetséges kifizetése, illetve a kimenetelek valószínűségei [100, 9, 0,8 0,2]. A játékos vNM-hasznossági függvénye u(x) = x1/2. A játék várható hasznossága, Eu(x) = 8 + 0,6 = 8,6. Biztos ekvivalense, EC = 8,62 = 73.96, mert , a kifizetések várható értékének hasznossága:

A kockázatkerülő gazdasági szereplő (2) Az előbbiekből következik, hogy a vNM hasznossági függvény növekvő és szigorúan konkáv, tehát x U(x) Eu(x) u(Ex) x1 x2 Ex

A kockázat-semleges viselkedés Ha a gazdasági szereplő számára u(Ex) = Eu(x) U(x) u(Ex)= Eu(x) x x1 Ex x2

A kockázatkedvelő viselkedés Ha a gazdasági szereplő a játékot úgy értékeli, hogy Eu((xs)) > (uE(xs)) = u(ECx), akkor kockázat-kedvelő („risk-loving”). Ebből következik, hogy x1 x2 Ex Eu(x) U(Ex) x u(x)

A kockázatkerülés mértékei (1) A kockázat-kerülő szereplő kockázati prémiuma (ρx): az a maximális összeg, amellyel hajlandó csökkenteni a játék várható kifizetésének összegét, hogy a kifizetés megegyezzen a biztos kifizetés összegével Az „abszolút kockázat-kerülés” koefficiense Legyen valószínűségi változó átlaggal, illetve szórással, az u(.) függvény pedig szigorúan növekvő és kétszer differenciálható. Az átlagos vagyon (kifizetés) kockázati prémiuma az a biztos ekvivalens, amelyet a szereplő közömbösnek talál az ε-hoz viszonyítva: . Az ε minden értékére (a Taylor-sorba fejtés szerint és a magasabb rendű momentumok eltűnése miatt):

A kockázatkerülés mértékei (2) E(ε) = 0 miatt Az abszolút kockázat-kerülés (lokális) mértéke az adott átlagos helyen: Amennyiben additív kockázati tényező (ε) helyett arányos kockázattal számolunk (tehát ), akkor

A kockázat mérése Azonos átlaggal rendelkező valószínűségi változók esetén az F(x,r2) eloszlás akkor és csak akkor kockázatosabb, mint az F(x,r1) eloszlás, ha az előbbi eloszlás jobban „szétterül”, mint az utóbbi (Stiglitz-Rothschild kritérium): Elsőrendű sztochasztikus dominancia: F(x,r2) akkor és csak akkor dominálja F(x,r1)-t, ha Másodrendű sztochasztikus dominancia: F(x,r2) akkor és csak akkor dominálja F(x,r1)-t, ha