© Farkas György : Méréstechnika MÉRÉSI HIBA II.

A hiba valószínűségi változó © Farkas György : Méréstechnika A hiba valószínűségi változó Ilyenkor a hiba mértéke elvileg megadható: a/  abszolút értékének átlagával -elvileg lehetséges, de számolni célszerűtlen b/ a 2 szórással -matematikailag korrekt, de nehézkes alkalmazni c/  H hibakorláttal gyakorlatilag ez a járható út, de ehhez további fogalmakat kell bevezetni.

A hiba valószínűségi változó © Farkas György : Méréstechnika A hiba valószínűségi változó A mérés végeredménye a mérés-sorozat átlaga (számtani közép): m y = 1/m  xi i = 1 A hozzá rendelhető hibakorlát intervallum, amelyhez egy valószínűségi szint KONFIDENCIASZINT tartozik. Nagy konfidencia-intervallum szélesebb hibakorlátot jelent, és ehhez nagyobb konfidencia-szint tartozik. A konfidencia intervallum és szint kapcsolata a szórásból meghatározható.

A konfidencia szint és intervallum kapcsolata © Farkas György : Méréstechnika A konfidencia szint és intervallum kapcsolata A konfidenciaszint : K = Pr [Ha    Hf] Szimmetrikus az intervallum: Hf = - Ha = H. Ha m mérést végzünk és n  m esetben nagyobb a hiba mint a konfidencia intervallum, azaz j> H, akkor a „jó” mérési eredmények aránya: (m-n) / m A konfidenciaszint : K= lim [(m-n) / m], ha m   .

A konfidencia szint és intervallum kapcsolata a szórással © Farkas György : Méréstechnika A konfidencia szint és intervallum kapcsolata a szórással A szórásnégyzet (2) közelítése: S2 =  i2, lim S2 = 2 , ha m   1 m i=1 S2   i2 , ha a szumma j-re : j2 > H2 1 m j S2 > (n / m) H2 ha m   2 > (1-K) H2

A konfidencia szint és intervallum kapcsolata a szórással © Farkas György : Méréstechnika A konfidencia szint és intervallum kapcsolata a szórással H2 / 2 < 1 / (1-K) (Csebisev tétel) Feltétek: - létezik átlag és szórás (a gyakorlatban mindig) - nem ismert az eloszlás (a gyakorlatban sokszor). Ha az eloszlás ismert, akkor ennél kedvezőbb a helyzet (adott intervallumhoz nagyobb konfidenciaszint tartozik).

© Farkas György : Méréstechnika Példa a konfidenciaszint és intervallum kapcsolatára a Csebisev tétel alapján H2 / 2 < 1 / (1-K) H /  1 2 3 4,5 10  K 0 0,5 0,75 0,89 0,95 0,99 1

Ismert eloszlás esetén jobb a helyzet © Farkas György : Méréstechnika Ismert eloszlás esetén jobb a helyzet Normális (Gauss) eloszlás esetén: H /  0,67 1 1,96 3 K 0,5 0,68 0,95 0,997 Egyenletes eloszlás esetén: H /  0,87 1 1,5  K 0,5 0,58 0,87 1,0

Abszolút hiba - relatív hiba © Farkas György : Méréstechnika Abszolút hiba - relatív hiba A hibát (,) és a határértékét (H) megadhatjuk abszolút értékével. Ebben az esetben a hiba dimenziója azonos a mért mennyiségével. (V, A, MHz stb.). Gyakoribb azonban a relatív értékmegadás. Ebben az esetben a hibát a mért értékre (x) nem a valódi értékre (v) kell vonatkoztatni. A relatív hibakorlát h = H / x h dimenziója = (1)

© Farkas György : Méréstechnika Egy fontos példa A feszültségmérő terheli a mérendő áramkört. Ez kiszámítható értékű determinisztikus hibát okoz. v = U0 és x = Um H = Um - U0 itt (H<0) h = H / Um Um = U0 Rm / (R0 + Rm) Um - U0 = - U0 R0 / (R0 +Rm) h = - R0 / Rm Um Rm R0 U0

