Logika

Tartalom Bevezetés: a formális logika tárgya és célja Logikai grammatika és szemantika Nulladrendű logika (kijelentéslogika): extenzionális mondatfunktorok A következtetések helyességének ellenőrzése a kijelentéslogikában Elsőrendű logika (predikátumlogika): kvantorok

Bevezetés

Logika A ‘logika’ szó eredete? ‘Logosz’ (görög) – értelem, ész, mérték, nyelv A „logika” jelentései a filozófiatörténeti hagyományban: a lét észszerű és megismerhető, lét és gondolkodás egybetartozik, a valóság „logikus” az emberi gondolkodás törvények alá van rendelve, ezek rendszere a „logika”

Logika A „logika” modern, általunk is használt jelentése: a helyes következtetés törvényszerűségeit vizsgáló tudomány A definíció kulcsa a ‘következtetés’ fogalma. Mit is jelent ez?

Logika A következtetés logikai értelemben nem pszichológiai esemény (nem az emberi gondolkodás egy művelete), nem kognitív folyamat (amelyre minden megismerő lény képes, beleértve az intelligens gépeket is), hanem formális szerkezet, a kiinduló ismeretek explicit információtartalmában rejlő implicit információ kibontása. Egy következtetés helyes, amennyiben a következtetés eredményének igazsága törvényszerűen folyik a kiinduló ismeretek igazságából.

Logika Példa: Az ember halandó. Napóleon ember. Következik ezekből valami? Másként: a fenti két mondat tartalmaz olyan implicit információt, amelyet belőlük kibonthatunk?

Logika Igen, következik. Íme: Az ember halandó. Napóleon ember. Következtetés: Napóleon halandó. Jól látható, hogy a következtetés explicit módon nem jelent meg a kiinduló ismeretekben, mégis azokban rejtőzött s a következtetés ezen implicit információ nyilvánvalóvá tétele. Ez a következtetés egyébként helyes (bár, ez e ponton még nem igazolható)

Logika Vegyük azonban a következő példát. Az ember halandó. E.T. nem ember. Következtetés: E.T. nem halandó. Benne rejlik vajon a kiinduló ismeretekben a következtetésként levont állítás? Következik belőlük?

Logika Nem, nem következik (hiszen a kiinduló információk nem tájékoztatnak arról, vajon más, nem emberi lények halandóak-e vagy sem. Ez az információ hiányzik, így nem is bontható ki.) Ez a következtetés tehát helytelen (ezt is szabatosan igazolni tudjuk majd később)

Logika Mindkét esetben rendelkezésre állt tehát bizonyos kiinduló, explicit információ, ezek a premisszák, illetve, explicitté vált további információ, a konklúzió, amely a helyes következtetés esetén a premisszákban implicite benne foglalt, míg a helytelen következtetés esetén nem. A következtetés általános szerkezete: premisszák => konklúzió

A következtetés jele: => Logika A premisszákat számokkal jelöljük és egymás alá írjuk, vagy kapcsos zárójelben, egymástól (pontos)vesszővel elválasztva felsoroljuk. A konklúzió jele: K A következtetés jele: => Ha p, akkor q. p __________________ K: q vagy {Ha A, akkor B; A} => B

Logika A logika tehát a fenti értelemben vett helyes következtetés törvényszerűségeit vizsgálja (s így alkalmas arra is, hogy kimutassa miért helytelen egy következtetés). Ez elvont, elméleti probléma lenne? Szó sincs róla: a következtetés helyessége létfontosságú mindannyiunk számára, az élet (a túlélés, a boldogulás vagy magasabb szinten az elméleti tudás és a gyakorlati sikerek) nélkülözhetetlen mozzanata Életünkben nap mint nap, folyamatosan következtetünk. Nem mellékes tehát, hogy helyesen-e tesszük-e vagy helytelenül.

Logika Megjegyzésre érdemes azonban, hogy a logika nem mindenható. Vagyis, nem arra való, hogy segítségével helyes következtetéseket gyártsunk, hanem arra, hogy ellenőrizzük és racionálisan igazoljuk következtetéseink helyességét. A logika mindenhatósága hosszú ideig dédelgetett álom volt. Sajnos azonban a világ és a nyelvünk bonyolultabb annál, hogy törvényszerűségek mentén új ismereteket konstruáljunk. Erre utal már Descartes is azzal, hogy a logika csak arra való, hogy „másoknak megmagyarázzuk, amit már tudunk”, ám új ismeretet nemigen várhatunk tőle (Értekezés a módszerről, 1640, Második rész). Bizonyító eszköznek azonban kiváló és nélkülözhetetlen.

