Makai M.: Transzport51 A koordinátázás kérdése Ha a világban meg kell adni egy helyet: fizikai koordináták (x,y,z) (origó és egység) postai címzés pl. R. ép. 317 szoba, BME, Budapest Műegyetemrakpart 3 Ez utóbbi módszer igen elterjedt, lényege: cím:=(s 1,s 2,s 3,…), ahol s i  S i és az S i hamazok hierarchiát alkotnak. Amennyiben S3S3 S1S1 S2S2 ez a leírás matematikailag korrekt.

Makai M.: Transzport52 A hierarchikus koordinátázásnak a fizikában is van szerepe, pl. a kétszer periódikus szerkezetek így könnyen leírhatóak. 1,Szabályos rács, benne egy másik szabályos rács (elemi cella, makro- cella). Ebben a szerkezetben egy rácshely megadható a makrocella indexével és a rácshely indexével a makrocellában. A koordinátázás ebben az esetben pl.: (x 1,y 1,x 2,y 2 ). 2, Sík leírása kierarchikus koordi- nátákkal Első lépés: definíció: házhely H 00 :={(x,y),0  x  10; 0  y  10}. Definíció: falu F 00 :={H ij, 0  i  10; 0  j  10}. Definíció: megye: M:={F mn, 0  m  10; 0  n  10}, stb.

Makai M.: Transzport53 Ebben a leírásban egy pont megadásához egy számsor tartozik: (x M, y M, x F,y F, x H, y H, x, y). Mi értelme van? Könnyen eldöthető, hogy egy összefüggés milyen szintre vonat- kozik. Ebben a koordinátázásban elválaszthatóak az egyes szintek ese- ményei, követhető a hierarchia. A Hilbert-módszerhez illeszkedő koordinátázás ahol

Makai M.: Transzport54 Itt t n és r n más térbeli ill. időbeli skálát jelent ahogyan n változik. Ez a ház-falu-megye elválasztásnak felel meg. A különféle skálák jelenlétét ellenőrizni lehet, ha nem egy struktúra nélküli közeget vizsgálunk, hanem pl. térben periódikus közeget. Ekkor azt kell látnunk, hogy az n>1 skálák függetlenné válnak a periodicitástól. Erre alkalmas példát a szilárd testek elméletében találunk. Egy kristályrácsban a szabad elektronok ní- vóit a Schrödinger-egyenletből lehet meghatározni: Itt a V(r) potenciál periodikus függvény. Maga a kristály nagy, de véges térfogatot foglal el. A kristály peremén előírt peremfeltétel lehet pl.  (r)=0 a kristály határán. A megoldás ismert, az egyenlet partikuláris megoldásai Bloch-függvények:

Makai M.: Transzport55 ahol u B (r) periodikus függvény. B értékére megkötést jelent: Mivel a megoldandó egyenlet lineáris, az általános egyenlet a partikuláris megoldások lineárkombinációjaként is felírható: Mivel |B|  1/L, ezért alkalmazható az alábbi sorfejtés: Ezt behelyettesítve, a megoldás:

Makai M.: Transzport56 ahol Vegyük észre, hogy bevezethető a lassú térbeli változó: r 1 =Br, és a megoldás a gyors “u i (r)” és a lassú F(r 1 ) függvényekkel fe- jezhető ki. Nyilván az F(r 1 )-re vonatkozó egyenletben a független változó r 1 lesz. Tehát a megfogalmazott sejtés a szilárd testek le- írásánál beigazolódott.

Makai M.: Transzport57 A reaktorfizika aszimptotikus elmélete Vizsgáljuk a neutrongáz leírására szolgáló lineáris Botzmann- egyenletet. Az egyenletet az alábbi közelítésben tekintjük: független változók: (r,v,t), de:  =t/    -hoz egységnyi  kell) a szórás helyett prompt ütközési operátort használunk, ebben benne van a hasadási hkrm is figyelembe vesszük a későneutronokat is. A következő feltevésekkel élünk: 1, a tipikus szabad úthossz és a cella átmérőjének aránya kb. 1. 2, a tipikus szabad úthossz és a vizsgált térrész átmérőjének aránya  <1.

Makai M.: Transzport58 3, A vizsgált térrészben az anyagi tulajdonságok periodikusak és függetlenek az időtől kivéve egy  2 rendű perturbációt. 4, a belső források és a későneutronok  rendű kis mennyiségek 5, feltesszük, hogy a cellák szimmetrikusak, van egy középpontjuk, amit a szimmetriák helyben hagynak. Mivel  rendű, ezért írtunk  s / ,  t /  -t, a bomlási állandó, forrás kicsi.

