Függvényjelek (function symbols) (névfunktorok) FOL-ban Névfunktor: olyan kifejezés, amelynek argumentumhelyeire neveket vagy in- változókat lehet írni és az eredmény is név (deskripció). Példák: … anyja, … + ___ Egy n-argumentumú névfunktor tekinthető egy n+1 argumentumú predikátum átírásának. Pl. azt, hogy Pista anyja Márta néni, névfunktor alkalmazásával így fordíthatjuk egy alkalmas FOL-ba: anyja(pista) = mártanéni Kétargumentumú predikátummal meg így: Anyja(mártanéni, pista) x + y = z kifejezésére is alkalmazhatunk egy háromargumentumú predikátumot:  (z, x, y) Nyilván nem minden többargumentumú predikátum tekinthető függvény kifejezésének. Pl: Szülője(x, y) [x szülője y-nak] szülője(y) = x ????

Ahhoz, hogy egy kétargumentumú R predikátum függvényt fejezzen ki, az kell, hogy bárhogyan töltsük is ki a második argumentumát, az elsőnek egy és csak egy olyan értéke legyen, amelyre a reláció fennáll:  x  y  z(R(z, x)  z=y) Ekkor értelmezhetünk egy olyan f függvényt, amelyre y=f(x)  R(y, x) Röviden: a predikátum által kifejezett reláció legyen az első argumentumában egyértékű. Az ilyen predikátumok függvényszerűek [functional]. HF: 11.29

Fitch-szabályok a kvantifikációelméletben (FOL-ban) = Intro c = c. = Elim “a=b”-ből és F(a)-ból F(b)-re. Kvantorokra vonatkozó szabályok:  Elim (Univerzális megjelenítés, UI) Ha van a bizonyításunkban egy “  xS(x)” alakú sor, c pedig tetszőleges név, a bizonyítás folytatható “S(c)”-vel.  Intro (Egzisztenciális általánosítás, EG) Ha van a bizonyításunkban egy “S(c)” alakú sor és nem fordul elő benne az x változó, akkor folytathatjuk “  xS(x)”-szel.

 Elim (Egzisztenciális megjelenítés, EI) Először a gondolatmenet: Van egy “  xF(x)” alakú premisszánk. Tehát az univerzumban van olyan individuum, amelyik F. Nevezzük el c-nek. Tehát : F(c). De nem tételezhetjük fel semelyik individuumról, amelyikről már szó volt a bizonyításban, hogy éppen ő az F tulajdonságú. Ezért c-nek új konstansnak kell lennie. (Ez nem zárja ki, hogy már volt szó az illető in-ról.) Példa:  x(LeftOf(b,x)  Cube(x))  xLeftOf(b,x) LeftOf(b,c)  Elim: „Legyen a neve c!” LeftOf(b,c)  Cube(c)  Elim Cube(c)  Elim  xCube(x)  Intro

 -bevezetés (univerzális általánosítás, UG) Bizonyítsuk be a BARBARA szillogizmust:  x(F(x)  G(x))  x(G(x)  H(x))  x(F(x)  H(x)) Vegyünk egy tetszőleges F-et (egy individuumot, amelyik F) Legyen az ő neve c. Tehát azt tudjuk, hogy F(c). UI- val az első premisszából: F(c)  G(c) Ebből a kettőből leválasztással: G(c) UI a második premisszára: G(c)  H(c) Ebből egy újabb leválasztás: H(c) Most jön a lényeg: Mivel c egy tetszőleges F volt, beláttuk, hogy bármi, ami F, az H is. Ez pedig éppen a konklúzió.

Általánosságban: Azt akarjuk bizonyítani, hogy  x(P(x)  Q(x)). Tekintsünk egy tetszőleges P-t, nevezzük el c-nek. Ez azt jelenti, hogy P(c)-t felvehetjük premisszának. Vezessük le ebből és a többi premisszából Q(c)-t. Ha ez sikerül, akkor - mivel c egy tetszőleges P volt, levonhatjuk, mint konklúziót, hogy bármi, ami P, az Q is. Ez az eljárás a general conditional proof. De lehet tovább általánosítani: Bizonyítani akarjuk, hogy  xP(x). Választunk az univerzumból egy tetszőleges objektumot, nevezzük c-nek. Vezessük le P(c)-t. Mivel c tetszőleges objektum volt, ebből általánosíthatunk  xP(x)-re. Ez a bizonyítási módszer az univerzális általánosítás (UG). Ez lesz az univerzális kvantor bevezetési szabálya. értsd: egy P tulajdonságú, de különben tetszőleges individuumot