Várhatóértékre vonatkozó próbák

Egymintás t-próba

A próba célja az alapsokaság várhatóértékének az összehasonlítása egy elméleti értékkel a mintaátlag (az alapsokaság várhatóértékének becslése) alapján

A próba feltételei a valószínűségi változó normális eloszlású a szórást a mintából becsüljük (ezért nem használható az egymintás u-próba)

A próba elméleti háttere Ha Y=N(m,s), akkor és

A próba elméleti háttere 2. Használjuk az alapsokaság szórása helyett annak becslését! végezzük el a következő átalakítást

A próba elméleti háttere 3. A becsült szórásnégyzet eloszlása átalakítva

A próba elméleti háttere 4. Ez az n-1 szabadsági fokú (Student-féle) t-eloszlás

A t-eloszlás szimmetrikus nullára, ezért H0: m=m0 Ha H0 igaz, akkor a valószínűségi változó n-1 szabadsági fokú t-eloszlású A t-eloszlás szimmetrikus nullára, ezért kétoldali próbánál a próbastatisztika abszolultértékét használjuk, egyoldali próbánál az elsőfajú hiba valószínűsége fele akkora, mint kétoldali próbánál

Egy konrét példa Az adatok: 1.2; 3.6; 2.8; 0.7; 1.9 m0=2

Kétmintás t-próba

A próba célja két alapsokaság várhatóértékének az összehasonlítása a mintaátlagok (az alapsokaságok várhatóértékeinek becslése) alapján

A próba feltételei a valószínűségi változók normális eloszlásúak a szórást a mintából becsüljük a két valószínűségi változó szórása azonos a mintaelemek függetlenek

A próba elméleti háttere Ha Y1=N(m1,s) és Y2=N(m2,s), akkor

A próba elméleti háttere 2. Ha m1=m2, akkor

A próba elméleti háttere 3. A szórásnégyzet becslésére a két minta becsült szórásnégzetének szabadsági fokkal súlyozott átlagát használjuk: A kapott próbastatisztika n1+n2-2 szabadsági fokú t-eloszlású, ha m1=m2

H1 (egyoldali) m1>m2 vagy m1<m2 H0: m1=m2 H1 (kétoldali): m1m2 H1 (egyoldali) m1>m2 vagy m1<m2 A t-eloszlás szimmetrikus nullára, ezért kétoldali próbánál a próbastatisztika abszolultértékét használjuk, egyoldali próbánál az elsőfajú hiba valószínűsége fele akkora, mint kétoldali próbánál

A próba ereje A próba ereje nő, ha csökken a minták varianciája nő az elemszám ha n1+n2 konstans, a próba ereje akkor maximális, ha n1=n2

Welch-próba Ha a két minta varianciája nem azonos, alkalmazhatjuk a Welsch közelítést A próbastatisztika Ha a null-hipotézis igaz a próbastatisztika közelítőleg t-eloszlású a szabadsági fok függ a varianciák közötti különbségtől is

F-próba

Gyakorlati probléma t-próbát szeretnénk végezni, de nem vagyunk biztosak benne, hogy a két eloszlás varianciája azonos

A próba célja Két variancia összehasonlítása a mintából kapott becslések alapján

A próba feltételei a valószínűségi változók normális eloszlásúak

A próba elméleti háttere A becsült szórásnégyzet eloszlása A két becsült szórásnégyzet hányadosának eloszlása

A próba elméleti háttere 2. Az valószínűségi változó n1-1, n2-1 szabadsági fokú F eloszlású Ha , akkor az próbastatisztika F eloszlású valószínűségi változó

H0: H1 (kétoldali): H1 (egyoldali): a próbastatisztika: az F-eloszlás nem szimmetrikus, ezért a próbastatisztika H1 (egyoldali): a próbastatisztika:

Páros t-próba

Gyakorlati probléma Vérnyomáscsökkentő gyógyszer hatékonyságát vizsgáljuk Amikor kezelt és kontrol csoportra osztottuk a pácienseket, mind a két csoportban nagyon nagy volt a szórás, így túl kicsi volt a próba ereje Az új kísérletben a gyógyszer adása előtt és után is megmérjük a páciensek vérnyomását A mért értékek nem függetlenek (páronként összetartoznak) ezért nem végezhetünk kétmintás t-próbát

A próba célja két valószínűségi változó várhatóértékének összehasonlítása a mintaátlagok alapján, ha a változók értékei nem függetlenek, mert páronként összetartoznak

A próba feltételei Az adatok normális eloszlásúak A vizsgált változókon belül az értékek függetlenek egymástól A két változó értékei párokat alkotnak (nem függetlenek)

A próba elméleti háttere Ha Y1=N(m1,s1) és Y2=N(m2,s2), akkor d=Y1-Y2 is normális eloszlású valószínűségi változó A d valószínűségi változó mintabeli értékei függetlenek egymástól Ha m1-m2=0, akkor E(d)=0, ezért az utóbbit ellenőrizzük egymintás t-próbával

Feladat Teszteljétek azt a hiptézist, hogy a második gyermek születéskori testtömege meghaladja az elsőét! első gyermek 3490 3440 3300 3170 3260 3580 3250 2870 3020 3030 második gyermek 3840 3520 3420 3480 4030 3230 3010 3100