Többtényezős ANOVA

Gyakorlati probléma a virágzó és nemvirágzó Solidago tövek magasságát akarjuk összehasonlítani egy száraz és egy nedves termőhelyről is vannak adataink várható, hogy a termőhely is befolyásolja a magasságot

Egyszerű,de rossz megoldások nem vesszük figyelembe a termőhelyet megnő a csoporton belüli szórás  csökken a próba ereje külön végezzük el az összehasonlítást a két termőhelyen nő az elsőfajú hiba valószínűsége nem tudunk általános törvényszerűségeket megállapítani

A jó megoldás kéttényezős (two-way) ANOVA

A próba feltételei a vizsgált értékek független valószínűségi változók az értékek normális eloszlásúak, a várhatóértékük függhet a kezelések szintjétől, de a szórásuk azonos

Az eltérésnégyzetösszeg felbontása SQT=SQA+SQB+SQAB+SQE SQT = az adatok eltérése a főátlagtól SQA = az A faktor szerinti csoportok (pl. viragzó-nem virágzó) eltérése a főaátlagtól SQB = az B faktor szerinti csoportok eltérése a főaátlagtól SQAB = az Aés B faktorok kombinációi szerinti csoportok átlagának eltérése attól, amit az A és B szerinti csoportok átlagainak a főátlagtól való eltérése alapján várunk (lásd következő dia) SQE = az A és B faktorok kombinációi szerinti csoportokon (pl. nedves hely-virágzó) belül az adatok eltérése a csoportátlagtól

A és B faktor kombinációi szerinti csoportok várt átlagai B faktor szerinti csoportok átlagai A faktor szerinti csoportok átlagai főátlag

Nullhipotézisek az A faktor szerinti csoportok várhatóértékei megegyeznek az B faktor szerinti csoportok várhatóértékei megegyeznek Az A és B faktor hatása összeadódik (nincs interakció)

Interakció Először mindig azt teszteljük, hogy van-e szignifikáns interakció Ha biztos nincs (p>0.25), akkor érdemes ezt a tagot kivenni a modelből, mert így jobb becslést kapunk a hibára  nő a próba ereje Ha van szignifikáns interakció, akkor mindhárom nullhipotézist elvetjük

A szignifikáns interakció jelentése az egyik faktor hatását befolyásolja a másik faktor szintje Például: a virágzó és nem virágzó tövek átlagos magassága közötti különbség más a száraz és a nedves helyen a száraz és a nedves hely közötti különbség mértéke attól függ, hogy virágzó vagy nem virágzó töveket vizsgálunk

A szignifikáns interakció jelentése

Példa arra, amikor az interakció szignifikáns, de a főhatások nem

Post hoc összehasonlítások ha van szignifikáns interakció: a faktorokat kombinálva létrehozunk egy új változót és azzal csinálunk egytényezős ANOVA-t, majd post hoc tesztet ha nincs szignifikáns interakció az egyes faktorokra külön-külön csinálunk post hoc tesztet a másik faktort csak a próba erejének növelése céljából vesszük figyelembe

Kísérlet tervezési tanácsok minden kezeléskombináció valósuljon meg  teljes faktoriális elrendezés (full factorial design) minden kombinációból ugyanannyi ismétlés legyen  kiegyenlített elrendezés (balanced design) ha kezeléskombinációnként csak 1 ismétlés van nem tesztelhetjük, hogy van-e interakció, fel kell tételeznünk, hogy nincs a nem szignifikáns eredményt az is okozhatja, hogy mégis van interakció

Egy fix és egy random faktor Általános iskolai tanulók matematika tudása és a szüleik iskolai végzettsége közötti összefüggést akarjuk vizsgálni Valószínűleg a matematika tanár személye is számít, ezért kéttényezős ANOVA-t csinálunk a szülők iskolai végzettsége (A faktor) fix faktor, mert szintjeit mi állapítjuk meg a matematika tanár személye (B faktor) random faktor, a lehetséges értékek halmazából választunk néhányat

Nullhipotézisek az A faktor szerinti csoportok várhatóértékei megegyeznek az B faktor szerinti csoportok várhatóértékei megegyeznek Az A és B faktor hatása összeadódik (nincs interakció)

Blokk, mint random faktor egy műtrágyázási kísérletet állítunk be, de nem fér el az összes parcella egy táblán, ezért 3 szántón végezzük a kísérletet a tábla itt egy random faktor az ilyen típusú random faktorokat blokk-nak szoktuk nevezni gyakori, hogy a blokkon belül a kezelés minden szintjéből csak egy van feltételezzük, hogy nincs interakció a blokk és a vizsgált tényező között

Bonyolultabb kísérleti elrendezések minden kísérleti elrendezéshez meg lehet találni a megfelelő ANOVA modellt ne értékeljünk ki egy összetett kísérletet úgy, mintha több egyszerűbbet csináltunk volna ne csináljunk bonyolultabb kísérletet, mint amilyet a kérdésünk indokol