Néhány szokásos relatív hibaérték: © Farkas György : Méréstechnika Néhány szokásos relatív hibaérték: Feszültségmérés 10-2…10-7 Árammérés 10-1…10-6 Ellenállásmérés 10-2…10-7 Frekvenciamérés 10-3…10-13 Időmérés 10-3…10-13 Megjegyzés: 1 másodperc/év  10-8

A hiba és a mért érték kapcsolata analóg műszerekben © Farkas György : Méréstechnika A hiba és a mért érték kapcsolata analóg műszerekben A/ Az abszolút hiba H állandó, a relatív hiba h=H/x a mért értékkel fordítottan arányos. B/ A relatív hiba h állandó, H = h x, az abszolút hiba a mért értékkel arányos. C/ A hiba egy állandó H és egy állandó h összege. D/ A hibát egy állandó H és h értéke közül a nagyobb határozza meg. C/ és D/ esetben az eredőt H(x) vagy h(x) formára alakítva számítjuk.

A/ Az abszolút hiba, H állandó © Farkas György : Méréstechnika A/ Az abszolút hiba, H állandó Ekkor a relatív hiba h = H / x fordítottan arányos a mért értékkel, tehát a műszer D kitérésével. (A kitérés: D = (0,1). A végkitérés, ”full”: DF = 1. A mérőműszer végkitérésében a hiba a legkisebb: h (D=1) = hF = H / xF , egy adott kitérésben: h (D) = hF / D Pl. egyharmad - kitérésben: h (D=1/3) = 3 hF a skála nullapontjánál: h (D=0)   Ezért mindig a legérzékenyebb méréshatárt választjuk.

A/ Az abszolút hiba, H állandó © Farkas György : Méréstechnika A/ Az abszolút hiba, H állandó h h = hF / D H hF D 0,5 1

A/ Az abszolút hiba, H állandó © Farkas György : Méréstechnika A/ Az abszolút hiba, H állandó A D < 1/3 szakaszt nem használjuk, ha a méréshatárok szekvenciája a szokásos 1 – 3 – 10 - 30… h 3hF 2hF h   , ha D  0 hF D<1/3 D D=1 D=1/3 D =1/2

© Farkas György : Méréstechnika Pontossági osztály Pontossági osztály definíciója: 100 hF [%]. Feltétel: H= állandó. Laborműszerek: 0,01 - 0,02 - 0,05 - 0,1 - 0,2 - 0,5 Üzemi műszerek 0,5 - 1 - 1,5 Durva szerviz műszerek: 2,5 - 5

B/ A relatív hiba, h állandó © Farkas György : Méréstechnika B/ A relatív hiba, h állandó H H = h x h x

C/ A hiba egy állandó H1 és egy állandó h2 összege © Farkas György : Méréstechnika C/ A hiba egy állandó H1 és egy állandó h2 összege Heredő H2 = h2 x H eredő= H1 + H2 H1 x

C/ A hiba egy állandó H1 és egy állandó h2 összege © Farkas György : Méréstechnika C/ A hiba egy állandó H1 és egy állandó h2 összege Heredő= H1 + h2 x heredő vagy h1= H1 / x h2 és így h1 heredő = h1 + h2 x

D/ A hibát állandó H1 és h2 értéke közül a nagyobb határozza meg. © Farkas György : Méréstechnika D/ A hibát állandó H1 és h2 értéke közül a nagyobb határozza meg. H  H1 H1 h  h2 h2 H2 = h2 x x

D/ A hibát állandó H1 és h2 értéke közül a nagyobb határozza meg. © Farkas György : Méréstechnika D/ A hibát állandó H1 és h2 értéke közül a nagyobb határozza meg. Heredő H  H1 H1 h  h2 h2 H2 x H2 = h2 x H1 a nagyobb h2 a nagyobb