Makai M.: Transzport59  s,  t és  i argumentumában r/  és  2  áll, mert ezek térben gyorsan változnak egy szabad úthosszon belül, időben viszont lassan változnak. Taylor sor  -ban: A hatáskeresztmetszetekről feltesszük, hogy a cellán belül szimmet- rikus függvényei a helynek (r-nek). A zöld egyenleteket kell tehát megoldani. Ehhez bevezetjük a gyors helyváltozót r’=r/  definíció- val és feltesszük, hogy r és r’ függetlenek. A fenti hkrm-ekkel defi- niáljuk az L n operátorokat:

Makai M.: Transzport510 Ezzel a fluxusra és a későneutron anyamagokra vonatkozó egyenlet (  helyett t-t írunk, felhasználjuk      t :

Makai M.: Transzport511 A megoldás menete Ezt behelyettesítve kékbe,  hatványainak együtthatói: Itt és a negatív indexű tagok nullák. Az első egyenlet n=0-ra:

Makai M.: Transzport512 Ebben az egyenletben r és t paraméter, a hkrm-ek periodikusak r’- ben. Az egyenlet megoldása: Pozitív, egyértelmű (normálástól eltekintve) és r’-ben periodikus megoldást keresünk. A megoldás r’-től függő része kielégíti Ez egy homogén egyenlet, akkor megoldható, ha a hkrm-ek megfe- lelőek (ne feledjük,  s0 tartalmazza a hasadást is!), ez a kritikusság (megoldhatóság) feltétele. Az n=1 egyenlet inhomogén probléma:

Makai M.: Transzport513 Ennek általános megoldása: Az n=2 egyenlet: Ez az egyenlet akkor oldható meg, ha

Makai M.: Transzport514 Hátra van még az egyenlet Q i -re: A levezetésben kihasználtuk az alábbi összefüggéseket:

Makai M.: Transzport515 Eddig a következő eredményre jutottunk: Kizárólag a TE alapján a megoldás gyors részére kaptunk egy egyenletet, ami a végtelen közegre vonatkozó TE. A megoldás lassan változó részére viszont egy másik egyenletet kaptunk. Az új egyenlet nagyon hasonlít a DE-re. Miben áll a különbség? Az M 0 mátrix nem diagonális (D viszont igen), nem függ a neutronok sebességétől (D viszont igen).

Makai M.: Transzport516 Lényegében a szilárd testekre korábban kapott eredményt kaptuk vissza: A megoldás két függvény szorzata, az egyik kielégíti a DE-t, a másik pedig a TE-t. Ehhez jön egy korrekció, amit itt nem részletezünk. A kezdeti érték és a peremérték problémája A levezetett összefüggés az aszimptotikus tagra vonatkozik. Amennyiben feltesszük, hogy a megoldás a vizsgált tartomány határától néhány szabad úthossznyira így közelíthető:    a belső régióban érvényes megoldás,   pedig csökken a határtól távolodva (határréteg).

Makai M.: Transzport517 A határréteget is sorbafejtjük: És megköveteljük  0 -tól, hogy elégítse ki a zöld egyenleteket, de most S=0: A T 0 operátor definíciója: Szorozzuk meg az egyenletet -vel, és integráljuk v-re és r’-re:

Makai M.: Transzport518 Azt kell biztosítanunk, hogy 0-hoz tart t   esetén, ehhez elegendő, hogy Amennyiben  i =A 0 , az amplitudóra vonatkozó kezdeti feltétel:

Makai M.: Transzport519 Ezt felhasználva: Későbbi időpontokra formális integrálással kapjuk meg a kezdeti réteghez tartozó tagot. A peremérték problémája Feltesszük, hogy a perem közelében Itt a  b tag csökken a peremtől távolodva, kielégíti a zöld egyen- leteket. Ismét S=0 mellett. Ebből egy egyenlet adódik A 0 (r,t)-re, ahol r a tartomány peremére mutat.

Makai M.: Transzport520 Végezetül a követezőekben lehet összefoglalni a Hilbert-sorfejtés következtetéseit: Matematikai eszközökkel bizonyítható egyes esetekben a megoldás létezése. Bonyolult ütközési integrálok esetén ez nem triviális. A fázistérbeli sűrűségfüggvényből megkaphatunk makroszkopikus változókat, ezek nagyobb skálán végbemenő folyamatokat írnak le, de származtathatóak a mikroszkopikus folyamatokból. Két esetben is azt láttuk, hogy a makroszkopikus folyamatokat leíró eloszlásfüggvény általános tulajdonságokat mutat. A statisztikus leírás a következő szintekre épül: 1,  -tér: N részecske, 2N koordináta. Leírás: mozgásegyenletek, Függő változó: statisztikus operátor. 2,  -tér: 7 koordináta (r,v,t), Leírás: Boltzmann-egyenlet, függő változó: sűrűségfüggvény

Makai M.: Transzport521 3, Makroszkopikus (hidrodinamikai) szint. Változók: r,v,t. Függő Változók: sűrűség, sebesség, hőmérséklet, stb. Az egyenletekben Új anyagi állandók jelennek meg (nyomás, hővezetési együttható, Viszkozitás, stb.). Ezeket a sűrűségfüggvényből lehet származtatni.