Alapfogalmak

Modell Biológiailag értelmezett matematikai összefüggés a statisztikai elemzésnél is MINDIG modellekkel dolgozunk

Fix változó: értékét mi állítjuk be, ezért pontosan ismerjük. Pl Fix változó: értékét mi állítjuk be, ezért pontosan ismerjük. Pl. műtrágya adag, mérés időpontja A fix változókat X-el, ha több van X1, X2 stb.-vel fogjuk jelölni. Random változó: értékét mérjük, de nem kontroláljuk, ezért azt véletlen hatások is befolyásolják. A random változókat Y-nal fogjuk jelölni.

Kísérlet: valószínűségszámításban és statisztikában minden megfigyelést kísérletnek nevezünk. A kísérlet eredménye egy érték, vagy érték-többes. Ezt nevezzük a kísérlet kimenetelének. Véletlen kísérlet: olyan kísérlet, amelynek kimenetele rögzített feltételek között is bizonytalan.

Elemi esemény: a véletlen kísérlet egy lehetséges kimenetele Eseménytér: az elemi események halmaza Esemény: az eseménytér egy részhalmaza Két esemény egymást kölcsönösen kizárja, ha soha nem következnek be egyszerre. Az elemi események mindig egymást kizáró események.

A valószínűségszámítás axiómái 1. Egy adott  eseménytér minden A eseményéhez tartozik egy P(A) szám, amelyet az A esemény valószínűségének nevezünk, ha 2. A biztos esemény valószínűsége 1; azaz P()=1. 3. Ha A és B egymást kölcsönösen kizáró események, akkor P(A vagy B)=P(A)+P(B). Megjegyzések: Axióma: olyan állítás, amelynek igazságtartalmát nem vizsgáljuk. Ebből vezetjük le a többi állítást (a tételeket). Bár a valószínűségszámítás alapjait Pascal és Fermat rakta le a XVII. század közepén , axiómáit csak 1933-ban publikálta Kolmogorov

Ajánlott irodalom Rényi Alfréd: Dialógusok a matematikáról http://mek.oszk.hu/00800/00856/ Rényi Alfréd: Levelek a valószínűségről http://mek.oszk.hu/00800/00859/ Reimann József és Tóth Julianna: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika

Kolmogorov axiómái a valószínűség többféle definiálását is lehetővé teszik A leggyakrabban használt ezek közül a relatív gyakoriságon alapuló definíció Mi az erre épülő frekventista vagy Fischeriánus statisztikával foglalkozunk, de vannak más statisztikai rendszerek is.

Gyakoriság, relatív gyakoriság Ha egy kísérletet azonos körülmények között n-szer megismételünk, és az A esemény k-szor következik be, akkor a k számot az A esemény gyakoriságának, a k/n hányadost pedig az A esemény relatív gyakoriságának nevezzük.

Valószínűség Egy esemény valószínűsége az a számérték, amely körül egy esemény relatív gyakorisága ingadozik.

A valószínűség meghatározása Klasszikus valószínűségi mező: minden elemi esemény egyformán valószínű Az elemi események valószínűsége: 1/elemi események száma Nem elemi esemény valószínűsége: a „kedvező” elemi események száma/az összes elemi esemény száma

Valószínűségi változó Olyan random változó, amelynek lehetséges értékei számok. Ha az elemi események mindegyikéhez egyértelműen hozzárendelünk egy számot, azaz az eseménytéren egy függvényt értelmezünk, ezzel megadunk egy valószínűségi változót.

Valószínűségeloszlás A valószínűségi változó lehetséges értékei és hozzájuk tartozó valószínűségek közötti összefüggést valószínűségeloszlásnak nevezzük. A valószínűségeloszlás lehet diszkrét: ha a valószínűségi változó lehetséges értékei a számegyenesen nem folytonosan helyezkednek el (pl. egész számok). folytonos: ha a valószínűségi változó lehetséges értékei a számegyenesen folytonosan helyezkednek el

Milyen eloszlásokról fogunk tanulni? diszkrét eloszlások egyenletes eloszlás binomiális eloszlás hipergeometrikus eloszlás Poisson eloszlás folytonos eloszlások exponenciális eloszlás normális eloszlás normális eloszlásból levezethető eloszlások: khi2-, F- és t-eloszlás

Diszkrét egyenletes eloszlás Kockadobásnál a lehetséges értékek 1, 2, 3, 4, 5 és 6. Az Y=dobott érték valószínűségi változó a lehetséges értékek mindegyikét egyforma valószínűséggel veszi fel.

A valószínűségeloszlás jellemzői Eloszlásfüggvény Várható érték Szórás Ferdeség (skewness) Csúcsosság (kurtosis)

Eloszlásfüggvény

Várhatóérték Egy olyan számérték, amelyhez a kísérlet egymás utáni végrehajtása során nyert számértékek számtani átlaga konvergál, ha a kísérletek száma minden határon túl növekszik.

Várhatóérték diszkrét valószínűségi változó esetén Jelöljük az Y valószínűségi változó lehetséges értékeit a1, a2,…,ai,…,an-nel. Y várhatóértéke E(Y)

Várhatóérték tulajdonságai

Variancia, szórás A várhatóérték körüli ingadozás mértékét fejezi ki. A variancia (D2) a várhatóértéktől vett eltérés négyzetének a várhatóértéke A szórás a variancia négyzetgyöke

Variancia tulajdonságai

Ferdeség 1=0 szimmetrikus eloszlás 1<0 balra ferde (left tail) eloszlás 1>0 jobbra ferde (right tail) eloszlás

Csúcsosság 2=0 a normális eloszlással azonos csúcsosság 2<0 a normális eloszlásnál lapultabb 2>0 a normális eloszlásnál csúcsosabb