Logika A logika szempontjából a döntő fontosságú kérdés az, hogy mitől függ egy következtetés helyessége, másként hogyan függ össze a premisszák és a konklúzió igazsága. Nos, a logika azon szintjén, amelyet vizsgálni fogunk, a válasz: egy következtetés helyessége kizárólag a kiinduló információt hordozó állítások (premisszák) és a következtetés (konklúzió) logikai szerkezetétől és a bennük szereplő logikai szavak jelentésétől függ. Még egyszer.

Logika Egy következtetés helyessége kizárólag a premisszák és a konklúzió logikai szerkezetétől, valamint a bennük szereplő logikai szavak (szimbólumok) jelentésétől függ. Figyeljünk fel arra, hogy a következtetés helyessége a definíció szerint nem függ a kiinduló információk tartalmától, hanem csakis az ezeket hordozó nyelvi képződmények logikai sajátosságaitól. Itt érdemes kicsit megállni.

Logika Ez azt jelenti, hogy az első példa következtetése nem azért helyes, mert mást tartalmaz, mint a második, hanem azért, mert az első megfelelő formában hordozza az információt, míg a második nem. Nem a konkrét állítások jelentésétől függ tehát a következtetés helyessége, nem attól, amit felfogunk, amikor megértünk mondatokat, hanem logikai sajátosságoktól. Vagyis, meg kell tanulnunk egy új nyelvet, a logika nyelvét ahhoz, hogy felfedhessük a következtetések jellemzőit.

Logika A definíció további két fontos mozzanata, amely tagolja a továbbiakat: az állítások logikai szerkezete a logikai szimbólumok jelentése Ezek jelölik ki tehát az új nyelv, a logika nyelvének két alapterületét: a logikai grammatikát, amely az állítások logikai szerkezetével foglalkozik a logikai szemantikát, amelynek tárgya a következtetések szempontjából releváns jelentés.

Logikai grammatika és szemantika

Logikai grammatika Logikai grammatika Magyarul, nyelvtan, a logika nyelvének, a logikai nyelvi képződmények felépítési, elemzési és képzési elveit tartalmazó rendszer. A logikai grammatika számunkra legfontosabb előkészítő eljárása a logikai elemzés (analízis), amelynek célja a természetes nyelvi mondatok logikai szerkezetének feltárása (tudjuk már, egyrészt e szerkezettől függ a következtetés helyessége, feltárása tehát nélkülözhetetlen. Feltárni pedig azért kell, mert a természetes nyelv grammatikája eltér a logikai nyelvtől, hamarosan látunk példát erre) Az elemzést addig kell folytatni, ameddig minden természetes nyelvi képződmény kifejezhető a logikai grammatika alapegységeivel. Ezek a következők:

Logikai grammatika Alapkategóriák (komplett kifejezések): Név (individuumnév) Mondat Ami nem név, nem mondat: funktor (inkomplett kifejezés) Először nézzük a neveket!

Logikai grammatika Alapkategória: név (individuumot megjelölő nyelvi képződmény) Fajtái: tulajdonnév (pl. Napóleon) határozott leírás, deskripció (pl. a waterloo-i vesztes hadvezér) névmás (pl. ő) A nevek hagyományos jelölése: a, b, c…stb.

Logikai grammatika Alapkategória: név Példa: „Rómeó és Júlia szerették egymást, de a szüleik elszakították őket egymástól.” a = Rómeó, b = Júlia, c, d = Rómeó szülei, e, f = Júlia szülei A logikai szerkezet így: szerették egymást(a)(b) és (c)(d)(e)(f) elszakította egymástól (a)(b) tulajdonnév (Rómeó, Júlia) leírás (Rómeó szülei, Júlia szülei) névmás (őket)

Logikai grammatika Alapkategória: mondat (valamely tényállásra vonatkozó állítás, a természetes nyelvi grammatikában kijelentő mondat, olyan nyelvi képződmény, amely igaz vagy hamis lehet) A mondatok hagyományos jelölése: p, q, r …stb. Amikor azonban bizonyos általános összefüggéseket tisztázunk sémák segítségével, a mondatokat A, B, C stb. betűkkel fogjuk jelölni.

