ÁRAMLÓ FOLYADÉKOK EGYENSÚLYA Statikus Dinamikus Ft Tehetetlenségi erő : Áramló folyadékelemekre is érvényes NEWTON II. axiómája . Tehetetlenségi erő általános megfogalmazása:

dm=0 F = a ha a tehetetlenségi erő m = 1 = állandó esetben a fajlagos tehetetlenségi erő F = a Kérdés:

Egyszerűsítés: csak egyméretű áramlást vizsgálunk ahol a tömeg: s=mozgás pályája triéder z y x x y z vx Gyorsulás: -időbeli un. lokális -áramlásos un. konvektív

HELYI /LOKÁLIS/ SEBESSÉGVÁLTOZÁS (gyorsulás) vx  vx t t

KONVEKTÍV ún. ÁRAMLÁSOS GYORSULÁS (az áramlás irányának megváltozásából) vx  vx x x

Útváltozás szerinti differenciál hányados Kis x-nél

Differenciális tömegtranszport egyenlet (anyagtranszport m=1) (egyszerűsített alak)

Tehetetlenségi erő: X irányban: Vektortérben vx sebesség y,z irányú változásával is foglalkozni kell, így a vx sebesség teljes változása: Matematikai szimbólumokkal felírva: ahol

vy sebességváltozása komponensekkel vz sebességváltozása

Derivált tenzorral kifejezve Teljes differenciális transzport egyenlet azaz a gyorsulásvektor. derivált tenzor mátrixa x,y,z koordináta rendszerben

A konvektív gyorsulás mátrix alakja: Tehetetlenségi erő:

ERŐTÉRBŐL SZÁRMAZÓ ERŐ: Tömegegységre ható térerő x,y,z irányban: m tömegre ható erő

Vektoriális alak Térerősség vektor

Gravitációs erőtérben ha: z x g ha: g z x

Nyomáskülönbségből származó erő: Nyomásváltozás x irányba nő y x z y x

p p  Kis x esetén igaz, hogy x x

A nyomásból származó erő a nyomásnövekedés irányával ellentétesen hat -munkát kell befektetni a legyőzéséhez. Erővektor

Súrlódásból származó erő: (Csak valóságos folyadékoknál) Ismert: A valóságos folyadékok rétegei között az áramlás irányára merőlegesen változó csúsztató feszültség jön létre, mely a rétegek sebessége változásaként jelenik meg.

z y x x-y sík z y x vx

 Csúsztató feszültség változása áramlásra merőlegesen Kis y esetén y    +   y y x vx Csúsztató feszültség változása áramlásra merőlegesen Kis y esetén

A csúsztató feszültség y irányú változása súrlódó erőt ad Newton súrlódási törvénye alapján y x-y sík z x y x vx

Általánosítva a vx sebességváltozásából adódó súrlódó erő: Az y és z irányú sebességek változásából adódó súrlódó erők: Vektortérben Laplace-operátorral kifejezve:

A Laplace - operátor kifejezhető a nabla vektor saját magával való skaláris szorzatával Nabla- vagy differenciál- vagy Hamilton-operátor Laplace - operátor

Erők egyensúlya: Vektortérben Komponensekkel kifejezve x irányban

y irányban z irányban

A továbbiakban az x irányú erőket vizsgáljuk. egységtömeg esetén az x irányú egyensúlyi egyenlet mindkét oldalát osztjuk -val. Navier-Stokes-egyenlet inkompresszibilis súrlódásos közegekre (x koordináta irányában)

y és z irányban : y… z… Megjegyzés: A differenciálegyenlet a súrlódásos tag miatt másodrendű , így analitikai megoldást csak egyszerűbb esetekben kapunk. Vizsgáljuk meg néhány egyszerűbb esetet.

Hidrosztatika (nyugvó folyadékok egyensúlya) feltétel: vx=0 ; vy=0 ; vz=0

Eredmény: x irányban A tér másik két irányában:

1.Nyugvó folyadékok egyensúlya nehézségi erőtérben. irányával ellentétes koordinátarend- szerben 1.1. z g p1=p0 1 z1=z1-z2=z z2=0 2

z g p1=p0 1 z1=z1-z2=z z2=0 2 p1=p0 z2=0

z g p1=p0 1 z1=z1-z2=z z2=0 2 z  p p0 p2

és 1.2. irányával azonos koordinátarend- szerben p1=p0 z1=0 1 z2-z1=z2= z 2 g z

p1=p0 1 2 z1=0 z g z2-z1=z2= z p1=p0 z1=0

p1=p0 p 1 z1=0  z2-z1=z2= z 2 p0 g p2 z

1.3. Nem keveredő eltérő sűrűségű folyadékok esetén. p1=p0 z1=0 z2 z3 1 1 2 3 z z1 z2 2 p0 p1 p2 p3 p 2> 1

1.4. U-csöves manométer 3 p1=p0 1 2 pk p1=p2=pk z1=0 z2 z3 z p0 p3 p g jobb oldali ág bal oldali ág

3 p1=p0 1 2 pk p1=p2=pk z1=0 z2 z3 z z1 z2 Jobb oldali ág:

Baloldali ág: 3 p1=p0 1 2 pk p1=p2=pk z1=0 z2 z3 z z1 z2 Összevetve: ! Tanulság: Elegendő az azonos nyomású (potenciálú) pontoknál az egyensúly vizsgálata.