Ideális folyadékok időálló áramlása Dr. Szőke Béla JPTE Pollack Mihály Műszaki Főiskolai Kar

Navier-Stokes egyenlet

Vizsgálat feltételei: - Stacionárius (időálló) - Ideális közeg - Örvénymentes - Inkompresszibilis

A feltételek alapján az Euler egyenletet. x komponens irányában: y komponens irányában: z komponens irányában: …

Feltételeket tovább szűkítve: Egy méretű áramlás esetén: I. Euler egyenlet:

Azaz az előző feltételek esetén az egységtömegre ható erők áramvonal menti változásának összege nulla. 1 2

Megoldva a differenciál egyenletet:

Behelyettesítve: Általánosan:

Általános jellemzőkkel, és felfelé irányított z koordináta rendszerben a potenciál: x

x z y Z1 Z2

Bernoulli egyenlet Bármely pontra igaz m tömeg esetén: Helyzeti energia (Eh) Nyomási energia(Ep) Mozgási energia(Em)

Áramvonal mentén az energiák összege állandó p2 Áramvonal mentén az energiák összege állandó Em+Ep+Eh=áll. A2 v2 v1 p1 2 A1 1 z1 z2 Em+Ep+Eh=áll.

I. Helyzeti energia (Eh) Nyomási energia(Ep) Mozgási energia(Em) J/kg g-el osztva az energia egyenletet:

II. Geometriai magasság Nyomó magasság Sebességi magasság m ·g-el osztva a magasság egyenletét

Hidrosztatikus nyomás Nyomási nyomás Dinamikus nyomás III. Hidrosztatikus nyomás Nyomási nyomás Dinamikus nyomás Pa

Megjegyzés: Folyadékok vízszintes áramlása esetén Dz=0, z=áll. gázok nem nagy szintkülönbségű áramlásánál Dz kicsi => Dz~0 és r=áll. esetén g·r·(z2-z1) változása elhanyagolható.

Folyadék vízszintes áramlása és gázok esetén a Bernoulli-egyenlet: Össznyomás Statikus nyomás Dinamikus nyomás

Alkalmazások z p1>p0 p1 A1 1 v1 h z1 v2 p2=p0 2 z2 A2

Felül nyitott tartály esetén z p1=p0 A1 1 v1 h z1 v2 p2=p0 2 z2 A2

Áramlás konfuzorban, diffuzorban 1 2 v1 v2 A1 A2 p1 p2

z1 z2 1 2 v1 v2 A1 A2 p1 p2 A1>A2 v2>v1 Dz=0

Kontinuitás: v1A1=v2A2 A1 v1 v2 1 2 p2 p1 A2 z1 z2

Folyadékáram mérésére alkalmas: 1 2 A2 z

Ideális folyadék nem időálló (instacionárius) áramlása

Egyméretű vx áramlás esetén: 1 2 p1 p2 v1 v2 A1 A2 z1 z2 x z1=z2 v1=v2 A1=A2 Egyméretű vx áramlás esetén:

v1 = v2 Bernoulli egyenlet Időálló áramlásnál Dz=0 Instacionárius áramlásnál v1 = v2

hogy igen nagy nyomások alakulnak ki. Zárás esetén a=-a lassulás p2>p1 Nyitás esetén a=a gyorsulás p2<p1 Gyors zárásnál: és , L 1 2 p1 p2 v1 v2 A1 A2 z1 z2 x akkor Nagy L esetén alapján látható, hogy igen nagy nyomások alakulnak ki.

Bernoulli egyenlet valóságos folyadékoknál

Valóságos folyadéknál a súrlódásból veszteség keletkezik.

Általánosan p2 A2 v2 v1 p1 2 A1 z1 z2 1 Dpv

Pa p1=p2+Dpv Speciális helyzetben: z1=z2, v1=v2, A1=A2 x 1 2 A1 A2 z1 z2 z1=z2, v1=v2, A1=A2 p1=p2+Dpv A nyomásveszteség a folyadék mozgási energiájával arányos Pa

Körkeresztmettszetű cső esetén: l=csősúrlódási tényező