Logikai grammatika Alapkategória: mondat Példa: Ha a waterloo-i csatamezőn esik az eső, akkor vesztünk. p = a waterloo-i csatamezőn esik az eső q = vesztünk vagyis a logikai szerkezet: Ha p, akkor q

Logikai grammatika A fentiekből jól kitűnik, hogy a mondatok szintjén maradó (nulladrendű), illetve a mondatokban szereplő nevekig hatoló (elsőrendű) elemzés a következtetések helyességét más szinten vizsgálja. Az előbbi az ún. kijelentéslogika (propozicionális logika), az utóbbi az ún. predikátumlogika területe. Első lépésként mi a kijelentéslogikával foglalkozunk, vagyis olyan következtetésekkel, amelyek helyessége mondatok közötti formális viszonyoktól függ. A logikai grammatika harmadik kategóriáját azonban még nem láttuk.

Logikai grammatika A további kategória (inkomplett kifejezések) A két alapkategória komplett, befejezett kifejezések halmaza (nem is elemezzük tovább őket az adott analízisben), ugyanakkor az elemzés olyan „maradékokkal” szolgál, amelyek se nem nevek, de nem is mondatok. A fenti két példán bemutatva: szerették egymást(a)(b) és (c)(d) elszakította egymástól (a)(b) Ha p, akkor q vagyis: „… és…szerették egymást”, „és”, „…és…elszakította egymástól…és…”, „ha…, akkor…”

Logikai grammatika A további kategória (inkomplett kifejezések) A „szerették egymást”, „és”, „elszakította egymástól”, „ha…, akkor…” nyilván nem nevek (mert nem jelölnek individuumokat), de nem is mondatok (mert tényállásokra sem vonatkoznak, hiszen önmagukban se nem igazak, se nem hamisak) Az is jól látszik azonban, hogy kiegészítve őket, olyan komplett kifejezéseket kapunk (jelen esetben mondatokat), amelyek már konkrét tényállásokra vonatkozhatnak, így igazak vagy hamisak lehetnek (mondatok). Ezeket a kifejezéseket funktoroknak nevezzük. Ide tartoznak azok a logikai szavak is, amelyek jelentése döntő fontosságú egy következtetés helyessége szempontjából.

Logikai grammatika Funktor A kifejezés a függvény (functio, funktion) szóból képzett, és függvényjelként magyarítható. Másként, olyan jel, szimbólum, amely függvényt jelöl. Emlékszik még valaki matematikaóráról a függvényekre?

Logikai grammatika Függvény A függvények közös jegye, hogy inkomplett elméleti képződmények, bemenettel (input) és kimenettel (output), amelyeket szabály kapcsol össze. Másként, a függvények meghatározott műveleteket hajtanak végre a bemeneti értékeken, s e művelet eredményét adják kimenetként. Ebben az értelemben a mosógép is függvény: szennyes (bemenet) – művelet – tiszta ruha (kimenet) Lényegében ezt teszik a logikai függvények is.

Logikai grammatika Logikai függvények Osztályozás: a bemenetek száma (argumentumszám) a bemenet logikai típusa (mondat, név) a kimenet logikai típusa (mondat név) A ‘ha…, akkor…’ és az ‘és’ kétargumentumú mondatfunktorok (bemenetük és kimenetük is mondat) A ‘… hadvezér’ egyargumentumú predikátum (bemenete név, kimenete mondat) Mi csak mondatfunktorokkal és predikátumokkal foglalkozunk.

Logikai grammatika Logikai függvények Extenzionális függvények: amelyek esetén a bemenet egyértelműen meghatározza a kimenetet, vagyis a következtetés helyességének meghatározásához elegendő a függvény szabályát ismerni (mi csak ilyenekkel foglalkozunk) Intenzionális függvények: amelyek esetén a bemenet nem határozza meg egyértelműen a kimenet értékét, a következtetés helyességéhez szükséges a következtetésben szereplő kifejezések jelentésének vizsgálata is. (Pl. „…tudja, hogy…”, „lehetetlen, hogy…”)

Logikai grammatika Logikai függvények A logikai függvények száma korlátozott. A kijelentéslogikában mi néggyel fogunk megismerkedni (ebből kettőt már láttunk, a ‘ha…, akkor’-t és az ‘és’-t. Ahhoz azonban, hogy pontosan megértsük, milyen műveleteket eszközölnek a logikai függvények, foglalkoznunk kell ezek jelentésével is, másként, át kell térnünk a logika másik alapterületére, a logikai szemantikára.

Logikai szemantika Szemantika Általánosságban a szemantika a kifejezések és a kifejezésekkel vonatkozásban álló, tőlük különböző entitások kapcsolatával foglalkozó elmélet. A jelentés fogalma azért tartozik ide, mert ez a szó itt ‘vászonvitorla’ nyilvánvaló vonatkozásban áll valami tőle különböző dologgal (a vászonvitorlával, ami ugye nem egy szó, hanem egy tárgy), s e vonatkozás valamilyen módon történik (esetünkben a ‘vászonvitorla’ szó megnevezi azt, amivel vonatkozást képez) Egy másik, nem nyelvi példa: egy másvalakire jellemző gesztus utánzása. E gesztus vonatkozást képez valami tőle különbözővel (jelöl valamit) és valamilyen módon teszi ezt (ez esetben hasonlósága révén).

Lényegében erről lesz szó a logikai szemantika esetén is: a logikai grammatika egységei jelölnek valami tőlük különbözőt és valamilyen módon teszik ezt. A neveknek, a mondatoknak és a funktoroknak tehát jelölete és jelentése van, valamit megjelölnek (jelölet, denotáció), méghozzá valamilyen módon (jelentés). Idegen szóval, e kifejezés denotációval és konnotációval is rendelkeznek. Lássuk, miként. A logikai szemantika első kidolgozása Gottlob Frege német matematikus érdeme.

Logikai szemantika Név Mondat Funktor Jelölet: individuum Jelentés: ahogyan az individuumot megjelöli igaz vagy hamis azon feltételek összessége, amelyek teljesülése esetén a mondat igaz függvény a műveleti szabály

Logikai szemantika A nevek, a mondatok és a funktorok tehát speciális logikai jelentéssel rendelkeznek, amely döntő jelentőségűek a következtetések helyességére nézve. A jelöleteket közös néven a kifejezések faktuális értékének vagy extenziójának nevezzük (mert a nevek és a mondatok esetén a tényektől függően nyernek értéket), a jelentéseket pedig intenziónak. A helyes következtetések szempontjából fontos logikai szavak jelentése (intenziója) a logikai függvény szabálya, amely bemenetükhöz kimenetet rendel.

‘~A’. Logikai szemantika Másként, megértem egy logikai függvény (funktor) jelentését, ha ismerem azt a szabályt, amely bemenetéhez kimenetet rendel. Ilyen szabáklyokkal fogunk a második órán megismerkedni (ennek eredménye lesz, hogy megértjük majd, hogy mit jelent például ez: ‘~A’.

Logikai szemantika A kijelentéslogikában (amelyben az elemzés legelemibb egysége mondat) a következtetés helyessége kizárólag a logikai szerkezetetétől és az ún. extenzionális mondatfunktorok jelentésétől függ. Extenzionális mondatfunktorok (amelyek mondatokat képeznek mondatokból) az alábbiak (ezekkel foglalkozunk): negáció: „~” (nem…, non-A) konjunkció: „&” (…és…, et) alternáció: „V” (vagy, vel) kondicionális: „→” (ha…, akkor…)

A mondat faktuális értéke kettő lehet: igaz vagy hamis. Logikai szemantika Az extenzionális mondatfunktorok a bemeneti mondat faktuális értékétől függően rendelnek faktuális értéket a kimeneti mondathoz. A mondat faktuális értéke kettő lehet: igaz vagy hamis. (arról, hogy miért e kettő és miért csak e kettő, később) Vagyis: ezek a függvények a bemenetek igazságértékétől függően igazságértéket rendelnek a kimeneti mondathoz, ezért igazságfüggvényeknek is nevezik őket. Lássuk ezt másként is.

Logikai szemantika A mondatok jelöleteit, az igazat és a hamisat azért nevezhetjük faktuális értéknek, mert egy állítás igazsága vagy hamissága a tényektől (factum, fact) függ. A mondat jelentése azon feltételek összessége, amelyek teljesülése esetén a mondat igaz, s konkrétan akkor igaz egy állítás, ha ezek a feltételek teljesülnek, mert a reprezentált tényállás valóban fennáll. Az ‘esik az eső’ mondat akkor és csak akkor igaz, ha esik az eső. A logikában az igazságértéket azonban az elvont kategóriaként kezeljük azért, hogy segítségével „kiszámolhassuk” a vizsgált következtetések helyességét.

Logikai szemantika Az igazságfüggvények éppen olyanok tehát mint például az összeadás, csak nem számokkal dolgozunk, hanem igazságértékekkel (az igazzal és a hamissal). Aritmetika: ‘+’ függvényjel, amely azt a kétargumentumú összeadásfüggvényt jelöli, amelynek szabálya a következő: „a kimenet a bemenetek számértékeinek összege”. 1+2 = 3 Lényegében ezt fogjuk mi is csinálni.